专题22.1 二次函数的定义【七大题型】（原卷版）

专题221 二次函数的定义【七大题型】 【人版】 【题型1 二次函数的识别】................................................................................................................................................1 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】........................................................................................................................2 【题型3 二次函数的一般形式】........................................................................................................................................2 【题型4 判断二次函数的关系式】....................................................................................................................................3 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】............................................................................................................4 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】................................................................................................................5 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】................................................................................................................6 【知识点1 二次函数的概念】 一般地，形如y=a x 2+bx+（、b、是常数，≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y 是变 量，、b、 是常量，是二次项系数，b 是一次项系数，是常数项．y=a x 2+bx+（、b、是常数，≠0） 也叫做二 次函数的一般形式． 【题型1 二次函数的识别】 【例1】（2022 秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（ ） ①y＝（x+1）2﹣x2； ②y＝﹣3x2+5； ③y＝x3 2 ﹣x； ④y＝x2−1 x +¿3． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝ 200x2+400x；④y＝x3 2 ﹣x；⑤y＝x2−1 x +¿3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二 次函数有（ ）个 ．2 B．3 ．4 D．5 【变式1-2】（2022 春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（ ） 1 ①y2＝2x2 4 ﹣x+3；②y＝4 3 ﹣x+7x2；③y¿ 1 x 2−¿3x+5；④y＝（2x 3 ﹣）（3x 2 ﹣）； ⑤y＝x2+bx+；⑥y＝（2+1）x2 2 ﹣x 3 ﹣；⑦y＝m2x2+4x 3 ﹣． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-3】（2022 秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ） ①y¿ ❑ √x 2+2；②y＝﹣x2 3 ﹣x；③y＝x（x2+x+1）；④y¿ 1 1+x 2；⑤y＝﹣x+x2． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 【例2】（2022 秋•天津期末）若y＝（+1）x|+3|﹣x+3 是关于x 的二次函数，则的值是（ ） ．1 B．﹣5 ．﹣1 D．﹣5 或﹣1 【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）x m 2−2m−1是二次函数，那么m 的值是（ ） ．2 B．﹣1 或3 ．3 D．−1± ❑ √2 【变式2-2】（2022 秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m−3)x m 2−5m+8+2 x−3是关于x 的二 次函数，那么m 的值是（ ） ．3 B．﹣2 ．2 D．2 或3 【变式2-3】函数y＝（﹣5）x a 2+4 a+5+¿2x 1 ﹣，当＝ 时，它是一次函数；当＝ 时， 它是二次函数． 【题型3 二次函数的一般形式】 【例3】（2022 秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500 10 ﹣ x）（40+x），下列说法不正 确的是（ ） ．y 是x 的二次函数 B．二次项系数是﹣10 ．一次项是100 D．常数项是20000 【变式3-1】（2022 秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x 1 ﹣）2+1 的二次项系数为，一次 项系数为b，常数项为，则b2 4 ﹣ 0（填写“＞”或“＜”或“＝”） 【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）x❑ m 2−2m−1+¿（m 3 ﹣）x+m2是关于x 的二次函数，求出它 的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一 次项系数和常数项： （1）y＝2x+1； （2）y＝2x2+1； 1 （3）y＝x（2﹣x） （4）y¿ 1 2（x 1 ﹣）2−5 2 ； （5）y¿ 8 3 x 2； （6）y＝x2（x 1 ﹣）﹣1． 【题型4 判断二次函数的关系式】 【例4】（2021 秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ） ．正方形的周长y 与边长x B．速度一定时，路程s 与时间t ．正方形的面积y 与边长x D．三角形的高一定时，面积y 与底边长x 【变式4-1】（2022 秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（ ） ．当距离S 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 B．在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系 ．圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系 D．正方形的周长与边长之间的关系 【变式4-2】（2022 秋•沂源县期中）在下列4 个不同的情境中，两个变量所满足的函数关 系属于二次函数关系的有（ ） ①设正方形的边长为x 面积为y，则y 与x 有函数关系； ②x 个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y 与x 之间有函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y 与x 有函数关系； ④若一辆汽车以120km/的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x （）有函数关系． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式4-3】（2022 秋•海淀区校级月考）边长为5 的正方形BD，点F 是B 上一动点，过 对角线交点E 作EG⊥EF，交D 于点G，设BF 的长为x，△EFG 的面积为y，则y 与x 满 足的函数关系是（ ） 1 ．正比例函数 B．一次函数 ．二次函数 D．以上都不是 【知识点2 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】 （1）理解题意 ：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言 转化为数学语言； （2）分析关系 ：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； （3）列函数表达式 ：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式 写成用自变量表示的函数的形式 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】 【例5】（2022 秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021 年第一季度GDP 总值 约为24 千亿元人民币，若我市第三季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度 GDP 增长的百分率为x，则y 关于x 的函数表达式是（ ） ．y＝24（1+2x） B．y＝24（1﹣x）2 ．y＝24（1+x）2 D．y＝24+24（1+x）+24（1+x） 【变式5-1】（2022 秋•大兴区期中）某种商品的价格是2 元，准备进行两次降价．如果每 次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x 的 变化而变化，则y 关于x 的函数解析式是（ ） ．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 ．y＝（x+1）2 D．y＝（x 1 ﹣）2 【变式5-2】（2022 秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60 万个，设该厂第二 季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y 万个，那么y 与x 满足的函数关 系式是（ ） ．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 ．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x） 【变式5-3】（2022 秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个 月投放辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增 长率是第二个月的两倍，那么y 与x 的函数关系是（ ） ．y＝（1+x）（1+2x） B．y＝（1+x）2 ．y＝2（1+x）2 D．y＝2x2+ 1 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】 【例6】（2022 秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60 元，现在的售价为每件80 元，每 星期可卖出200 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1 元，每星期要少卖出10 件． 则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式 是（ ） ．y＝200 10 ﹣ x B．y＝（200 10 ﹣ x）（80 60 ﹣ ﹣x） ．y＝（200+10x）（80 60 ﹣ ﹣x） D．y＝（200 10 ﹣ x）（80 60+ ﹣ x） 【变式6-1】（2022 秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40 元的水产品．据 市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克；销售单价每涨2 元，月销售 量就减少10 千克．设每千克涨x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） ．y＝（50+x 40 ﹣ ）（500 10 ﹣ x） B．y＝（x+40）（ 10x 500 ﹣ ） ．y＝（x 40 ﹣ ）[500 5 ﹣（ x 50 ﹣ ）] D．y＝（50+x 40 ﹣ ）（500 5 ﹣x） 【变式6-2】（2022 秋•西陵区期末）某文学书的售价为每本30 元，每星期可卖出200 本， 书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2 元，每星期可多卖出10 本．设每本书降价x 元后，每星期售出此文学书的销售额为y 元，则y 与x 之间的函数 关系式为（ ） ．y＝（30﹣x）（200+10x） B．y＝（30﹣x）（200+5x） ．y＝（30﹣x）（200 10 ﹣ x） D．y＝（30﹣x）（200 5 ﹣x） 【变式6-3】（2022 秋•阜阳月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖 音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进 行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99 元时，日销售量为200 件，当每件电子产品每下降5 元时，日销售量会增加10 件．已知每售出1 件电子产品， 该主播需支付厂家和其他费用共50 元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利 润为（元），则与x 之间的函数解析式为（ ） ．＝（99﹣x）[200+10（x 50 ﹣ ）] B．＝（x 50 ﹣ ）[200+10（99﹣x）] ．＝（x 50 ﹣ ）（200+x−99 5 ×10） D．＝（x 50 ﹣ ）（200+99−x 5 ×10） 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】 【例7】（2022 秋•交城县期中）如图，四边形BD 中，B＝D，E⊥BD，E¿ 1 2BD．若△BD 1 的周长为20m，则△BD 的面积S（m2）与B 的长x（m）之间的函数关系式可以是（ ） ．S¿ 1 4 x 2−¿10x+100 B．S＝2x2 40 ﹣ x+200 ．S＝x2 20 ﹣ x+100 D．S＝x2+20x+100 【变式7-1】（2022•江夏区模拟）如图，在△B 中，B＝，B＝6，E 为边上的点且E＝2E， 点D 在B 边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△B＝x，则y 与x 的函数关系式为（ ） ．y¿ 1 810x2+5 2 B．y¿ 4 810 x2+5 2 ．y¿ 1 810x2+2 D．y¿ 4 810 x2+2 【变式7-2】（2022 秋•鄞州区期末）一副三角板（△BM 和△EG）如图放置，点E 在B 上滑 动，E 交BM 于D，EG 交M 于F，且在滑动过程中始终保持EF＝DE．若MB＝4，设 BE＝x，△EF 的面积为y，则y 关于x 的函数表达式是（ ） ．y＝2❑ √3x B．y＝2❑ √3x+1 ．y＝x（4❑ √3−¿x） D．y¿ 1 2x（4❑ √3−¿x） 【变式7-3】（2022•太原一模）如图，在正方形BD 中，B＝2，点M 为正方形BD 的边D 上的动点（与点，D 不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形BD 的外角∠DE 的平 1 分线交于点F．设M＝x，△DFM 的面积为y，则y 与x 之间的函数关系式 ． 1