专题24.1 圆【七大题型】（原卷版）

专题241 圆【七大题型】 【人版】 【题型1 圆的概念】................................................................................................................................................. 1 【题型2 圆的有关概念】.........................................................................................................................................2 【题型3 确定圆的条件】.........................................................................................................................................3 【题型4 点与圆的位置关系】.................................................................................................................................4 【题型5 圆中角度的计算】.....................................................................................................................................6 【题型6 圆中线段长度的计算】.............................................................................................................................7 【题型7 圆相关概念的应用】.................................................................................................................................8 【知识点1 圆的概念】 定义①：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫 做圆． 固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆，记作“⊙”，读作“圆”． 定义②：圆可以看做是所有到定点的距离等于定长r 的点的集合． 【题型1 圆的概念】 【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（ ） ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 ．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心 【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点的距离大于或等于2，并且小于或 等于3 的点组成的图形的面积为（ ） ．4π B．9π ．5π D．13π 【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙1的半径等于篮球的半径，⊙2的半径等于 一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1 米，则面积增加较多的圆是（ ） ．⊙1 B．⊙2 ．两圆增加的面积是相同的 D．无法确定 【变式1-3】（2022•浙江）如图，B 是⊙的直径，把B 分成几条相等的线段，以每条线段 1 为直径分别画小圆，设B＝，那么⊙的周长l＝π． 计算：（1）把B 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2=1 2 πa=1 2 l； （2）把B 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ ； （3）把B 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ ； （4）把B 分成条相等的线段，每个小圆的周长l＝ ． 结论：把大圆的直径分成条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆 周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大 圆面积的关系． 【知识点2 与圆有关的概念】 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧， 简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆 的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 【题型2 圆的有关概念】 【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③ 过圆内一点P 的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式2-1】（2022 图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（ ） ．1 B．4 ．10 D．11 【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有 条直径，有 条弦，以点为端点的优 弧有 条，有劣弧 条． 1 【变式2-3】（2022 仪征市期末）如图，⊙的半径为6，△B 的面积为18，点P 为弦B 上一 动点，当P 长为整数时，P 点有 个． 【知识点3 确定圆的条件】 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直 线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线 上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一 条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【题型3 确定圆的条件】 【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示， 三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） ．① B．② ．③ D．均不可能 【变式3-1】（2022 春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点（1，0）、B（0，﹣ 3）、（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，点，B，的横、纵坐标 都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ． 1 【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，B，． （1）画出该轮的圆心； （2）若△B 是等腰三角形，底边B＝16m，腰B＝10m，求圆片的半径R． 【知识点4 点与圆的位置关系】 设⊙的半径为r，点P 到圆心的距离为P=d，则有： 点P 在圆外⇔d＞r； 点P 在圆上⇔d=r； 点P 在圆内⇔d＜r 【题型4 点与圆的位置关系】 【例4】（2022 秋•宜州区期末）如已知：如图，△B 中，∠＝90°，＝2m，B＝4m，M 是中 线，以为圆心，以❑ √5m 长为半径画圆，则点、B、M 与⊙的关系如何？ 1 【变式4-1】（2022 春•龙湖区校级月考）⊙的面积为25πm2，⊙所在的平面内有一点P， 当P 时，点P 在⊙上；当P 时，点P 在⊙内；当P 时，点P 在⊙外． 【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P （m，）是⊙上的一个动点，则m2+2的最大值为 ． 【变式4-3】（2022 秋•金牛区期末）如图．（3，0）．动点B 到点M（3，4）的距离为 1，连接B，B 的中点为，则线段的最小值为 ． 【题型5 圆中角度的计算】 【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝D，∠＝114°，求∠D 的度数． 1 【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，B 是⊙的直径，D 是⊙的弦，B、D 的延长线 交于点E．已知B＝2DE，∠E＝25°，求∠的度数． 【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，B 为⊙的直径，D∥，∠D＝84°，则∠B＝ ． 【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l 经过⊙的圆心，且与⊙交于、B 两点，点在 ⊙上，且∠＝30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心不重合），直线P 与⊙相交于点 Q．是否存在点P，使得QP＝Q；若存在，求出相应的∠P 的大小；若不存在，请简要 说明理由． 1 【题型6 圆中线段长度的计算】 【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△B 中，∠＝90°，B＝10．若以点为圆心，长为半径 的圆恰好经过B 的中点D，则⊙的半径为（ ） ．5 ❑ √3 B．8 ．6 D．5 【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆的周长为4π，B 是弦D 上任意一点 （与，D 不重合），过B 作的平行线交D 于点E，则E+EB＝ ．（用数字表示） 【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知B 是⊙的直径，是⊙上的一点，D⊥B 于 D，D＜BD，若D＝2m，B＝5m，求D、的长． 【变式6-3】（2022 秋•邗江区期中）如图，半圆的直径B＝8，半径⊥B，D 为弧上一点， DE⊥，DF⊥，垂足分别为E、F，求EF 的长． 1 【题型7 圆相关概念的应用】 【例7】（2022 秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10 米的圆形花坛，为使 花坛修得更加美观，决定向全校征集方，在众多方中最后选出两种方： 方如图1 所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方B 如图2 所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3 的两部分， 再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分） （1）如果按照方修，修的花坛的周长是 ．（保留π） （2）如果按照方B 修，与方比，省材料吗？为什么？（保留π） （3）如果按照方B 修，学校要求在5 天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完 成工程的1 15，他做了1 天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2 倍， 乙加入后，甲的速度也提高了1 2，结果正好按时完成任务，若修1 米花坛可得到10 元钱， 修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π 取3） 【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是17 米，如果前轮每分钟转动6 周，那么这台压路机10 分钟前进（ ）米． ．51π B．102π ．153π D．204π 【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1m，内径为 4m，外径为7m，已知30 层胶带厚15mm，则这卷胶带长 m．（π≈314，结果保留 4 位有效数字） 1 【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4m 和2m，两圆外切于 点，一只蚂蚁由点开始BDEFG 的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆 周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πm 后才停下来．则这只蚂蚁停在点 ． 1