模型42 相似形——一线三等角模型-原卷版

相似形 模型（四十二）——一线三等角模型 一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上 ◎结论1：如图 ∠＝∠DBE＝∠， 则①△DB∽△BE；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） ◎结论2：如图 ∠＝∠DBE＝∠，B 点是的中点， 则①△BD∽△BED∽△EB；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） DB ③ 、EB 平分∠DE 和∠DE 模型图解 外角：∠DB＝∠＋∠DB ∠DBE＋∠EB＝∠＋∠DB， ∠EB＝∠DB。 同理：∠DB＝∠BE， △DB∽△BE ∴ ∴AD CB ＝AB CE 改为乘积式：DE＝BB 一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右 证明：△BD∽△EB ∴AB CE ＝AD CB ＝BD EB , AD CB ＝BD EB B ∵＝B ∴AD AB ＝BD EB 又∵∠DB＝∠DBE △DB∽△DBE ∴ ∠DB ∴ ＝∠BDE △BD,△BED,△EB 均相似 BD,BE 为∠DE,∠DE 角平分线 常见图形： 一线三等角模型应用的四种情况： 1 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； 2 图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题； 3 图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题； 4 图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型 解题。 1．（2021·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点．将 沿 翻折，点 正好落在线段 上的点 处，使得 ．若 ，则 的长度为（ ） ． B． ． D． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ， 、 、 、 分别为矩形边上的 点， 过矩形的中心 ，且 ． 为 的中点， 为 的中点，则四边形 的周长为（ ） ． B． ． D． 1．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6 的等边△B 中，D 是边B 上一点，将△B 沿EF 折叠使点与点D 重合，若BD : DE=2 : 3，则F=____． 2．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形BD 中，∠=∠D=120°，B=6、D=4，点 E、F 分别在线段D、D 上（点E 与点、D 不重合），若∠BEF=120°，E=x、DF=y，则y 关于x 的函数关系式为____ ____ 3（2021·吉林·长春市绿区师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与 点、B 重合）， ．易证 ．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合）， ．若 ， ， ，求P 的长． 【拓展】如图③，在 中， ， ，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合），连结P，作 ，PE 与边B 交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出P 的长． 1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形 的顶点 分别落在轴 轴上， ， B=2B 则点 的坐标是（ ） ． B． ． D． 2．（2020·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，将正方形纸片BD 沿EF 折叠，折痕为EF，点的对应点是点′， 点B 的对应点是点B′，点B′落在边D 上，若B′:D=1:3，且BF＝10，则EF 的长为（ ） ． B． ． D． 3．（2022·湖北襄阳·一模）如图， 为等边三角形，点D，E 分别在边B，上， ，将 沿直线DE 翻折得到 ，当点F 落在边B 上，且 时， 的值为______． 4．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题 如图1，在四边形BD 中，点P 为B 上一点，当 时，求证： ． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在 中， ， ，以点为直角顶点作等腰 ．点D 在B 上，点E 在上，点F 在 B 上，且 ，若 ，求D 的长．