模型34 旋转——费马点模型-解析版

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 PP1，则△BPP1是等边三角形，所以 PB=PP1 由旋转的性质可得P+PB+P ＝ P11+PP1+P≥1, ∴当1、P1、P、四点共线时，P+PB+P 的值最小， △BPP ∵ 1是等边三角形，∠BPP1＝60º， ∠BP ∴ ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， 故∠BP＝∠P＝∠P＝120º 费马点作法： 分别以、B、B 为边作等边△D、△BE、△BF,连接F,BD,E, 由手拉手可得△E △DB ≌ ，△BE △FB, ≌ E ∴＝BD，E＝F， E ∴＝BD＝F 旋转角：∠BPE＝∠EP＝∠PD＝60° 1．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）如图，在 中， ，P 是 内一点， 求 的最小值为______． 有等边，求长度，不好求，作等边 【答】 【分析】将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，可得P=PF，DF=P，将 转化为 ，此时当 B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，连接PF、D、DB，过点D 作DE⊥B，交B 的延长线于点E； ∴P=DF，∠PF=∠D= ，P=F，=D， ∴△PF、△D 是等边三角形， ∴P=PF，D==1，∠D= ∴ ， ∴当B、P、F、D 四点共线时， 的值最小，最小值为BD 的长； ∵ ，∠D= ， ∴∠ED= ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的值最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，将三条线段的长转化到一条直 线上． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点，连接 M，BM，M，则M+BM+M 的最小值为________． 【答】 【分析】以BM 为边作等边△BM，以B 为边作等边△BE，如图，则△BM≌△BE，由全等三角形的对应边相等得到 M=E，进而得到M+MB+M=M+M+E．当、M、、E 四点共线时取最小值E．根据等腰三角形“三线合一”的性质 得到B⊥E，=E，根据30°直角三角形三边的关系即可得出结论． 【详解】以BM 为边作等边△BM，以B 为边作等边△BE，则BM=B=M，B=BE=E，∠MB=∠BE=60°，∴∠MB=∠BE， ∴△BM≌△BE，∴M=E，∴M+MB+M=M+M+E．当、M、、E 四点共线时取最小值E． ∵B=B=BE=6，∠B=∠EB=60°，∴B⊥E，=E，∠B=30°，∴B= B=3，= B= ，∴E=2= ． 故答为 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难度比较大．作出恰当的辅助 线是解答本题的关键． 1．（2022·福建三明·八年级期中）【问题背景】17 世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马， 提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点 是 内的一点，将 绕点 逆时针旋转60°到 ，则可以构造出等边 ，得 ， ，所以 的值转化为 的值，当 ， ， ， 四点共线时，线段 的长为所求的最小值，即点 为 的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点 是等边 内的一点，连接 ， ， ，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ． ①若 ，则点 与点 之间的距离是______； ②当 ， ， 时，求 的大小； (2)如图2，点 是 内的一点，且 ， ， ，求 的最小值． 【答】(1) 3 ①；②150°； (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出 的值； ②先证△BP≌ ，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到 ，即可求出 的大小； （2）将△P 绕点顺时针旋转60°得到 ，先求出 ，然后证明 为等边三角形，当B、P、 、 四点共线时， 和最小，用勾股定理求出 的值即可． （1） ①如图，将 绕逆时针旋转60°， 则 ， ， ∴ 为等边三角形， ； ②∵△B 为等边三角形， ∴B=，∠BP+∠P=60°， 又∵ 是等边三角形， ∴∠P+ =60°， ∴∠BP= ， 在△BP 与 中， ， ∴△BP≌ （SS）， ∴ ∴ ， ， ， 又∵旋转，∴ ； （2） 如图，将△P 绕点顺时针旋转60°得到 ， 则 ， 在 中， ， ， ， 又∵ ， ， ， 过 作 ⊥B 交B 的延长线于点D， 则 ， ， （30°所对的直角边等于斜边的一半）， ， ， 为等边三角形， 当B、P、 、 四点共线时， 和最小， 在 中， ， ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决 问题． 2．（2021·江苏·苏州工业区星湾学校八年级期中）背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的 三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被 人们称为“费马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P 在 内部，当 时，则 取得最小值． (1)如图2，等边 内有一点P，若点P 到顶点、B、的距离分别为3，4，5，求 的度数，为了解决本题， 我们可以将 绕顶点旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并 连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证： 过 的费 马点． (3)如图4，在 中， ， ， ，点P 为 的费马点，连接 、 、 ，求 的值． (4)如图5，在正方形 中，点E 为内部任意一点，连接 、 、 ，且边长 ；求 的 最小值． 【答】(1)150°； (2)见详解； (3) ； (4) ． 【分析】（1）根据旋转性质得出 ≌ ，得出∠BP=∠P′，∠PB=∠P′，P=P′=3，BP=P′=4，根据△B 为等 边三角形，得出∠B=60°，可证△PP′为等边三角形，PP′=P=3，∠P′P=60°，根据勾股定理逆定理 ，得出△PP′是直角三角形，∠PP′=90°，可求∠P′=∠PP+∠PP=60°+90°=150°即可； （2）将△PB 逆时针旋转60°，得到△B′P′，连结PP′，根据△PB≌△B′P′，P=P′，PB=PB′，B=B′，根据 ∠PP′=∠BB′=60°，△PP′和△BB′均为等边三角形，得出PP′=P，根据 ，根据两点之 间线段最短得出点，点P，点P′，点B′四点共线时， 最小=B′，点P 在B′上即可； （3）将△PB 逆时针旋转60°，得到△P′B′，连结BB′，PP′，得出△PB≌△P′B′，可证△PP′和△BB′均为等边三角形， 得出PP′=P，BB′=B，∠BB′=60°，根据 ，可得点，点P，点P′，点B′四点共线时， 最小=B′，利用30°直角三角形性质得出B=2=2，根据勾股定理B= ，可求 BB′=B=2，根据∠BB′=∠B+ BB′=30°+60°=90° ∠ ，在Rt△BB′中，B′= 即可； （4）将△BE 逆时针旋转60°得到△E′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥B，交B 延长线于F，得出△BE≌△E′B′， BE=B′E′，E=E′，B=B′，可证△EE′与△BB′均为等边三角形，得出EE′=E，BB′=B，∠B′B=60°， ，得出点，点E，点E′，点B′四点共线时， 最小=B′， 根据四边形BD 为正方形，得出B=B=2，∠B=90°，可求∠FBB′=180°-∠B-∠BB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三 角形性质得出BF= ，勾股定理BF= ，可求F=B+BF=2+ ，再根据勾 股定理B′= 即可． (1) 解：连结PP′， ∵ ≌ ， ∴∠BP=∠P′，∠PB=∠P′，P=P′=3，BP=P′=4， ∵△B 为等边三角形， ∴∠B=60° ∴∠PP′=∠P+∠P′=∠P+∠BP=60°， ∴△PP′为等边三角形， ,∴PP′=P=3，∠P′P=60°， 在△P′P 中，P=5， ， ∴△PP′是直角三角形，∠PP′=90°， ∴∠P′=∠PP+∠PP=60°+90°=150°， ∴∠PB=∠P′=150°， 故答为150°； (2) 证明：将△PB 逆时针旋转60°，得到△B′P′，连结PP′， ∵△PB≌△B′P′， ∴P=P′，PB=PB′，B=B′， ∵∠PP′=∠BB′=60°， ∴△PP′和△BB′均为等边三角形， ∴PP′=P， ∵ ， ∴点，点P，点P′，点B′四点共线时， 最小=B′， ∴点P 在B′上， ∴ 过 的费马点． (3) 解：将△PB 逆时针旋转60°，得到△P′B′，连结BB′，PP′， ∴△PB≌△P′B′， ∴P′=P，B′=B， ∵∠PP′=∠BB′=60°， ∴△PP′和△BB′均为等边三角形， ∴PP′=P，BB′=B，∠BB′=60°， ∵ ∴点，点P，点P′，点B′四点共线时， 最小=B′， ∵ ， ， ， ∴B=2=2，根据勾股定理B= ∴BB′=B=2， ∵∠BB′=∠B+ BB′=30°+60°=90° ∠ ， ∴在Rt△BB′中，B′= ∴ 最小=B′= ； (4) 解：将△BE 逆时针旋转60°得到△E′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥B，交B 延长线于F， ∴△BE≌△E′B′， ∴BE=B′E′，E=E′，B=B′， ∵∠EE′=∠BB′=60°， ∴△EE′与△BB′均为等边三角形， ∴EE′=E，BB′=B，∠B′B=60°， ∵ ， ∴点，点E，点E′，点B′四点共线时， 最小=B′， ∵四边形BD 为正方形， ∴B=B=2，∠B=90°， ∴∠FBB′=180°-∠B-∠BB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥F， ∴BF= ，BF= ， ∴F=B+BF=2+ ， ∴B′= ， ∴ 最小=B′= ． 【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最 短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角 三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键． 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△B 中，∠B＝45°，B＝6，＝4，P 为平面内一点，求 最小值 【答】 【分析】将△P 绕点逆时针旋转45°，得到△ ，将△ 扩大 倍，得到△ ，当点B、P、 、 在 同一直线上时， = 最短，利用勾股定理求出 即可． 【详解】解：如图，将△P 绕点逆时针旋转45°，得到△ ，将△ 扩大，相似比为 倍，得到△ ， 则 ， ， ， 过点P 作PE⊥ 于E， ∴E= ， ∴ E= -E= ， ∴P = ， 当点B、P、 、 在同一直线上时， = 最短，此时 = B ， ∵∠B =∠B+∠ =90°，B=6， ， ∴ ． ∴ = B = 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全 等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图 形 1．如图，在平面直角坐标系xy 中，点B 的坐标为(0，2)，点 在 轴的正半轴上， ，E 为△BD 的中 线，过B、 两点的抛物线 与 轴相交于 、 两点（ 在 的左侧） （1）求抛物线的解析式； （2）等边△ 的顶点M、在线段E 上，求E 及 的长； （3）点 为△ 内的一个动点，设 ，请直接写出 的最小值,以及 取得最小值时，线段 的长 【答】(1) (2) ； 或 （3） 可以取到的最小值为 ．当 取得最小值时，线段 的长为 【分析】（1）已知点B 的坐标，可求出B 的长；在Rt△BD 中，已知了∠DB=30°，通过解直角三角形即可求得D 的长，也就得到了点D 的坐标；由于E 是线段BD 的中点，根据B、D 的坐标即可得到E 点的坐标；将B、E 的坐 标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式； （2）过E 作EG x ⊥轴于G，根据、E 的坐标，即可用勾股定理求得E 的长；过作E 的垂线，设垂足为K，易证得 △K EG ∽△ ，通过相似三角形所得比例线段即可求得K 的长；在Rt△MK 中，通过解直角三角形，即可求得MK 的 值，而K 的长可在Rt△K 中由勾股定理求得，根据M=K-KM 或M=K+KM 即可求得M 的长； （3）由于点P 到△B 三顶点的距离和最短，那么点P 是△B 的费马点，即∠P= PB= PB=120° ∠ ∠ ；易证得△BE 是等 边三角形，那么P+P+PB 的最小值应为E 的长；求P 的长时，可作△BE 的外接圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q 与E 的交点即为m 取最小值时P 点的位置；设⊙Q 与x 轴的另一交点（点除外）为，易求得点Q 的坐标，即可得到点 的坐标，也就得到了的长，相对于⊙Q 来说，E、都是⊙Q 的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得 P 的长． 【详解】（1）过E 作EG D ⊥ 于G BD= EGD=90° ∵∠ ∠ ，∠D= D ∠， BD EGD ∴△ ∽△ ， ∵点B（0，2），∠DB=30°， 可得B=2，D＝2 ； E ∵ 为BD 中点， ∴ = EG=1 ∴ ，GD＝ G ∴＝ ∴点E 的坐标为( ，1) ∵抛物线 经过 、 两点， ∴ 可得 ∴抛物线的解析式为 （2）∵抛物线与 轴相交于 、 ， 在 的左侧， ∴ 点的坐标为 过E 作EG x ⊥轴于G ∴ , ∴在△GE 中， , 过点 作 ⊥ 于 ， 可得△ ∽△ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ∴ ∵△ 是等边三角形, ∴ ． ∴ ． ∴ ,或 （3）如图； 以B 为边做等边三角形′B，以为边做等边三角形B′； 易证E=B=2，∠BE=60°，则△BE 是等边三角形； 连接′、BB′、E，它们的交点即为m 最小时，P 点的位置（即费马点）； =B ∵ ′，∠B′B= E=150° ∠ ，B=E， E B′B ∴△ △ ≌ ； B′B= E ∴∠ ∠； BP= EP′ ∵∠ ∠ ，而∠BE=60°， PP'=60° ∴∠ ， PP′ ∴△ 为等边三角形， P=PP′ ∴ ， P+PB+P=P+P′+P′E=E ∴ ； 即m 最小=E= 如图；作正△BE 的外接圆⊙Q， 根据费马点的性质知∠BP=120°，则∠PB+ BP=60° ∠ ，而∠EB= EB=60° ∠ ； PBE+ PE=180° ∴∠ ∠ ，∠BP+ BE=180° ∠ ； 即B、P、、E 四点共圆； 易求得Q（ ，1），则（ ，0）； = ∴ ； 由割线定理得：P•E=•， 即：P=•÷E= × ÷ = 故： 可以取到的最小值为 ． 当 取得最小值时，线段 的长为 【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及 费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大． 2．（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，B=，点P 是B 边上一动点，作PD⊥B 于点D，线段D 上 存在一点Q，当Q+QB+Q 的值取得最小值，且Q=2 时，则PD=________． 【答】 【分析】如图1，将△BQ 绕点B 顺时针旋转60°得到△BM，连接Q，当点，点Q，点，点M 共线时，Q+QB+Q 值 最小，此时，如图2，连接M，证明M 垂直平分B，证明D=BD，此时P 与D 重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方 程求出x 可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQ 绕点B 顺时针旋转60°得到△BM，连接Q， ∴BQ=B，Q=M，∠QB=60°， ∴△BQ 是等边三角形， ∴BQ=Q， ∴Q+QB+Q=Q+Q+M， ∴当点，点Q，点，点M 共线时，Q+QB+Q 值最小， 此时，如图2，连接M ∵将△BQ 绕点B 顺时针旋转60°得到△BM， ∴BQ=B，B=BM，∠QB=60°=∠BM， ∴△BQ 是等边三角形，△BM 是等边三角形， ∴∠BQ=∠BQ=60°，BM=M， ∵BM=M，B=， ∴M 垂直平分B， ∵D⊥B，∠BQD=60°， ∴BD= QD， ∵B=，∠B=90°，D⊥B， ∴D=BD，此时P 与D 重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x= ， ∴x=3+ ， ∴PD=3+ ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运 用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．