九上专题01 韦达定理的四种考法（教师版）

专题01 韦达定理的四种考法 【基础知识点】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0(≠0)的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2¿ c a ． 类型一、直接运用韦达定理求代数式的值 例1 已知 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是( ) ．0 B．1 ．2 D．-3 【答】 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ， ，∴ = =0， 故选：． 【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则x1 2 2017 ﹣ x1 2018 ﹣ x2的值为 ( ) ．2020 B．2019 ．2018 D．2017 【答】B 【详解】 x1，x2是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根， ， ， ． 故选B． 【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0 的两个实数根分别为 ，且 ，则k 的值是( ) ．－2 B．2 ．－1 D．1 【答】D 【解析】 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ， ， ， ， ， ，整理得出： ，解得： ， 故选：D． 【变式训练3】设α、β 是方程x2+x 2018 ﹣ ＝0 的两个实数根，则α2+2α+β 的值为_____． 【答】2017 【详解】解：∵α 是方程x2+x 2018 ﹣ ＝0 的根， α ∴ 2+α 2018 ﹣ ＝0，∴α2＝﹣α+2018， α ∴ 2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018， α ∵、β 是方程x2+x 2018 ﹣ ＝0 的两个实数根，∴α+β＝﹣1， α ∴ 2+2α+β＝﹣1+2018＝2017． 故答为2017． 类型二、降幂思想求值 例1 已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】∵与b 是方程 的两根 + ∴b=1，2--1=0，b2-b-1=0，∴2=+1，b2=b+1 ∵ ，同理： ∴ 故选：D． 【变式训练1】若 ，则 的值为_________________． 【答】 【详解】 ， ①． ①等式两边同乘 得， 代回原式． ． 故答为 ． 【变式训练2】若2+ 1=0 ﹣ ，则代数式4+3 的值为_____． 【答】2 【详解】∵ ， ∴ ， ， ∴ 【变式训练3】若 ，那么代数式 的值是_________ 【答】- 6 【详解】由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x(x2+x)+x2-7，然后将其整体 代入求值即可． 解：∵ ， ∴x2+x=1， ∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6 故答为−6 类型三、构造方程思想求值 例1 已知m≠1，且5m2+2010m+9=0，92+2010+5=0，则 的值为( ) ．﹣402 B． ． D． 【答】 【详解】将92+2010+5=0 方程两边同除以2，变形得：5×( )2+2010× +9=0，,又 5m2+2010m+9=0， m ∴ 与 为方程5x2+2010x+9=0 的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m• = = ． 故选 【变式训练1】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______． 【答】 【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ， ∴m，是方程 的两实数根， ∴ ， ， ∴ ， 故答为： 【变式训练2】若m2+m＝－1，2－3m＝10，则代数式m2+7m－22的值为_______． 【答】−21 【详解】∵ ， ， ∴原式=(m2＋m)−2(2−3m)=−1−20=−21， 故答为：−21． 【变式训练3】若实数 、 满足 ， ，则代数式 的值为______． 【答】98 【解析】∵实数 、 满足 ， ， ∴ 、 是方程 的两个根，∴ ， ， ∴ = = ， 故答是：98． 【变式训练4】设实数s、t 分别满足 ，并且st≠1，求 ____ 【答】-5 【详解】由题意得s 与 是方程 的两个根，由根与系数的关系分别求出 两根的和与两根的积，代入代数式即可求出结果． 把方程 转化为 s ∴与 是方程 的两个根 ∴ ， ∴ 类型四、根的取值范围问题 例1．方程 的两根分别为 ， ，且 ，则 的取值范围是_ ___． 【答】 【详解】根据根与系数的关系得到x1+x2= m ﹣，x1x2=m 3 ﹣， x ∵1＜0＜x2＜1， x ∴1x2＜0，x1 1 ﹣＜0，x2 1 ﹣＜0， m 3 ∴﹣＜0，(x1 1)(x ﹣ 2 1) ﹣ ＞0， x1x2 (x ﹣ 1+x2)+1＞0，即m 3+m+1 ﹣ ＞0，解得m＞1， 1 ∴＜m＜3． 【变式训练1】已知x1，x2是关于x 的方程x2 (+1) ﹣ x+1＝0 的两个实数根． (1)若x1≠x2，求实数的取值范围； (2)是否存在实数使得x1 2＝x2 2成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) 且 ；(2)存在，的值为1 或-1 【详解】解：(1)由题意得 ， 解得：≠0 且≠1． 故实数的取值范围是：≠0 且≠1； (2)存在； ①若x1＝x2，则 ， 解得：＝1； ②若x1+x2＝0，则 ， 解得：＝﹣1． 综上所述，＝1 或﹣1． 【变式训练2】已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根． (1)若 ，求的值； (2)已知等腰三角形 的一边长为7，若 、 恰好是△ 另外两边的长，求这个三 角形的周长． 【答】(1)6；(2)17 【详解】解：(1)由题意得： ， ∴ 解得： ∵ 、 是关于 的一元二次方程 的两实数根， ∴ 得： ∴ (2)①当7 为底，即 时，则 ， 即 解得 把=2 代入方程得 ∴ 3+3 ∵ ＜7(舍去) ②当7 为腰，，即 时，将x = 7 代入方程得49-14(+1)+2+5=0， 解得 当 时， =22， 解得 ， ∴三角形的周长为3+7+7=17； 当 时， =10， 解得 7+7 ∵ ＜15(舍去) 综上，三角形的周长为17． 【变式训练3】关于x 的方程 有两个不相等的实数根，求分别满足下列条 件的取值范围： (1)两根都小于0； (2)两根都大于1； (3)方程一根大于1，一根小于1． 【答】(1)-2＜＜-1；(2)2＜＜3；(3)＞3 【详解】解：∵关于x 的方程x2-2x++2=0 有两个不相等的实根， =(-2) ∴△ 2-4(+2)＞0， ∴＜-1 或＞2． 设方程x2-2x++2=0 的两根为α，β， α+β=2，αβ=+2． (1)∵两根都小于0， α+β=2 ∴ ＜0，αβ=+2＞0， 解得：-2＜＜0， 又 ，＜0； ∵＜-1 或＞2， -2 ∴ ＜＜-1； (2)∵两根都大于1， (α-1)(β-1) ∴ ＞0， αβ-(α+β)+1 ∴ ＞0， +2-2 ∴ ＞-1， ∴＜3， 又 ，＞1； 又＜-1 或＞2， 2 ∴＜＜3； (3))∵一根大于1，一根小于1， (α-1)(β-1) ∴ ＜0， αβ-(α+β)+1 ∴ ＜0， +2-2 ∴ ＜-1， ∴＞3 【变式训练4】设关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ． (1)求 的值； (2)求证： ，且 ； (3)若 ，试求 的最大值． 【答】(1) ；(2)见解析；(3) 取最大值 ． 【详解】(1)解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ， ∴ ， ∴ (2)证明：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根， Δ=1-4≥0, ∴ ∴ ，即 ， ∴ ， ， 由此可知： 且 ∴ 且 命题得证． (3)解：由题 ， 当 时， 取最大值 ， 又∵ ， ∴ 满足条件． 即当 时， 取最大值 ．