第14讲 二次函数的应用（练习）（原卷版）

第14 讲 二次函数的应用 目 录 题型01 最大利润/销量问题 题型02 方选择问题 题型03 拱桥问题 题型04 隧道问题 题型05 空中跳跃轨迹问题 题型06 球类飞行轨迹 题型07 喷泉问题 题型08 图形问题 题型09 图形运动问题 题型10 二次函数综合问题-线段、周长问题 题型11 二次函数综合问题-面积周长问题 题型12 二次函数综合问题-角度问题 题型13 二次函数综合问题-特殊三角形问题 题型14 二次函数综合问题-特殊四边形问题 题型01 最大利润/销量问题 1．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10 千 克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10 箱；当购买1 箱时，批发价为82 元/千克， 每多购买1 箱，批发价每千克降低02 元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12 元/千克时，每天可 销售1 箱；售价每千克降低05 元，每天可多销售1 箱． (1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； (2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所 获利润最大？最大利润是多少？ 2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2 本 科技类图书和3 本文学类图书需154 元，购买4 本科技类图书和5 本文学类图书需282 元． (1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？ (2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不 变）：购买科技类图书超过40 本但不超过50 本时，每增加1 本，单价降低1 元；超过50 本时，均按购买 50 本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100 本，其中科技类图书不少于30 本，但不超过60 本． 按此优惠，社区至少要准备多少购书款？ 3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植 和销售，已知草莓的种植成本为8 元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销 售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示． （1）根据图象信息，求y 与x 的函数关系式； （2）求五一期间销售草莓获得的最大利润． 题型02 方选择问题 4．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助 协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利04 万元，销 售乙种水果获利如下表所示： 销售x（吨） 3 4 5 6 7 获利y（万 元） 09 11 13 15 17 (1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1（万元）、y2（万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式； (2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？ (3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足 n=20−1 2 m 2，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方． 5．（2023·山东潍坊·统考二模）2023 年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000 元采 购型风筝的只数是用8000 元采购B 型风筝的只数的2 倍，一只型风筝的进价比一只B 型风筝的进价多20 元． (1)求一只，B 型风筝的进价分别为多少元？ (2)经市场调查发现：型风筝售价的一半与型风筝销量的和总是等于130，B 型风筝的售价为120 元/只．该 经销商计划购进，B 型风筝共300 只，其中型风筝m (50≤m≤150)只，若两种风筝能全部售出，求销售这 批风筝的最大利润，并写出此时的采购方． 6．（2020·山西太原·统考模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同 发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方：不收设计费， 定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的 平均费用为56元1套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均 每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 7．（2023·江苏南通·统考一模）某商家购进一批产品，成本为10 元/件，现有线上和线下两种销售方式， 售价均为x 元/件（10<x<24）．调查发现，线上的销售量为600 件；线下的销售量y（单位：件）与售价 x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 110 0 1000 900 800 (1)求y 与x 的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等； (3)若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大． 题型03 拱桥问题 8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽 AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每 小时上涨0.25m，当水位达到CD 处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时， 水面宽是多少？它能否安全通过此桥？ 9．（2023·北京房山·统考一模）如图1，某公在入处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若 将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2 所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位： m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a( x−h) 2+k(a<0)． (1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 x/m 2 3 6 8 1 0 12 竖直高度 y/m 4 54 72 64 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系 y=a( x−h) 2+k(a<0)． (2)一段时间后，公重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位： m）近似满足函数关系y=−0.288( x−5) 2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的 距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1__________d2(填“¿”、“¿”或“¿”）． 10．（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于 运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省 赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400 年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝 肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形． (1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中 ´ ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半 径是______m； (2)某桥B 的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4 m， 求桥拱抛物线的解析式； (3)如图③，某时桥和桥B 的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度． 题型04 隧道问题 11．（2022·北京通州·统考一模）如图1 是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙D 和与路 面B 垂直，隧道内侧宽B＝4 米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面B 上取点E，测量点E 到墙面 D 的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x 与y 的几 组值，如下表： x（米） 0 05 10 15 20 25 30 35 40 y（米） 300 344 376 394 399 392 378 342 300 (1)隧道顶面到路面B 的最大高度为______米； (2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的 图象． (3)今有宽为24 米，高为3 米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到 隧道顶面的距离应大于05 米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或 “否”）． 12．（2023·河南信阳·二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小 时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为 16cm，入口最高处OC为12.8米． (1)求抛物线解析式； (2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处 降为9.8米，求平移后的抛物线解析式； (3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？ 题型05 空中跳跃轨迹问题 13．（2022·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员进行10 米跳台跳水训练，水面边缘点E 的坐标为 ( −3 2 ,−10)．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时， 运动员在空中最高处点的坐标为(1, 5 4)，正常情况下，运动员在距水面高度5 米以前，必须完成规定的翻 腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B 点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E 的水平距离为5 米，问该运动员此次跳水会不会失误？ 通过计算说明理由； (3)在该运动员入水点的正前方有M，两点，且EM=21 2 ，EN=27 2 ，该运动员入水后运动路线对应的抛物 线解析式为y=a（x−h） 2+k ，且顶点距水面4 米，若该运动员出水点D 在MN之间（包括M，两点）， 请直接写出的取值范围． 14．（2023·山东青岛·统考二模）跳台滑雪简称：“跳雪”，选手不借助任何外力，从起滑台P 处起滑， 在助滑道PE 上加速，从跳台E 处起跳，最后落在山坡M 或者水平地面上．运动员从P 点起滑，沿滑道加 速，到达高度OE=42m的E 点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角 坐标系，OM=38m，ON=114 m，设MN所在直线关系式为y=kx ＋b． 甲运动员起跳后，与跳台E 水平距离x m、竖直高度y m之间的几组对应数据如下： 水平距离 x/m 0 10 20 30 40 竖直高度 y/m 4 2 48 50 48 42 (1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式； (2)运动员得分由距离得分＋动作分＋风速得分组成． 距离得分：运动员着陆点到跳台E 水平距离为50m，即得到60 分，每比50m远1 米多得2 分；反之，当 运动员着陆点每比50m近1 米扣2 分．距离分计算采取“2 舍3 入法”，如60.2米计为60 米，60.3米则计 为60.5米． 动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分． 风速得分：由逆风或者顺风决定． 甲运动员动作分、风速加分如下表： 距离 分 动作分 风速加分 50 −2.5 请你计算甲运动员本次比赛得分． 15．（2023·河南开封·统考一模）某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景， 在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点O为原点建立的平面直角坐标 系（甲位于点O处，乙位于x轴的D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点、B点，且 AB的水平距离为6米，他们到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的 垂直距离为1.8米． (1)请求出该抛物线的解析式； (2)跳绳者小明的身高为1.7米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶 上方； (3)经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.4米时才能安全起跳，小明与其 他3位同学一起跳绳，如果这3名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？ 题型06 球类飞行轨迹 16．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方 球门30 米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物 线，在离球门14 米时，足球达到最大高度8 米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方 球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求满足条件的抛物线的函数表达式； (2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3 米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这 次吊射？ 17．（2022·山东青岛·统考一模）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发 挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在官的 指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行 的最大高度为12 米，此时它的水平飞行距离为6 米，山坡的坡度为1:3． (1)求这条抛物线的表达式； (2)山坡上处的水平距离E 为9 米，处有一棵树，树高5 米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明 理由； (3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米． 18．（2022·浙江台州·统考二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一 时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与 球门线交于点B，且点，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知B=28m，B=8m，足 球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如下表： s/m … 9 12 15 18 21 … /m … 42 48 5 48 42 … (1)根据表中数据预测足球落地时，s= m； (2)求关于s 的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的 最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为25m/s，最大防守高度为25m；背对 足球向球门前进过程中最大防守高度为18m． ①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明； ②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 19．（2023·河北衡水·统考二模）如图，春节期间，某同学燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径是一段 抛物线，喷射出时距地面2 米，在与他水平距离是20 米，达到最大高度18 米时爆炸．若是哑弹（在空中 没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33 米处有一栋高15 米的居民楼（截面 矩形BD 与抛物线在同一平面上）． (1)求抛物线的解析式（不必写出x 的取值范围），请通过计算说明若是哑弹，会落在几层居民楼的外墙或 窗户上（每层楼高按3 米计算）； (2)该同学沿x 轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？（结果保留根号） (3)若居民楼宽AB=CD=12m，该同学沿x 轴向居民楼走米，可使哑弹落在楼顶D 上（不含点，D），直 接写出的取值范围．（结果保留根号） 20．（2023·北京海淀·统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直 发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下， 球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运 动轨迹近似为一条抛物线．如图1 和图2 分别建立平面直角坐标系xOy． 通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据， 如下表所示： 表1 直发式 x (dm ) 0 2 4 6 8 10 16 20 … y (dm ) 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 … 表2 间发式 x (dm ) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … y (dm ) 3.36 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 … 根据以上信息，回答问题： (1)表格中m=¿________，n=¿________； (2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； (3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1“间发式”模式下球第二次接触台 面时距离出球点的水平距离为d2，则d1________d2（填“>”“=”或“<”）． 题型07 喷泉问题 21．（2022·北京西城·统考一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一 个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值： x/ m 0 05 1 15 2 25 3 337 y/ m 244 315 349 345 304 225 109 0 小腾根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系xy 中，描出表中各组数值所对应的点(x , y )，并画出函数的图象； (2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m （结果保留小数点后两位）； (3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过32m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象， 估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）． 22．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水． 喷水口离地竖直高度为m，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物 线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上 边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口05m，灌溉车到绿化带的距离OD为d m．当 OH=1.5m，DE=3m，EF=0.5m 时，解答下列问题： (1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； ②求出点B 的坐标； (2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d 的取值范围． 题型08 图