专题12.3 角的平分线的性质【七大题型】（原卷版）

专题123 角的平分线的性质【七大题型】 【人版】 【题型1 作已知角的角平分线】.............................................................................................................................1 【题型2 角平分线的性质的应用】.........................................................................................................................3 【题型3 角平分线的性质与等积法】.....................................................................................................................4 【题型4 角平分线的性质与全等】.........................................................................................................................6 【题型5 角平分线的判定】...................................................................................................................................10 【题型6 角平分线的性质与判定综合】................................................................................................................ 11 【题型7 角平分线的实际应用】...........................................................................................................................13 【知识点1 角平分线的作法】 ①以为圆心，适当长为半径画弧，交于D，交B 于E ②分别以D、E 为圆心，大于 1 2 DE 的长为半径画弧，两弧在∠B 内部交于点 ③画射线即射线即为所求 【题型1 作已知角的角平分线】 【例1】（2022 秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形． ∠B 画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P．使点P 落在∠B 的平分线上． （本题有三个结果，三个点分别用字母、D、E 表示） 【变式1-1】（2022 秋•瑶海区期末）如图，Rt△B 中，∠＝90°，用尺规作图法作出射线 1 E，E 交B 于点D，D＝2，P 为B 上一动点，则PD 的最小值为（ ） ．2 B．3 ．4 D．无法确定 【变式1-2】（2022•辽宁）如图，G 平分∠M，点，B 是射线M，上的点，连接B．按以下 步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交B 于点，交B 于点D；②分别以点 和点D 为圆心，大于1 2D 长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交G 于点P． 若∠B＝140°，∠M＝50°，则∠PB 的度数为（ ） ．35° B．45° ．55° D．65° 【变式1-3】（2022 春•西乡县期末）如图，三角形B 中，点D 在上． （1）请你过点D 作DE 平行B，交B 于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法） （2）如果点E 在∠的平分线上，∠＝44°，那么∠DE＝ ． 【知识点2 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若D 平分∠DB，点P 是D 上一点，且PE D ⊥ 于点E，PF BD ⊥ 于点F，则PE＝PF 1 【题型2 角平分线的性质的应用】 【例2】（2022 春•崇川区校级期末）如图，四边形BD 中，对角线D 平分∠B，∠D＝ 136°，∠BD＝44°，则∠DB 的度数为（ ） ．54° B．50° ．48° D．46° 【变式2-1】（2022 秋•蓬江区校级期中）如图，已知△B 中，∠＝90°，D 平分∠B，且D： BD＝3：4．若B＝21，则点D 到B 边的距离为 ． 【变式2-2】（2022 秋•武昌区期中）在△B 中，∠B＝110°，∠的平分线交B 于E，在上取点 D，使得∠BD＝40°． （1）求证：点E 到和BD 的距离相等； （2）连接ED，求∠ED 的度数． 【变式2-3】（2022 春•金堂县期末）在△B 中，∠B＝120°，B＝，∠B 的平分线交B 于D，E 1 平分∠B 交B 于E，连接DE，DF⊥B 于F，则∠ED＝ °． 【题型3 角平分线的性质与等积法】 【例3】（2022•增城区期末）△B 中，B＝B＝，三内角平分线交于，P⊥B 于P，M⊥B 于 M，⊥于，⊥B 于．求证P+M+＝． 【变式3-1】（2022 春•泰和县期末）如图，BD 平分∠B 交于点D，DE⊥B 于E，DF⊥B 于 F，B＝B＝8，若S△B＝28，求DE 的长． 【变式3-2】（2022 春•香坊区期末）已知：点P 为∠EF 平分线上一点，PB⊥E 于B，P⊥F 于，点M、分别是射线E、F 上的点，且PM＝P． （1）当点M 在线段B 上，点在线段的延长线上时（如图1），求证：BM＝； （2）在（1）的条件下，M+＝ ； （3）当点M 在线段B 的延长线上时（如图2），若：P＝2：1，P＝4，求四边形PM 的 1 面积． 【变式3-3】（2022 秋•朝阳期中）在△B 中，D 是B 边上的点（不与点B、重合），连接 D． （1）如图1，当点D 是B 边上的中点时，S△BD：S△D＝ ； （2）如图2，当D 是∠B 的平分线时，若B＝m，＝，求S△BD：S△D的值（用含m，的代 数式表示）； （3）如图3，D 平分∠B，延长D 到E，使得D＝DE，连接BE，如果＝2，B＝4，S△BDE ＝6，那么S△B＝ ． 【题型4 角平分线的性质与全等】 【例4】（2022 春•通道县期末）已知在△B 中，∠B 的平分线D 与B 的垂直平分线DE 交于 点D，DM⊥B 与M，D⊥交的延长线于，你认为BM 与之间有什么关系？试证明你的发 1 现． 【变式4-1】（2022 秋•金平区校级月考）已知：如图1，四边形BD 中，平分∠BD，∠B 和 ∠D 都是直角． （1）求证：B＝D． （2）若将原题中的已知条件“∠B 和∠D 都是直角”放宽为“∠B 和∠D 互为补角”，其 余条件不变，如图2，猜想：B 边和邻边D 的长度是否一定相等？请证明你的结论． 1 【变式4-2】（2022 秋•文昌校级期中）在△B 中，D、E 分别是∠B、∠B 的平分线，D、E 相 交于点F． （1）①如图（1），当∠B＝60°，∠B＝90°，则∠F＝ 120° ； ②如图（2），如果∠B 不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF 与DF 的数量关系，并证明你的猜想． 【变式4-3】（2022 秋•东区校级月考）如图①，P 是∠M 的平分线，请你利用该图形画一 对以P 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列 问题： 1 （1）如图②，在△B 中，∠B 是直角，∠B＝60°，D、E 分别是∠B、∠B 的平分线，D、E 相交于点F．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（不需证明） （2）如图③，在△B 中，∠B＝60°，D、E 分别是∠B、∠B 的平分线，D、E 相交于点 F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 由． 【知识点3 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE D ⊥ 于点E，PF BD ⊥ 于点F，PE＝PF，则PD 平分∠DB 1 【题型5 角平分线的判定】 【例5】（2022 秋•滨湖区校级期中）已知：如图，在△B 中，是∠B、∠外角的平分线的交 点，那么点在∠的平分线上吗？为什么？ 【变式5-1】（2022 秋•浦北县校级月考）如图，△B 中，P 是角平分线D，BE 的交点． 求证：点P 在∠的平分线上． 【变式5-2】（2022 春•澧县期末）如图，已知点P 到E、D、B 的距离相等，下列说法：① 点P 在∠B 的平分线上；②点P 在∠BE 的平分线上；③点P 在∠BD 的平分线上；④点P 在∠B、∠BE、∠BD 的平分线的交点上，其中正确的是 ．（填序号） 1 【变式5-3】（2022 秋•北关区校级月考）如图，D、E、F 分别是△B 的三条边上的点，E＝ BF，△DE 和△DBF 的面积相等． 求证：D 平分∠B． 【题型6 角平分线的性质与判定综合】 【例6】（2022 秋•费县期末）∠B＝∠＝90°，EB＝E，DE 平分∠D，求证：E 是∠DB 平分 线． 【变式6-1】（2022 秋•台安县期中）如图，△B 中，∠B 的平分线与∠的外角的平分线交于 P 点，PD⊥于D，P⊥B 于， （1）若点P 到直线B 的距离是5m，求点P 到直线B 的距离； （2）求证：点P 在∠的平分线上． 1 【变式6-2】（2022 秋•洛龙区校级月考）如图，PB、P 分别是△B 的外角平分线，它们相 交于点P，求证：点P 在∠的平分线上． 【变式6-3】（2022 秋•铁东区校级期中）如图，△B 中，点D 在B 边上，∠BD＝100°，∠B 的平分线交于点E，过点E 作EF⊥B，垂足为F，且∠EF＝50°，连接DE． （1）求∠D 的度数； （2）求证：DE 平分∠D； （3）若B＝7，D＝4，D＝8，且S△D＝15，求△BE 的面积． 1 【题型7 角平分线的实际应用】 【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息， 而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处． 【变式7-1】（2022 春•西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点， 使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹） 【变式7-2】（2022 春•东山县校级期末）如图，某铁路M 与公路PQ 相交于点，且夹角为 90°，其仓库G 在区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5m． （1）在图上标出仓库G 的位置． （2）求出仓库G 到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）． 【变式7-3】（2022 秋•柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建 一个公，要使公到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕 迹）并证明你的观点． 1 1