第14讲 二次函数的应用（讲义）（原卷版）

第14 讲 二次函数的应用 目 录 一、考情分析 二、知识建构 题型01 最大利润/销量问题 题型02 方选择问题 题型03 拱桥问题 题型04 隧道问题 题型05 空中跳跃轨迹问题 题型06 球类飞行轨迹 题型07 喷泉问题 题型08 图形问题 题型09 图形运动问题 题型10 二次函数综合问题 类型一 线段、周长问题 类型二 面积周长问题 类型三 角度问题 类型四 特殊三角形问题 类型五 特殊四边形问题 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的 应用  能用二次函数解 决实际问题 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际 生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建 议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题 则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算 数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考 生在做题过程中更为细心对待。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1 审：仔细审题，理清题意； 2 设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当 的未知数； 3 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果 顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值 解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点 的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后 利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合 直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条 件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设 出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条 件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不 存在． 题型01 最大利润/销量问题 【例1】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计 发现，甲商品从开始销售至销售的第x天总销量y1（千克）与x的关系如图1所示，且y1是x的二次函数． 乙商品从开始销售至销售第x天的总销量y2 (kg)，y2=ωx，其中ω是关于x的一次函数，其图象如图2． (1)分别求出y1，y2与x的函数关系； (2)甲、乙两种商品购进量相差多少； (3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少． 【变式1-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）深圳某公司生产、B 两种玩具，每个B 玩具的成本是玩具的 15 倍，公司投入1600 元生产种玩具，3600 元生产B 种玩具，共生产玩具1000 个，请解答下列问题： (1)、B 两种玩具每个的成本分别是多少元？ (2)某大学生自主创业，在上销售B 玩具，物价部门规定每个售价不低于进货价且每个的利润不允许高于进 货价的50%．试营销阶段发现：当销售单价是8 元时，每天的销售量为120 件，销售单价每上涨1 元，每 天的销售量就减少20 件．求销售单价为多少元时，该玩具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-2】（2023·安徽六安·校考二模）某厂家生产一种童电动玩具，3 月份前4 天生产的该童玩具售价 y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x 天 1 2 3 4 售价y/（元/个） 30 32 34 36 销量t/个 100 12 0 140 160 从第5 天开始工厂对外调整价格为28 元一个，据统计第5 天以后童电动玩具销量t（个）和第x 天的关系 为t=−x 2+50 x−100（5≤x ≤20，且x 为整数）． (1)直接写出销量t（个）与第x 天（前4 天）满足的关系式，并且求出第5 天以后第几天的销量最大，最大 值为多少？ (2)若成本价为20 元，求该工厂这些天（按20 天计）出售童电动玩具得到的利润（元）与x 的函数关系式， 直接写出第几天的利润最大及其最大值． 题型02 方选择问题 【例2】（2023·湖北咸宁·统考模拟预测） 樱花红陌上，邂逅在咸安 ，为迎接我区首届樱花文化旅游节 “ ” ， 某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20 元，设第x 天 （0<x ≤15）每件产品的成本价是y 元，y 与x 之间关系为：y=0.5 x+7，任务完成后，统计发现工人小 王第x 天生产产品P（件）与x（天）之间的关系如下图所示，设小王第x 天创造的产品利润为元． (1)直接写出P 与x 之间的函数关系； (2)求与x 之间的函数关系式，并求小王第几天创造的利润最大？最大利润是多少？ (3)最后，统计还发现，平均每个工人每天创造的利润为288 元，于是，工厂制定如下奖励方：如果一个工 人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20 元奖金，请计算，在生产该批纪念过程中，小王 能获得多少元的奖金？ 【变式2-1】（2023·四川乐山·统考二模）某公司在甲、乙两城生产同一种产品，受原材料产地，上、下游 配套工厂等因素影响，生产成本不同．甲城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关系式为 y=a x 2+bx+c (a≠0)，图象为如图的虚线所示：乙城产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的关 系式为y=kx (k ≠0)，其图象为如图的实线所示． (1)求、b、k 的值． (2)若甲、乙两城一共生产50 件产品，请设计一种方，使得总生产成本最小． (3)从甲城把产品运往、B 两地的运费（万元）与件数（件）的关系式为：y甲A=nx，y甲B=3 x；从乙城 把产品运往、B 两地的运费（万元）与件数（件）的关系为：y乙A=x，y乙B=2 x；现在地需要40 件，B 地需要10 件，在（2）的条件下，求总运费的最小值（用含的式子表示）． 题型03 拱桥问题 【例3】（2023·北京丰台·统考一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动． 某地计划进行一场划龙舟比赛，图1 是比赛途中经过的一座拱桥，图2 是该桥露出水面的主桥拱的示意图， 可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位： m）与到点的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.01 (x−30) 2+9，据调查，龙舟最高处距离 水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m． (1)水面的宽度OA=¿_______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【变式3-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）某公内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB 为4 米．在距点水平距离为d 米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对d 和之 间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d 和的几组对应值，如下表． d/米 0 06 1 18 24 3 36 4 /米 088 190 238 286 280 238 160 088 在d 和这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①求该函数的解析式： ②公欲开设游船项目，现有长为35 米，宽为15 米，露出水面高度为2 米的游船．为安全起见，公要在水 面上的，D 两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从，D 两点之间安全通过，则处距桥墩的距离 CE至少为多少米?（❑ √2≈1.41，精确到01 米） 【变式3-2】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，拱形桥的截面由矩形和抛物线组成，矩形长12m，宽 4m，以当前水面为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系．其中拱桥的最高点D 到水面B 的距离为10m． (1)求该抛物线的解析式； (2)若一艘货轮宽为8m，要确保货轮安全通过拱桥，求其装完货物后的最大高度； (3)若要在拱桥抛物线的左右两侧同样的高度安装两个摄像头，要求摄像头到水面的距离不低于6m、不超 过8m，请直接写出两个摄像头水平距离的最大值． 题型04 隧道问题 【例4】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线BEC和矩形ABCD构成，矩形的 长AD为8m，宽AB为2m．以AD所在直线为x 轴，线段AD的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，抛 物线顶点E 到坐标原点的距离为5m． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高3.6m，宽2.4m，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说 明． 【变式4-1】（2023·宁夏银川·校考二模）如图，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其最大高度6 米，底 部宽度OM为12 米，现以点为原点，OM所在的直线为x 轴建立直角坐标系． (1)求这条抛物线的表达式； (2)该隧道设计为双向通行道，如果规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 米的范围内行驶，并保持 车辆顶部与隧道有不少于1 3米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为＿ 米； (3)在隧道修建过程中，需要搭建矩形支架AD−DC−CB（由三段组成）对隧道进行装饰，其中、D 在抛 物线上，，B 在地面OM上，求这个支架总长Z 的最大值． 【变式4-2】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400 米，一工程队在修了1400 米后，加快了工作进度，每天比 原计划多修5 米，结果提前10 天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米， 人行道地基，BD 宽均为2 米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系． ①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示） ②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少05 米，则此隧道限高________米． ③已知人行道台阶CE，DF高均为03 米，按照国家标准，人行道宽度不得低于125 米，该隧道的人行道 宽度设计是否达标？说明理由． + 题型05 空中跳跃轨迹问题 【例5】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知某运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，为研究 他从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点为原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系， 我们研究发现他在空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点为该二次函数图象 与x 轴的交点，点B 为该运动员的成绩达标点，BC ⊥x轴于点，相关数据如下： 水平距离x（米） 5 10 20 30 空中飞行的高度y（米） 45 6 0 −18 (1)请求出第一次跳跃的高度y（米）与水平距离x（米）的二次函数解析式______； (2)若该运动员第二次跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足y=−0.05 x 2+1.1 x，则他第二次跳跃落 地点与起跳点平面的水平距离为d=¿______米，d______30，成绩是否达标？______．（填写是或否） 【变式5-1】（2023·北京海淀·统考一模） 兔飞猛进 谐音成语 突飞猛进 ．在自然界中，野兔善于奔 “ ” “ ” 跑跳跃， 兔飞猛进 名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． “ ” (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据： 水平距离 x /m 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 y /m 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________m，最大竖直高度为_________m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方 2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填 能 或 不能 ）跃过篱笆． “ ” “ ” 【变式5-2】（2022·山东青岛·统考一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过 助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图， 取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 C1: y=−1 12 x 2+ 7 6 x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方3 米的点滑出，滑出后沿 一段抛物线C2: y=−1 8 x 2+bx+c运动，当运动员运动到离处的水平距离为4 米时，离水平线的高度为7 米． (1)求抛物线2的函数解析式； (2)当运动员与点的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； (3)运动员从点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 题型06 球类飞行轨迹 【例6】（2023·河南洛阳·统考二模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，如图 是一名男生投实心 ① 球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （米）与水平距离 x（米）之间的函数关系如图 所示， ② 掷出时起点处高度为2 米，当水平距离9 2米时，实心球行进至最高点：25 8 米处． (1)求y 关于x 的函数表达式； (2)根据该市2023 年中考体育考试评分标准（男生） ，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大 于等于124 米，此项考试得分为满分17 分，按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【变式6-1】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）某班级在一次课外活动中设计了一个弹 珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建 立了如图所示的平面直角坐标系（x 轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截 面示意图），某同学将弹珠从A (1,0)处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线L: y=a x 2+bx+ 3 2(单位长度为1m )的一部分，且当弹珠的高度为3 2 m时，对应的两个位置的水平距离为2m．已知DE=1m，EF=0.6 m， DA=4.7 m． (1)求抛物线L 的解析式和顶点坐标． (2)请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的情 况下，调整EF的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出EF的取值范围． 【变式6-2】（2023·河北保定·统考一模）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的B 处发 出，球每次出手后的运动轨迹都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点到y 轴总是保持6 米的水平距离， 竖直高度总是比出手点B 高出1 米，已知OB=m米，排球场的边界点距点的水平距离OA为18米，球EF 高度为2.4米，且OE=1 2 OA． (1)点的坐标为 （用含m 的代数式表示） (2)当m=2时，求抛物线的表达式． (3)当m=2时，球能否越过球？球会不会出界？请说明理由． (4)若运动员调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另 一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1 米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯 形的无盖排球回收框MNPQ（MQ∥PN），其中MQ=0.5米，MN=2米，NP=8 9米，若排球经过向右 反弹后沿L2的轨迹落入回收框MNPQ内（下落过程中碰到P、Q 点均视为落入框内），设M 点横坐标的最 大值与最小值的差为d，请直接写出d 的值． 题型07 喷泉问题 【例7】（2023·山东临沂·统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m． 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象 为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m、高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d （单位：m） (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； (2)求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 【变式7-1】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）某游乐有一个直径为16 米的圆形喷水池，喷水池的周 边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处 汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； (2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高18 米的王师傅站立时必须在 离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩 大到24 米（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【变式7-2】（2023·安徽芜湖·统考三模）消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮， 其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化 企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口距离地面35 米，距离 大楼起火侧面20 米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B 距离地面50 米，距离大楼起火侧面5 米，如图 所示建立平面直角坐标系． (1)求出水柱所在抛物线的解析式； (2)目前火焰不断从第17 层窗口窜出，若每层楼约29 米高，窗台高度约为09 米，窗顶距离该层地面高度约 24 米，此时水柱能否射入该层窗口？ (3)火势已经向上蔓延到距离地面55 米处，高喷