专题08 期末复习(一)有理数课堂学案及配套作业(解析版 )

专题08 期末复习（一）有理数（解析版） 第一部分 学 知识点一：有理数的概念、及其分类； 1．（盐城中考）如果收入50 元，记作+50 元，那么支出30 元记作（ ） ．+30 元 B．﹣30 元 ．+80 元 D．﹣80 元 思路引领：收入为“+”，则支出为“﹣”，由此可得出答． 解：∵收入50 元，记作+50 元， ∴支出30 元记作﹣30 元． 故选：B． 总结升华：本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性， 确定一对具有相反意义的量． 2．（2021 秋•宁国市校级月考）下列说法不正确的是（ ） ．有最小的正整数，没有最小的负整数 B．一个整数不是奇数，就是偶数 ．如果是有理数，2 就是偶数 D．正整数、负整数和零统称整数 思路引领：根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0 和负整 数）和分数（正分数和负分数）． 解：、有最小的正整数，没有最小的负整数，正确； B、一个整数不是奇数，就是偶数，正确； 、如果是01，2 不是偶数，故本选项错误； D、正确． 故选：． 总结升华：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与 特点．注意整数和正数的区别，注意0 是整数，但不是正数． 3．（2016 秋•鼓楼区校级月考）把下列各数填在相应的大括号里． +8，0275，﹣| 2| ﹣，0，﹣104，﹣（﹣10），01010010001…，﹣（﹣22），22 7 ，−1 3 ，+3 4 ，01 ⋅ 正整数集合{ …} 整数集合{ …} 负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 有理数集合{ …} 无理数集合{ …}． 思路引领：根据实数的分类{ 有理数{ 整数{ 正整数 0 负整数 分数{ 正分数 负分数 无理数 进行分类即可． 解：正整数集合{+8，﹣（﹣10），﹣（﹣22）…} 整数集合{+8，﹣| 2| ﹣，0，﹣（﹣10），…，﹣（﹣22），…} 负整数集合{ | 2|…} ﹣﹣ 正分数集合{ 0275，22 7 ，+3 4 ，01 ⋅，…} 有理数集合{+8，0275，﹣| 2| ﹣，0，﹣104，﹣（﹣10），﹣（﹣22），22 7 ，−1 3 ，+3 4 ，01 ⋅ ⋯} 无理数集合{ 01010010001…，…}． 故答为：+8，﹣（﹣10），﹣（﹣22）；+8，﹣| 2| ﹣，0，﹣（﹣10）；﹣（﹣22）； ﹣| 2| ﹣；0275，22 7 ，+3 4 ，01 ⋅；+8，0275，﹣| 2| ﹣，0，﹣104，﹣（﹣10），﹣（﹣ 22），22 7 ，−1 3 ，+3 4 ，01 ⋅ ； 01010010001…． 总结升华：此题主要考查了实数，关键是掌握实数的分类． 知识点二：数轴及其应用； 4．（2021 秋•寿光市期中）比较大小： 请将下列各数表示在数轴上，并用“＜”连接． 3，−1 2 ，0，﹣31 2，﹣3，﹣15，﹣4． 思路引领：首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当 数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即 可． 解： ， 4 ﹣＜﹣31 2 ＜−¿3＜﹣15＜−1 2 ＜0＜3． 总结升华：此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，要熟 练掌握． 5．（2021 秋•浉河区校级月考）如图，，B，三点在数轴上，点表示的数为﹣10，点B 表 示的数为14，点到点和点B 之间的距离相等． （1）求，B 两点之间的距离； （2）求点对应的数； （3）甲、乙分别从，B 两点同时相向运动，甲的速度是每秒运动1 个单位长度，乙的速 度是每秒运动2 个单位长度，求相遇点D 对应的数． 思路引领：（1）由数轴直接求B 的距离即可； （2）设点对应的数是x，由＝B，列出方程x﹣（﹣10）＝14﹣x，求出x 即可求解； （3）设相遇的时间是t 秒，由题意可得t+2t＝24，求出t 的值，即可知甲走了8 个单位 长度到D 点，相遇点D 对应的数为﹣2． 解：（1）∵点表示的数为﹣10，点B 表示的数为14， ∴B＝|14﹣（﹣10）|＝24， ∴，B 两点之间的距离为24； （2）设点对应的数是x， ∵＝B， ∴x﹣（﹣10）＝14﹣x， 解得x＝2， ∴点对应的数是2； （3）设相遇的时间是t 秒， 由题意可得t+2t＝24， 解得t＝8， ∴甲走了8 个单位长度到D 点，相遇点D 对应的数为﹣2． 总结升华：本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题 的关键． 知识点三：相反数 6．（瑞金市校级月考）﹣| 1| ﹣的相反数是 1 ，﹣（﹣31 8）的倒数是 8 25 ，绝对值 是 3 1 8 ． 思路引领：利用倒数，相反数及绝对值的定义求解即可． 解：﹣| 1| ﹣的相反数是1，﹣（﹣31 8）的倒数是8 25，绝对值是31 8． 故答为：1，8 25，31 8． 总结升华：本题主要考查了倒数，相反数及绝对值，解题的关键是熟记倒数，相反数及 绝对值的定义． 7．（2021 秋•青州市校级月考）有理数、b、在数轴的位置如图所示，且与b 互为相反数， 把﹣，﹣b，﹣用“＜”连接起来 ． 思路引领：根据图示，可得：b＜＜，据此把﹣，﹣b，﹣用“＜”连接起来即可． 解：根据图示，可得：b＜＜， ∴﹣＜﹣＜﹣b． 故答为：﹣＜﹣＜﹣b． 总结升华：此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的 特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 8．（2021•东河区二模）若−1 2 的倒数与m+4 互为相反数，那么m 的值是（ ） ．m＝1 B．m＝﹣1 ．m＝2 D．m＝﹣2 思路引领：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 解：−1 2 的倒数与m+4 互为相反数，得 m+4＝2， 解得m＝﹣2， 故选：D． 总结升华：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号： 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是0．不要把相反数 的意义与倒数的意义混淆． 9．（鞍山期末）已知、b 互为相反数，且|﹣b|＝6，则|b 1| ﹣的值为（ ） ．2 B．2 或3 ．4 D．2 或4 思路引领：根据互为相反数的两数和为0，又因为|﹣b|＝6，可求得b 的值，代入即可求 得结果判定正确选项． 解：∵、b 互为相反数， + ∴b＝0， | ∵﹣b|＝6， ∴b＝±3， | ∴b 1| ﹣＝2 或4． 故选：D． 总结升华：此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b 的值，再确定 绝对值符号中代数式的正负，去绝对值符号． 10．若与2b 互为相反数，试用含的式子表示b 为 −a 2 ． 思路引领：根据相反数的定义列代数式． 解：依题意得：+2b＝0， 则b¿−a 2． 故答是：−a 2 ． 总结升华：考查了列代数式．注意：含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写 成分数的形式． 11．在数轴上，若点和点B 分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是128， 则这两点所表示的数分别是 ， ． 思路引领：直接利用相反数的定义进而得出答． 解：∵点和点B 分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是128， ∴这两点所表示的数分别是：﹣64，64． 故答为：﹣64，64． 总结升华：此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键． 12．（2017 秋•东台市月考）（1）已知、b 互为相反数，m、互为倒数，x 的绝对值为2， 求﹣2m+a+b m−n −¿x2的值． （2）如图所示，化简| |+| ﹣ ﹣b|+||． 思路引领：（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出+b，m 以及x2的值， 代入原式计算即可得到结果； （2）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简， 去括号合并即可得到结果． 解：（1）根据题意得：+b＝0，m＝1，|x|＝2，则x2＝4， 所以原式＝﹣2+0 4 ﹣＝﹣6； （2）∵＜＜0＜b， ∴﹣＞0，﹣b＜0， ∴原式＝﹣﹣+b﹣＝b 2 ﹣． 总结升华：此题考查了整式数的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题 的关键．也考查了代数式求值． 知识点四：绝对值 13．||＝2，|b|＝5，且＞b，则+b 的值是（ ） ．3 或﹣3 B．﹣3 或﹣7 ．﹣7 D．7 思路引领：首先利用绝对值的意义，由＞b 确定，b 的值，然后代入即可． 解：∵||＝2，|b|＝5， ∴＝±2，b＝±5， ∵＞b， ∴＝±2，b＝﹣5， 当＝2，b＝﹣5 时，+b＝﹣3； 当＝﹣2，b＝﹣5 时，+b＝﹣7． 故选：B． 总结升华：本题主要考查了绝对值的意义，根据条件确定，b 的取值范围是解答此题的 关键． 14．（2019 秋•碑林区期中）【探索发现】由绝对值的定义可得，数轴上表示数的点到原 点的距离为||．小丽进一步探究发现，在数轴上，表示3 和5 的两点之间的距离为|5 3| ﹣ ＝2；表示﹣3 和5 的两点之间的距离为| 3 5| ﹣﹣＝8；表示﹣3 和﹣5 的两点之间的距离 为| 3 ﹣﹣（﹣5）|＝2． 【概括总结】根据以上过程可以得出：数轴上，表示数和数b 的两点之间的距离为 ． 【问题解决】 （1）若|x 5| ﹣＝3，则x＝ ； （2）若|x+3|+|x 5| ﹣＝10，则x＝ ； （3）若|x+3|+2 3 |x 5| ﹣＝10，则x＝ ． 思路引领：概括总结：根据求两点之间距离的方法可得答； （1）根据与5 之间的距离是3 的数，可得答； （2）根据数轴上的点到﹣3 与到5 之间的距离和为10 可得答； （3）根据数轴上的点到﹣3 与到5 之间距离的2 3之和为10 可得答． 解：概括总结：数轴上，表示数和数b 的两点之间的距离为|﹣b|， 故答为：|﹣b|； （1）∵|x 5| ﹣＝3， ∴x 与数轴上表示5 的点的距离是3， ∴x＝2 或8． 故答为：2 或8； （2）∵|x+3|+|x 5| ﹣＝10， ∴x 到﹣3 与x 到5 的距离和为10， 3 ∵﹣与5 之间的距离是8， ∴x＜﹣3 或x＞5， 当x＜﹣3 时，原式＝﹣x 3 ﹣﹣x+5＝2 2 ﹣x＝10，解得x＝﹣4； 当x＞5 时，原式＝x+3+x 5 ﹣＝2x 2 ﹣＝10，解得x＝6． 故答为：﹣4 或6； （3）由（2）得，x＜﹣3 或x＞5， 当x＜﹣3 时，原式＝﹣x 3 ﹣−2 3 x+10 3 =1 3−5 3x＝10，解得x¿−29 5 ； 当x＞5 时，原式＝x+3+2 3 x−10 3 =5 3x−1 3 =¿10，解得x¿ 31 5 ． 故答为：−29 5 或31 5 ． 总结升华：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关 键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型． 15．若❑ √a+1+¿b−1∨¿0，则+b＝ ．化简：❑ √(3−π ) 2=¿ ． 思路引领：先根据非负数的性质求出b 的值，再求出+b 的值即可；先判断出3﹣π 的符 号，再把原式进行化简即可． 解：∵❑ √a+1+¿b−1∨¿0， +1 ∴ ＝0，b 1 ﹣＝0， ∴＝﹣1，b＝1， + ∴b＝﹣1+1＝0； ∵π≈314， 3 ∴﹣π＜0， ∴原式＝π 3 ﹣． 故答为：0，π 3 ﹣． 总结升华：本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知π≈314 是解答此题的关键． 16．（2021 秋•海淀区校级期中）若||＝4，|b|＝2，且|+b|＝+b，那么﹣b 的值只能是（ ） ．2 B．﹣2 ．6 D．2 或6 思路引领：根据||＝4，|b|＝2，且|+b|＝+b，即可确定，b 的值，从而求解． 解：∵||＝4，|b|＝2 ∴＝±4，b＝±2 又∵|+b|＝+b，则+b≥0 ∴＝4，b＝2 或＝4，b＝﹣2 当＝4，b＝2 时，﹣b＝4 2 ﹣＝2； 当＝4，b＝﹣2 时，﹣b＝4+2＝6． 故选：D． 总结升华：本题主要考查了绝对值的性质，若x≠0，且|x|＝，则x＝±，根据任何数的绝 对值一定是非负数，正确确定，b 的值，是解决本题的关键． 17．根据||≥0 这条性质，解答下列问题： （1）当＝ 4 时，| 4| ﹣有最小值，此时最小值为 ． （2）当取何值时，| 1|+3 ﹣ 有最小值？这个最小值是多少？ （3）当取何值时，4 || ﹣有最大值？这个最大值是多少？ 思路引领：根据绝对值的性质，可知0 的绝对值最小，为0，则可得﹣4＝0 时，| 4| ﹣有 最小值，由此即可求解；要使| 1|+3 ﹣ 有最小值，则| 1| ﹣要取最小，即﹣1＝0，由此即可 求解；要使4 || ﹣有最大值，则||取最小值，结合||≥0 即可求解． 解：任何数的绝对值都大于等于0． （1）当＝4 时，| 4| ﹣有最小值，此时最小值为0． 故答为：4，0． （2）当＝1 时，此时﹣1＝0，则| 1|+3 ﹣ 有最小值，这个最小值是3； （3）当＝0 时，4 || ﹣有最大值，这个最大值是4． 总结升华：本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题 的关键． 18．若3+|x 4| ﹣有最小值，则x＝ ；若4 | ﹣m | ﹣有最大值，则m，的关系是 ． 思路引领：直接利用绝对值的性质分析得出答． 解：3+|x 4| ﹣有最小值，则x 4 ﹣＝0，故x＝4； 若4 | ﹣m | ﹣有最大值，则m﹣＝0，故m，的关系是：m＝． 故答为：4，m＝． 总结升华：此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质分析是解题关键． 19．（广州期中）已知，b，在数轴上的对应点如图所示，化简|| |+ ﹣b|+| |+| ﹣ b+|． 思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义 化简，去括号合并即可得到结果． 解：∵＞d＞0＞b＞， + ∴b＜0，﹣＞0，b+＞0， 原式＝﹣﹣（﹣﹣b）+ + ﹣b+＝﹣+2b+2． 总结升华：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 知识点五：比较有理数的大小 20 比大小： 解：＜，＞，＞，＞，＜，＝ 知识点六：科学记数法和近似数． 21．（2013•邵阳）据邵阳市住房公积金管理会透露，今年我市新增住房公积金112 亿元， 其中112 亿元可用科学记数法表示为（ ） ．112×108元 B．112×109元 ．112×1010元 D．112×107元 思路引领：科学记数法的表示形式为×10 的形式，其中1≤||＜10，为整数．确定的值是 易错点，由于112 亿有10 位，所以可以确定＝10 1 ﹣＝9． 解：112 亿＝1 120 000 000＝112×109． 故选：B． 总结升华：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键． 22．（2021 秋•集贤县期末）用四舍五入法按要求对005019 分别取近似值，其中错误的是 （ ） ．01（精确到01） B．005（精确到百分位） ．005（精确到千分位） D．00502（精确到00001） 思路引领：、精确到01 就是保留小数点后一位，因为小数点后第二位是5，进一得 01； B、精确到百分位，就是保留小数点后两位，因为小数点后第三位是0，舍，得005； 、精确到千分位，就是保留小数点后三位，因为小数点后第四位是1，舍，得0050； D、精确到00001，就是保留小数点后四位，因为小数点后第五位是9，进一，得 00502； 解：、005019≈01（精确到01），所以此选项正确； B、005019≈005（精确到百分位），所以此选项正确； 、005019≈0050（精确到千分位），所以此选项错误； D、005019≈00502（精确到00001），所以此选项正确； 本题选择错误的，故选：． 总结升华：本题考查了根据精确度取近似数，精确度可以是“十分位（01）、百分位 （001）、千分位（00010”等，按四舍五入取近似数，只看精确度的后一位数． 23．某市2021 年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入法取近似值后为 3127 亿元，那么这个数值（ ） ．精确到亿位 B．精确到百分位 ．精确到百万位 D．精确到千万位 思路引领：近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，由此进一步判定得出 答即可． 解：∵3127 亿末尾数字7 是百万位， 3527 ∴ 亿精确到百万位． 故选：． 总结升华：本题考查了近似数的确定，熟悉数位是解题的关键． 知识点七：有理数的基本计算 24．（2021 秋•柳南区期末）如图，数轴上的点、B 分别对应实数、b，下列结论中正确的 是（ ） ．＞b B．﹣＜b ．||＞|b| D．+b＞0 思路引领：本题依据实数的绝对值，相反数，加减运算的定义即可判断． 解：、在数轴上的两个实数，右面的实数总是大于左面的实数．故不符合题意． B、﹣即的相反数在b 的右面，所以﹣＞b．故B 不符合题意． 、绝对值的实际意义为一个点距离远点的距离，明显点距离远点更远，所以||＞|b|．故 符合题意． D、+b 为异号两数相加，取绝对值较大数的符号即+b＜0．故D 不符合题意． 故选：． 总结升华：本题主要考查数值的大小比较，关键需要掌握数轴，相反数，绝对值的应用． 25．（2020 秋•海淀区校级期中）如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（ ） ．都是负数 B．都是正数 ．一正一负，且负数的绝对值大 D．一正一负，且正数的绝对值大 思路引领：两个数的积为负数说明这两数异号，和也为负数说明这两数中负数的绝对值 大． 解：∵两个数的积为负数， ∴这两数异号； 又∵和也为负数， ∴这两数中负数的绝对值较大． 故选：． 总结升华：本题主要考查了有理数的加法与乘法的符号法则． 两数相乘，异号得负；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号． 26．（2022 秋•江阴市期中）设m 为一个有理数，则|m|+m 一定是（ ） ．负数 B．正数 ．非负数 D．非正数 思路引领：m 为有理数，则|m|≥0，由于m 的值不确定，所以应分三种情况进行讨论． 解：∵m 为有