专题27.5 相似三角形的应用【七大题型】（解析版）

专题275 相似三角形的应用【七大题型】 【人版】 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】.........................................................................................................1 【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】.........................................................................................................3 【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】.........................................................................................................7 【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】...................................................................................................11 【题型5 相似三角形的应用（树高问题）】.......................................................................................................16 【题型6 相似三角形的应用（河宽问题）】.......................................................................................................19 【题型7 相似三角形的应用（内接矩形问题）】...............................................................................................23 【知识点 相似三角形的应用】 在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学 问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握 并应用一些简单的相似三角形模型。 【题型1 相似三角形的应用（九章算术）】 【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在 “勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问： 出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200 步 （“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中 点，出东门15 步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点D 在直线 上）． 【答】2000 3 步 【分析】本题只需要证出△CDK ∽△DAH，利用相似三角形的性质可以得到： 1 CK 100=100 15 ，然后可以求出K 的值，得出答． 【详解】解：由题意可知：DE=DG=200，＝15 ∵为GD 的中点，K 为DE 的中点 D＝100，DK＝100 ∵∥DK ∴∠DK＝∠ 而∠KD＝∠D ∴△CDK ∽△DAH ∴CK DH = DK AH 即CK 100=100 15 ， ∴CK=2000 3 答：出南门2000 3 步恰好看到位于处的树木． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用 视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度． 【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上 部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆B，从木杆的顶端B 观察 井水水岸D，视线BD 与井口的直径交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米， AE=0.4米，那么D 为（ ）米． 1 ．5 B．4 ．3 D．2 【答】 【分析】由题意知：△BE∽△DE，得出对应边成比例即可得出D． 【详解】解：由题意知：B∥D，则∠BE=∠，∠B=∠DE， ∴△BE∽△DE， ∴AB CD = AE CE ， ∴1 CD = 0.4 1.6−0.4 ， ∴D=3， 经检验，D=3 是所列方程的解， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出△BE DE ∽△ 是解决问题的关键． 【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑 方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步 见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFG 是一座正方形小城，北门位于FG 的中 点，南门B 位于E 的中点．从北门出去正北方向20 步远的处有一树木，从南门出去向南行 走14 步，再向西行走1775 步，恰好能看见处的树木，则正方形小城的边长为（ ） ．105 步 B．200 步 ．250 步 D．305 步 【答】 【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角 形的性质解题，相似三角形的对应边成比例． 1 【详解】设小城的边长为x 步，根据题意， Rt△F∽Rt△DM， ∴CA CD = FA MD ， 即 20 20+14+x = 0.5 x 1775， 去分母并整理， 得x2+34x-71000=0， 解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250 步． 故选：． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方 程，通过解方程即可求出小城的边长． 【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一 部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年（公元263 年）所撰，本为《九章算术注》之 第十卷，题为《重差》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可 及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、远得名《海岛算经》，亦为地图学提 供了数学基础． 《海岛算经》中的第4 道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺 端望谷底，入下股九尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股 八尺五寸．问谷深几何？ 大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段M，在山谷边缘处放置一个直角 三角尺B，∠B＝90°，＝6 尺，，，在一条直线上，⊥M，从点处望山谷底部M 处时，视线 经过B 上的点E 处，测得E 长为9 尺1 寸；将三角尺沿着射线方向向上平移3 丈得到 △A ' B 'C '，从A '处望山谷底部M 处时，视线经过B 'C '上的点F 处，测得F C '长为8 尺5 寸．求山谷深为几丈．（注：1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸） 1 【答】山谷深为419 丈． 【分析】根据题目中的条件，需要两次利用三角形相似的判定定理及性质，证明两个三角 形相似，再利用对应边成比例建立等式，进行求解． 【详解】：解：由题意知：AC=60寸，EC=91寸，F C '＝85 寸，A A '＝300 寸． ∵∠EAC=∠MAN ,∠ACE=∠ANM， ∴△ACE∼△ANM． ∴AC AN = EC MN ． ∴60 AN = 91 MN ． ∴MN=91 60 AN． ∵∠F A 'C '=∠M A ' N ,∠A 'C ' F=∠ANM， ∴△F A 'C '∼△M A ' N． ∴A 'C ' A ' N = F C ' MN ． 即 A 'C ' A ' A+ AN = F C ' MN ． ∴ 60 300+ AN = 85 91 60 AN ， 解得：AN=4250 经检验：AN=4250符合题意， ∴CN=AN−AC=4190寸＝419 丈． 答：山谷深为419 丈． 1 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理及性质，解题的关键是：熟练掌握相似三角形 的判定定理及性质，根据对应边成比例建立等式，再通过等量代换进行求解． 【题型2 相似三角形的应用（影长问题）】 【例2】（2022·浙江金华·九年级期末）如图，小明在8：30 测得某树的影长为16m，13： 00 时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ） ．10m B．8m ．6m D．4m 【答】B 【分析】根据题意，画出示意图，证明△ED∽△FD，进而可得ED DC = DC FD ，即 D2=ED•FD，代入数据可得答． 【详解】解：根据题意，作△EF，树高为D，且∠EF=90°，ED=4m，FD=16m； ∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ED=90°， ∴∠ED=∠F， 又∠CDE=∠FDC ∴△ED∽△DF， ∴ED DC = DC FD ，即D2=ED•FD=4×16=64， 解得D=8m（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的 关键． 【变式2-1】（2022·江苏徐州·中考真题）如图，公内有一个垂直于地面的立柱B，其旁边 有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30 ∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm， 在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60m 的木杆的影长为90m 1 （其影子完全落在地面上）．求立柱B 的高度． 【答】(170+60❑ √3)m 【分析】延长D 交B 于点E，过点D 作DF⊥B 于点F，根据直角三角形的性质求出DF， 根据余弦的定义求出F，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可． 【详解】解：延长D 交B 于点E，过点D 作DF⊥B 于点F， 在Rt△DF 中，∠FD=90°，∠DF=30°， 则DF=1 2D=90（m），F=D•s∠DF=180× ❑ √3 2 =90❑ √3（m）， 由题意得：DF EF =60 90，即90 EF =60 90， 解得：EF=135， ∴BE=B+F+EF=120+90❑ √3+135=(255+90❑ √3)m， 则 AB 255+90 ❑ √3=60 90， 解得：B=170+60❑ √3， 答：立柱B 的高度为(170+60❑ √3)m． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是 数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算． 【变式2-2】（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小 1 明在点D 处，自己的影长DF=4 m，沿BD方向到达点F 处再测自己的影长FG=5m，如 果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度． 【答】8m 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵CD∥EF ∥AB， ∴可以得到△ABF ∽△CDF，△ABG∽△EFG， ∴AB CD = BF DF ，AB EF = BG FG ， 又∵CD=EF， ∴BF DF = BG FG ∵DF=4，FG=5，BF=BD+DF=BD+4，BG=BD+DF+FG=BD+9， ∴4+BD 4 =9+BD 5 ， ∴BD=16,BF=16+4=20， ∴AB 1.6 =20 4 ， 解得AB=8． 答：路灯杆AB的高度为8米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中， 利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果． 【变式2-3】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期末）如图,小华在晚上由路灯走向路灯 B，当她走到P 点时,发现她身后影子的顶端刚好接触到路灯的底部,当她向前再步行12m 到 Q 点时，发现她身前影子的顶端刚好接触到路灯 B 的底部已知小萌的身高是16m，两路灯 的高度都是96m，且P=QB=x m 1 (1)求两路灯之间的距离 (2)当小萌在，B 之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子的长的和变吗? 请说明理由 【答】(1)18m (2)两个影子的长的和不会变，一直都是36m 【分析】（1）连接，易证Δ APD∽Δ ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求出x 的 值，两路灯间的距离等于PQ+2x； （2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相思笔即可求出影子的长 度和． （1） 如图，连接， ∵DP⊥B，B⊥B， ∴DP∥CB， ∴Δ APD∽Δ ABC， ∴DP CB = AP AB ，即：1.6 9.6= x 2 x+12， 解得：x=3， ∴B=2×3+12=18（m） （2） 1 如图，当小萌在，B 之间走动时，在路灯下的影子长度为，在B 路灯下的影子长度为M， ∵D⊥B，B⊥B，E⊥B， ∴AD∥OE∥BC， ∴Δ∧¿∽ΔONE，Δ BMC∽ΔOME， ∴OE AD =ON AN ，OE CB =OM BM ， 则1.6 9.6 =ON AN ，1.6 9.6=OM BM ，整理得：ON=1 6 AN，OM=1 6 BM， +M=1 6 ( AN +BM ) M=1 6 ( AB+MN ) 由（1）得：B=18m， ∴M=1 6 (18+MN )，解得：M=36m， 故：两个影子的长的和不会变，一直都是36m 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判 定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解 决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法． 【题型3 相似三角形的应用（杠杆问题）】 【例3】（2022·山东临沂·二模）如图，EF 是一个杠杆，可绕支点自由转动，若动力F 动和 阻力F阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F阻不变时，则杠杆向下运动时F 动的大 小变化情况是（ ） 1 ．越来越小 B．不变 ．越来越大 D．无法确定 【答】B 【分析】由图证明△MOE∽△NOF，从而得到ME NF = MO NO ，即ME⋅NO=NF ⋅MO， 再根据题意得出答． 【详解】解：∵∠MOE=∠NOF，∠M=∠ONF， ∴△MOE∽△NOF， ∴ME NF = MO NO ，即ME⋅NO=NF ⋅MO， ∵阻力F阻不变，即ME 不变， 又∵M，不变， ∴由ME⋅NO=NF ⋅MO得，F 不变，即F 动的大小不变． 故选：B． 【点睛】本题以实际问题为背景，考查了相似三角形的判定与性质，从实际问题中抽离出 数学图形，是解题的关键． 【变式3-1】（2019·全国·九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点， 当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动，现有一块石 头，要使其滚动，杠杆B端必须向上翘10cm，已知杠杆上的AC与BC长度之比为5:1，则 要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压多少厘米？ 【答】50 厘米 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点 向下压的长度． 【详解】解：解：如图；M、B 都与水平线垂直，即M B ∥； 1 易知：△M B ∽△； ∴AC BC = AM BN ∵杠杆的动力臂与阻力臂B 之比为5：1， ∴AM BN =5 1，即M=5B； ∴当B≥10m 时，M≥50m； 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压50m． 故答为50 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的 关键． 【变式3-2】一根均匀的木棒所受重力G=10，小亮以木棒的一端为支点，竖直向上将木棒 的另一端缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B 为的中点，，BD 分 别垂直地面于点，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F 的大小为（ ） ．5 B．10 ．15 D．20 【答】 【分析】依据BD∥，B 是的中点，即可得到D 是的中点，再根据杠杆平衡原理，可得 G×D=F×，进而得出拉力F 的大小． 【详解】解：∵BD⊥，⊥， ∴BD∥， ∴OB BA =OD DC ， 又∵B 是的中点，即B=B， ∴D=D， 1 ∴D¿ 1 2， 根据杠杆平衡原理，可得G×D=F×， 10 ∴ × 1 2=F×， 解得F=5()， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及杠杆平衡原理，熟练掌握平行线 分线段成比例定理并准确识图是解题的关键 【变式3-3】（2021·甘肃白银·九年级期末）如图，以点为支点的杠杆，在端用竖直向上的 拉力将重为G 的物体匀速拉起，当杠杆水平时，拉力为F；当杠杆被拉至1时，拉力为F1， 过点B1作B1⊥，过点1作1D⊥，垂足分别为点、D．在下列结论中： ①△O B1C ∽△O A1 D；②•=B•D；③•G=D•F1；④F=F1，正确的是（ ） ．①②④ B．②③④ ．①②③ D．①②③④ 【答】D 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1∥1D，然后求出 △B1∽△1D，判断出①正确； 根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确； 根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式判断出③正确； 求出F 的大小不变，判断出④正确． 【详解】∵B1⊥，1D⊥， B ∴ 1∥1D， B ∴△ 1∽△1D，故①正确； ∴OC OD = O B1 O A1 ， 由旋转的性质得，B=B1，=1， •=B•D ∴ ，故②正确； 1 由杠杆平衡原理，•G=D•F1，故③正确； ∴F1 G =OC OD = O B1 O A1 =OB OA 是定值， F ∴1的大小不变， F=F ∴ 1，故④正确． 综上所述，说法正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判 定方法和性质并准确识图是解题的关键． 【题型4 相似三角形的应用（建筑物问题）】 【例4】（2019·四川·成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3 世纪人， 是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵 的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度， 立两根高3 丈的标杆B 和DE，两杆之间的距离BD＝1000 步，点D、B、成一线，从B 处退 行123 步到点F 处，人的眼睛贴着地面观察点，点、、F 也成一线，从DE 退行127 步到点 G 处，从G 观察点，，E，G 三点也成一线，试计算山峰的高度及B 的长（这里古制1 步＝6 尺，1 里＝1