模型42 相似形——一线三等角模型-解析版

相似形 模型（四十二）——一线三等角模型 一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上 ◎结论1：如图 ∠＝∠DBE＝∠， 则①△DB∽△BE；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） ◎结论2：如图 ∠＝∠DBE＝∠，B 点是的中点， 则①△BD∽△BED∽△EB；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） DB ③ 、EB 平分∠DE 和∠DE 模型图解 外角：∠DB＝∠＋∠DB ∠DBE＋∠EB＝∠＋∠DB， ∠EB＝∠DB。 同理：∠DB＝∠BE， △DB∽△BE ∴ ∴AD CB ＝AB CE 改为乘积式：DE＝BB 一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右 证明：△BD∽△EB ∴AB CE ＝AD CB ＝BD EB , AD CB ＝BD EB B ∵＝B ∴AD AB ＝BD EB 又∵∠DB＝∠DBE △DB∽△DBE ∴ ∠DB ∴ ＝∠BDE △BD,△BED,△EB 均相似 BD,BE 为∠DE,∠DE 角平分线 常见图形： 一线三等角模型应用的四种情况： 1 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； 2 图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题； 3 图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题； 4 图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型 解题。 1．（2021·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点．将 沿 翻折，点 正好落在线段 上的点 处，使得 ．若 ，则 的长度为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由 是等边三角形， ＝ ＝ ＝60°， 由沿DE 折叠落在B 边上的点F 上， ， ＝ ＝60°，D=DF，E＝EF，由F：BF=1:2，设F=m，BF=2m，B=3m，设D＝x，D=DF＝ ， 由 BE=2，B＝ ，可得E＝ ，可证 ，利用性质 ，即 ，解方程 即可 【详解】解：∵ 是等边三角形， ∴ ＝ ＝ ＝60°， ∵沿DE 折叠落在B 边上的点F 上， ∴ ， ∴ ＝ ＝60°，D=DF，E＝EF， F ∵：BF=1:2， 设F=m，BF=2m，B=3m， 设 ＝x， ＝DF＝ ， BE=2 ∵ ，B＝ ， E ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ＝60°， ∴ ＝120°， ＝120°， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ，使等式有意义， ∴ ＝ ， 故选择：． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和 计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ， 、 、 、 分别为矩形边上的 点， 过矩形的中心 ，且 ． 为 的中点， 为 的中点，则四边形 的周长为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】连接 ，证明四边形 是矩形，再证明 ，求得 与 的长度，由勾股定理求得 与 ，再由矩形的周长公式求得结果． 【详解】解：连接 ， 四边形 是矩形， ， ， 为 的中点， 为 的中点， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 矩形是中心对称图形， 过矩形的中心 ． 过点 ，且 ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 解得， 或4， 或4， 当 时， ，则 ， ， 四边形 的周长 ； 同理，当 时，四边形 的周长 ； 故选： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形 是矩形． 1．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6 的等边△B 中，D 是边B 上一点，将△B 沿EF 折叠使点与点D 重合，若BD : DE=2 : 3，则F=____． 【答】24 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠，DF=F，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°， ∠BDE+∠DF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠DF=∠BED，进而得到△BDE∽△FD，再由BD : DE=2 : 3，可得到 ，即 ，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠，DF=F， ∵△B 是等边三角形， = ∴∠∠B= =60° ∠ ， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠DF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠DF=∠BDE+∠BED， ∴∠DF=∠BED， ∴△BDE∽△FD， ∴ ，即 ， ∵等边△B 的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答为：24 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性 质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形BD 中，∠=∠D=120°，B=6、D=4，点 E、F 分别在线段D、D 上（点E 与点、D 不重合），若∠BEF=120°，E=x、DF=y，则y 关于x 的函数关系式为____ ____ 【答】 【分析】根据题意证明 ，列出比例式即可求得y 关于x 的函数关系式 【详解】解： ∠=∠D=120°，∠BEF=120°， B=6、D=4，E=x、DF=y， 即 故答为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3（2021·吉林·长春市绿区师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与 点、B 重合）， ．易证 ．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形BD 中，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合）， ．若 ， ， ，求P 的长． 【拓展】如图③，在 中， ， ，点P 在边B 上（点P 不与点、B 重合），连结P，作 ，PE 与边B 交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出P 的长． 【答】【探究】3；【拓展】4 或 ． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△P∽△BPE，分P=E、P=PE、E=EP 三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵ 是 的外角， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， 解得： ； 拓展：∵=B， = ∴∠∠B， ∵∠PB 是△P 的外角， ∴∠PB= + ∠∠P，即∠PE+∠EPB= + ∠∠P， = ∵∠∠PE， ∴∠P=∠BPE， = ∵∠∠B， ∴△P∽△BPE， 当P=E 时，∠PE=∠EP， ∵∠EP＞∠B，∠PE= = ∠∠B， ∴P=E 不成立； 当P=PE 时，△P≌△BPE， 则PB==8， ∴P=B-PB=12 8=4； 当E=EP 时，∠PE=∠EP， ∵∠B=∠PE， ∴∠EP=∠B， ∴P=PB， ∵△P∽△BPE， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∴P=B PB= ， 综上所述：△PE 是等腰三角形时，P 的长为4 或 ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论 思想是解题的关键． 1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形 的顶点 分别落在轴 轴上， ， B=2B 则点 的坐标是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】过作E x ⊥轴于E，根据矩形的性质得到D=B，∠B=90°，，根据余角的性质得到∠BE= B ∠，进而得出 △BE B ∽△，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：过作E x ⊥轴于E， ∵四边形BD 是矩形， D=B ∴ ，∠B=90°， B+ BE= BE+ BE=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， BE= B ∴∠ ∠， ∵ ， BE B ∴△ ∽△， ∴ ， ∵ B= ∴ ， B=2B ∵ ， B= ∴ B=4， ∵ ， E=2 ∴ ，BE=2 E=4 ∴ +2 ∴（4 +2，2 ）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2020·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，将正方形纸片BD 沿EF 折叠，折痕为EF，点的对应点是点′， 点B 的对应点是点B′，点B′落在边D 上，若B′:D=1:3，且BF＝10，则EF 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设 ，则D=3x， ，根据 求出x=6，得到D=18，F=8， =12，证明△ ∽△ 求得DM=9， ， ，M=9，再根据 求得E=4，过点E 作E B ⊥ 于， 则四边形BE 是矩形，再根据勾股定理求出EF= 【详解】设 ，则D=3x， ， 由折叠得 ， F=3x-10 ∴ ， ∵ 100= ∴ ， 解得x=6 或x=0（舍去）， D=18 ∴ ，F=8， =12， = D= ∵∠∠ ∠ , ∴∠ , ∴△ ∽△ , ∴ ， ∴ ， DM=9 ∴ ， ， ∴ ，M=9， 在Rt△ 中， ， ∴ , 解得EM=5， E=4 ∴ ， 过点E 作E B ⊥ 于，则四边形BE 是矩形， B=E=4 ∴ ，E=B=D=18， F=10-4=6 ∴ ， EF= ∴ , 故选： 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解题 中多次用到勾股定理求出直角三角形中的边长，根据折叠的性质得到对应的边相等或角度相等是解题的关键 3．（2022·湖北襄阳·一模）如图， 为等边三角形，点D，E 分别在边B，上， ，将 沿直线DE 翻折得到 ，当点F 落在边B 上，且 时， 的值为______． 【答】 【分析】根据△B 为等边三角形，△DE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF∽△FE，根据BF=4F，可得F=4，根 据F 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE⊥F， 根据S 四边形DFE= =S△EF=-S△B-S△EF，进而可求 ． 【详解】解：如图，作△B 的高L，作△BDF 的高D， ∵△B 为等边三角形，△DE 与△FDE 关于DE 成轴对称， ∴∠DFE=∠DE= 60°，D = DF， ∴∠FE+∠FE=∠FE+∠DFB= 120°， ∴∠DFB= ∠EF， 又∠B=∠= 60°， ∴△BDF∽△FE， ∴ ， 即 ， 设F= x(x > 0)， ∵BF=4F， ∴BF= 4x， ∵BD=3， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵△BDF∽△FE， ∴ ， ∴ 解得：x=2， ∴F=4， ∴B=5x=10， ∵在Rt△BL 中，∠B=60°， ∴L=Bs60°=10× =5 ， ∴S△B= ， ∵在Rt△BD 中，BD=3，∠B=60°， ∴D=BDs60°= ， ∴S△BDF= ， ∵△BDF∽△FE， ∴ ， ∵S△BDF= ， ∴S△EF= ， 又∵F 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴， ∴D=DF，△DF 为等腰三角形，DE⊥F， ∴S 四边形DFE= =S△EF=-S△B-S△EF = ， ∴ ． 故答为: ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k 型相似，以及“垂美四边形”的性质：对 角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半． 4．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题 如图1，在四边形BD 中，点P 为B 上一点，当 时，求证： ． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在 中， ， ，以点为直角顶点作等腰 ．点D 在B 上，点E 在上，点F 在 B 上，且 ，若 ，求D 的长． 【答】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由∠DP= = ∠B=90°，可得∠DP＝∠BP，即可证到△DP △BP，然后运用相似三角形的性质即可解决 问题； （2）由∠DP＝∠＝∠B＝α，可得∠DP=∠BP，即可证到△DP △BP，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）先证△BD △DFE，求出DF=4，再证△EF △DE，可求F＝1，进而解答即可． 【详解】（1）证明：如题图1， ∵∠DP= = ∠∠B=90°， ∴∠DP＋∠PD=90°，∠BP＋∠PD = 90°， ∴∠DP = ∠BP， ∴△DP △BP， ， ∴D B = P BP， （2）结论仍然成立，理由如下， ， 又 ， ， ， 设 ， ， ， ， ∴D B = P BP， （3） ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， , ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．