专题01 有理数的概念复习课(课堂学案及配套作业)(解析版)

《有理数的概念复习课》导学及配套作业（解析版） 知识点一：有理数 1．（2021 秋•江阴市校级月考）把下列各数填在相应的大括号里： π 2 ，﹣2，−1 2 ，3020020002…，0，22 7 ，﹣（﹣3），0333 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}． 思路引领：根据实数的分类，即可解答． 解：整数集合：{ 2 ﹣，0，﹣（﹣3）…}； 分数集合：{−1 2 ，22 7 ，0333…}； 有理数集合：{ 2 ﹣，−1 2 ，0，22 7 ，﹣（﹣3），0333…}； 无理数集合：{π 2 ，3020020002……}； 故答为：﹣2，0，﹣（﹣3）； −1 2 ，22 7 ，0333； 2 ﹣，−1 2 ，0，22 7 ，﹣（﹣3），0333； π 2 ，3020020002…． 解题秘籍：本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 2．（2019 秋•天山区校级期中）下列说法中不正确的是（ ） ．最小的自然数是1 B．最大的负整数是﹣1 ．没有最大的正整数 D．没有最小的负整数 思路引领：根据自然数、负整数、正整数的相关意义判断即可． 解：、最小的自然数是0，说法错误，故本选项符合题意； B、最大的负整数是﹣1，说法正确，故本选项不符合题意； 、没有最大的正整数，说法正确，故本选项不符合题意； D、没有最小的负整数，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：． 解题秘籍：本题主要考查自然数、负整数、正整数的定义，学生要做好这类题必须对其定义理解透彻． 3．（2021 秋•靖江市期中）下列说法中，正确的是（ ） ．正有理数和负有理数统称有理数 B．正分数、零、负分数统称分数 ．零不是自然数，但它是有理数 D．一个有理数不是整数就是分数 思路引领：根据有理数分类判断即可． 解：．正有理数，零和负有理数统称有理数，故本选项不合题意； B．正分数和负分数统称分数，故本选项不合题意； ．零是自然数，也是有理数，故本选项不合题意； D．一个有理数不是整数就是分数，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 解题秘籍：本题考查了有理数，整数和分数统称有理数；有理数也可以分为正有理数、0 和负有理数． 4．数0.3 ⋅ 21 ⋅，−π 3 ，12 4 ，﹣| 5| ﹣，﹣05 中，分数有 个． 思路引领：按照有理数的分类填写： 有理数{ 整数{ 正整数 0 负整数 分数{ 正分数 负分数 注意化简后加以判断． 解：分数包括小数和无限循环小数，所以0.3 ⋅ 21 ⋅、﹣05 是分数．答：2． 解题秘籍：注意先化简，再判断是整数还是分数．考查分数的定义和对分数的认识，注意分数与整数的 区别． 知识点二：数轴 1．（2022•玉林模拟）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） ． B． ． D． 思路引领：根据数轴的概念判断所给出的四个数轴哪个正确． 解：，﹣1、﹣2 位置错误，故此选项错误，不符合题意； B、单位长度不统一，没有正方向，故此选项错误，不符合题意； 、没有正方向，数字顺序也有问题，故此选项错误； D、符合数轴三要素，故此选项正确． 故选：D． 解题秘籍：本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴 的三要素缺一不可． 2．（1）在数轴上到原点距离等于2 的点所表示的数是 ； （2）在数轴上将点向右移动5 个单位长度，再向左移动1 个单位长度，终点恰好是原点，则点表示的 数是 ； （3）点在数轴上距原点5 个单位长度，将点先向左移动2 个单位长度，再向右移动6 个单位长度，此 时点所表示的数是 ． 思路引领：（1）在数轴上到原点距离等于2 的点有两个，这两个点所表示的数互为相反数； （2）（3）根据数轴上的平移规律：左减右加进行计算即可． 解：（1）在数轴上到原点距离等于2 的点所表示的数是±2； 故答为：±2； （2）在数轴上将点向右移动5 个单位长度，再向左移动1 个单位长度，终点恰好是原点，则点表示的 数是0+1 5 ﹣＝﹣4； 故答为：﹣4； （3）当点表示5 时，5 2+6 ﹣ ＝9， 当点表示﹣5 时，﹣5 2+6 ﹣ ＝﹣1， ∴点在数轴上距原点5 个单位长度，将点先向左移动2 个单位长度，再向右移动6 个单位长度，此时点 所表示的数是﹣1 或9． 故答为：﹣1 或9． 解题秘籍：本题考查了有理数的加减混合运算、数轴的定义，掌握其运算法则是解决此题的关键． 3．某数的绝对值小于2，在数轴上，这个数表示的点到﹣06 所表示的点的距离是15，则这个数是 ． 思路引领：先求出到表示﹣06 的点的距离是15 的点表示的数，再由绝对值小于2 即可得到答． 解：在数轴上，到表示﹣06 的点的距离是15 的点表示的数是：﹣06+15＝09 或﹣06 15 ﹣ ＝﹣21， ∵绝对值小于2， ∴符合条件的点表示的数是09， 故答为：09． 解题秘籍：本题考查数轴上的点表示的数，掌握数轴上，到表示﹣06 的点的距离是15 的点有两个是解 题得关键． 4．（2019 秋•赵县期中）在数轴上表示下列各数，并按从大到小的顺序用“＞”号把这些数连接起来 4，﹣4，25，0，﹣2，﹣16，1 3，−2 3 ，05． 思路引领：有理数大小比较，可以在数轴上找到各数，从左到右依次增大，进而得出答． 解：如图所示： ， 故4＞25＞05＞1 3 ＞0＞−2 3 ＞−¿16＞﹣2＞﹣4． 解题秘籍：此题主要考查了有理数大小比较的方法，正确画出数轴是解题关键． 5．（2021 秋•泗水县校级月考）如图．、B、三点在数轴上，表示的数为﹣10，B 表示的数为14，点在点 与点B 之间，且＝B． （1）求、B 两点间的距离； （2）求点对应的数； （3）甲、乙分别从、B 两点同时相向运动，甲的速度是1 个单位长度/s，乙的速度是2 个单位长度/s， 求相遇点D 对应的数． 思路引领：（1）用点B 表示的数减去点表示的数计算即可得解； （2）设点对应的数是x，然后列出方程求解即可； （3）设相遇的时间是t 秒，根据相遇问题列出方程，求解得到x 的值，然后根据点表示的数列式计算即 可得解． 解：（1）14﹣（﹣10）， ＝14+10， ＝24； （2）设点对应的数是x， 则x﹣（﹣10）＝14﹣x， 解得x＝2； （3）设相遇的时间是t 秒， 则t+2t＝24， 解得t＝8， 所以，点D 表示的数是﹣10+8＝﹣2． 解题秘籍：本题考查了数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的求法，相遇问题的等量关系． 知识点三：相反数 1．（2021•元阳县模拟）若一个数的相反数是﹣7，则这个数为 ． 思路引领：根据相反数的定义即可得出答． 解：﹣7 的相反数是7， 故答为：7． 解题秘籍：本题考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 2．（2021 秋•邹城市校级月考）如果多项式2x 3 ﹣与x+7 互为相反数，那么x 的值是（ ） ．−4 3 B．4 3 ．3 4 D．0 思路引领：根据相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x 的值． 解：根据题意得：2x 3+ ﹣ x+7＝0， 移项合并得：3x＝﹣4， 解得：x¿−4 3 ． 故选：． 解题秘籍：此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握相反数的性质及方程的解法是解本题的 关键． 3．在数轴上，若点和点B 分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是128，则这两点所表示的 数分别是 ， ． 思路引领：直接利用相反数的定义进而得出答． 解：∵点和点B 分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是128， ∴这两点所表示的数分别是：﹣64，64． 故答为：﹣64，64． 解题秘籍：此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键． 知识点四：绝对值 1．（2022 秋•射阳县月考）若| 2020|+ ﹣ （﹣3）＝10，则＝ ． 思路引领：根据有理数的运算先求出| 2020| ﹣ 的值，再利用绝对值的意义求出的值． 解：∵| 2020|+ ﹣ （﹣3）＝10， ∴| 2020| ﹣ ＝13． ∴ 2020 ﹣ ＝13 或﹣2020＝﹣13． 解得＝2033 或2007． 故答为：2033 或2007． 解题秘籍：本题考查了绝对值的意义与有理数的运算，正确理解绝对值的意义是解题的关键． 2．（2022 春•通川区期末）已知| 1|+| ﹣ b+2|＝0，则（+2b）（﹣2b）＝ ． 思路引领：先根据非负数的性质求出，b 的值，再代入代数式进行计算即可． 解：∵| 1|+| ﹣ b+2|＝0， ∴ 1 ﹣＝0 且b+2＝0， 解得：＝1，b＝﹣2， ∴（+2b）（﹣2b） ＝（1 4 ﹣）（1+4） ＝﹣15． 故答为：﹣15． 解题秘籍：本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0 时，每一项必为0 是解答此题的关键． 3．（2022 春•东台市期中）|x 2|+9 ﹣ 有最小值为 ． 思路引领：根据绝对值的非负性即可得出答． 解：∵|x 2|≥0 ﹣ ， ∴|x 2|+9≥9 ﹣ ， ∴|x 2|+9 ﹣ 有最小值为9． 故答为：9． 解题秘籍：本题考查了绝对值的非负性，掌握||≥0 是解题的关键． 4．（2021 秋•吉州区期末）| 3| ﹣＝5，且在原点左侧，则＝ ． 思路引领：根据数轴上到3 的距离等于5 的数有两个，并且在原点的左侧，即可求得． 解：∵| 3| ﹣＝5， ∴ 3 ﹣＝5 或﹣5， ∴＝8 或﹣2， ∵在原点左侧， ∴＜0， ∴＝﹣2． 解题秘籍：本题考查了绝对值的几何意义，掌握绝对值的性质是解题的关键，难度不是很大． 5．（2021 秋•龙泉市期末）若实数，b 满足||＝2，|4﹣b|＝1﹣，则+b＝ ． 思路引领：根据绝对值的定义求出、b 的值，再代入计算即可． 解：∵||＝2， ∴＝±2， 当＝2 时，|4﹣b|＝1 2 ﹣＝﹣1，此时b 不存在； 当＝﹣2 时，|4﹣b|＝3， 所以4﹣b＝3 或4﹣b＝﹣3， 即b＝1 或b＝7， 当＝﹣2，b＝1 时，+b＝﹣1； 当＝﹣2，b＝7 时，+b＝5， 故答为：﹣1 或5． 解题秘籍：本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出、b 的值是正确解答的关键． 6．（2021 秋•乳山市期末）若||＝2，|b|＝1，且＜b，则﹣3b＝ ． 思路引领：根据绝对值的意义求出、b 的值，再代入计算即可． 解：∵||＝2， ∴＝±2， ∵|b|＝1， ∴b＝±1， 又∵＜b， ∴＝﹣2，b＝1 或＝﹣2，b＝﹣1， 当＝﹣2，b＝1 时，﹣3b＝﹣5； 当＝﹣2，b＝﹣1 时，﹣3b＝1， 故答为：﹣5 或1． 解题秘籍：本题考查绝对值，掌握“一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数， 0 的绝对值等于0”是正确计算的前提，求出、b 的值是正确解答的关键． 【课堂练习】 1．（2022•睢阳区二模）若m 与−(−1 3 )互为相反数，则m 的值为（ ） ．﹣3 B．−1 3 ．1 3 D．3 思路引领：先求出﹣（−1 3 ）的值，再求它的相反数即可． 解：﹣（−1 3 ）¿ 1 3 ， ∵m 与−(−1 3 )互为相反数， ∴m=−1 3 ． 故选：B． 解题秘籍：本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 2．如果一个数的相反数是非负数，那么这个数是（ ） ．正数 B．负数 ．非正数 D．非负数 思路引领：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 解：∵一个数的相反数是非负数， ∴这个数是非正数． 故选：． 解题秘籍：本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 3．（2015 秋•无锡校级月考）下列说法中正确的是（ ） ．负有理数是负分数 B．﹣1 是最大的负数 ．正有理数和负有理数组成全体有理数 D．零是整数 思路引领：根据有理数和无理数的定义，以及有理数的分类进行判断． 解：、负有理数包括负分数和负整数，故本选项说法错误； B、﹣1 是最大的负整数，故本选项说法错误； 、正有理数、负有理数和0 组成全体有理数，故本选项说法错误； D、正整数、负整数和零组成整数，所以零是整数，故本选项说法正确； 故选：D． 解题秘籍：本题考查了有理数的分类： 有理数{ 整数{ 正整数 0 负整数 分数{ 正分数 负分数 ． 4．（2014 秋•资中县期中）如图，点、、B 在数轴上，分别表示数0、15、45，数轴上另有一点，到点的 距离为1，到点B 的距离小于3，则点位于（ ） ．点的左边 B．点与点之间 ．点B 的右边 D．点与点B 之间 思路引领：由数轴上点的位置，找出离距离为1 的点，再由到B 的距离小于3 判断即可确定出的位置． 解：∵点、、B 在数轴上，分别表示数0、15、45，数轴上另有一点，到点的距离为1，到点B 的距离小 于3， ∴点表示的数为25，位于点与点B 之间， 故选：D． 解题秘籍：此题考查了数轴，熟练掌握数轴上的点与实数之间的一一对应关系是解本题的关键． 5．（2020 秋•平山区校级期中）①﹣一定是负数；②若||＝|b|，则＝b；③一个有理数不是整数就是分数； ④一个有理数不是正数就是负数．上述说法错误的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 思路引领：根据有理数的分类和有理数的有关定义解答即可． 解：①﹣不一定是负数，原说法错误； ②若||＝|b|，则＝b 或＝﹣b，原说法错误； ③一个有理数不是整数就是分数，原说法正确； ④一个有理数不是正数就是负数，也可能是0，原说法错误． 上述说法错误的有3 个， 故选：． 解题秘籍：此题考查有理数，解题的关键是根据有理数的分类和绝对值判断． 6．（2015 秋•海陵区校级月考）||＝，则有理数为（ ） ．正数 B．负数 ．正数和0 D．负数和0 思路引领：根据绝对值的性质可得． 解：∵||＝， ∴为正数或0， 故选：． 解题秘籍：本题主要考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值性质是解题的关键． 7 ．（2021 秋• 启东市校级月考）已知，b ，为三个不等于0 的数，且满足b ＞0 ，+b+ ＜0 ，则 ¿a∨¿ a +¿b∨¿ b +¿c∨¿ c ¿¿¿的值为 ． 思路引领：根据绝对值的定义解决此题． 解：∵b＞0，+b+＜0， ∴、b 与中有两个负数，一个正数． 假设＜0，b＜0，＞0，则¿a∨¿ a +¿b∨¿ b +¿c∨¿ c =−a a +−b b + c c =−1+(−1)+1=−1¿¿¿． 故答为：﹣1． 解题秘籍：本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键． 《有理数概念复习》配套作业 1．下列几种说法中，正确的是（ ） ．最小的自然数是1 B．在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数 ．任意有理数的倒数是1 a D．任意有理数的相反数是﹣ 思路引领：根据自然数的定义，求相反数的方法，倒数的定义，可得答． 解：、最小的自然数是0，故错误； B、在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数，故B 错误； 、0 没有倒数，故错误； D、任意有理数的相反数是﹣，故D 正确； 故选：D． 解题秘籍：本题考查了有理数，注意带符号的数不一定是负数，小于零的数是负数． 2．下列几种说法中，不正确的（ ） ．任意有理数的相反数是﹣ B．在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数 ．一个非0 有理数的倒数是1 a D．最小的自然数是0 思路引领：根据选项，将不正确的选项举出反例即可解答本题． 解：∵﹣（﹣1）＝1， ∴在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数的说法是错误的； 故选：B． 解题秘籍：本题考查有理数，解题的关键是明确负数的定义和有理数的相关知识． 3．（2019 秋•定襄县校级月考）一个数的绝对值等于它本身，这个数是 ，比其相反数小的数是 ， 一个数的倒数等于它本身这个数是 ． 思路引领：根据绝对值的性质：当是正有理数时，的绝对值是它本身；当是零时，的绝对值是零可得绝 对值是它本身的数是非负数；根据相反数的概念可得比其相反数小的数是负数；根据倒数的概念可得一 个数的倒数等于它本身这个数是±1． 解：一个数的绝对值等于它本身，这个数是非负数，比其相反数小的数是负数，一个数的倒数等于它本 身这个数是±1． 故答为：非负数，负数，±1． 解题秘籍：此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，关键是熟练掌握倒数、相反数、绝对值的概念和性 质． 4．在数轴上，在原点左侧且离开原点5 个单位长度的点表示的数是 ；离开原点4 个单位长度的点表 示的数是 ． 思路引领：根据离开原点5 个单位的点有两个，再根据在原点左侧，可得答；根据离开原点4 个单位长 度的点有两个，可得答． 解：在原点左侧且离开原点5 个单位长度的点表示的数是﹣5；离开原点4 个单位长度的点表示的数是 ±4， 故答为：﹣5，±4． 解题秘籍：本题考查了数轴，到原点距离相等的点有两个，注意第一个点在原点的左侧，只有一个数， 第二个点没限定位置，有两个数． 5．（2021•成都模拟）实数、b、、d 在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的数是 （ ） ． B．b ． D．d 思路引领：根据绝对值的定义结合实数、b、、d 在数轴上对应点的位置，即可求出结果． 解：由实数、b、、d 在数轴上对应点的位置可知： 4＜||＜5，1＜|b|＜2，0＜||＜1，|d|＝4， 故选：． 解题秘籍：本题考查了实数大小的比较、绝对值、实数与数轴，解题的关键是理解绝对值的定义，利用 数形结合的思想解答问题． 6．（2020 春•魏县期末）如果|x+1|＝2，那么x＝ ． 思路引领：利用绝对值的定义求解即可． 解：∵|x+1|＝2， ∴x+1＝2 或x+1＝﹣2，解得x＝﹣3 或1． 故答为：﹣3 或1． 解题秘籍：本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义． 7． 小明写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中数值，请你确定墨迹盖住部分的整数共有 个． 思路引领：根据数轴上已知整数，求出墨迹盖住部分的整数个数． 解：根据数轴得： 墨迹盖住的整数共有0，1，2 共3 个． 故答为：3． 解题秘籍：本题主要考查了数轴，理解整数的概念，能够首先结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据 整数这一条件是解题的关键． 8．用长为45 个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖（ ）个整数点． ．3 B．4 ．5 D．6 思路引领：利用数轴，即可作出判断． 解：用长为45 个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖5 个整数点． 故选：． 解题秘籍：本题考查