专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题（原卷版）

专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题 类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题 例1．如图所示，正方形 的边长为2，点 为边 的中点，点 在对角线 上移动，则 周 长的最小值是（ ） ． B． ． D． 例2．如图，在矩形BD 中，B＝4，B＝8，E 为D 边的中点，P，Q 为B 边上两个动点，且PQ＝2，当四边 形PQE 的周长最小时，BP 的长为（ ） ．0 B．3 ．4 D．6 例3．如图，在矩形 中， ，为对角线 的中点，点P 在 边上，且 ，点Q 在 边上，连接 与 ，则 的最大值为____________， 的最小值为__________． 【变式训练1】如图，正方形 的周长为24， 为对角线 上的一个动点， 是 的中点，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【变式训练2】如图，在矩形BD 中，B＝2，D＝3，动点P 满足S△PB＝ S 矩形BD，则点P 到B，两点距 离之和PB+P 的最小值为（ ） ． B． ． D．2 【变式训练3】如图，在正方形 中， ， 与 交于点，是 的中点，点M 在 边上， 且 ，P 为对角线 上一点，则 的最大值为_____________． 【变式训练4】如图，在正方形 中， ， 为 边上一点， ． 为对角线 上一动 点（不与点 、 重合），过点 分别作 于点 、 于点 ，连接 、 ，则 的最小值为______． 类型二、翻折型最值问题 例1．如图，在边长为2 的菱形BD 中，∠=60°，M 是D 边的中点，是B 边上的一动点，将△M 沿M 所在直 线翻折得到△ M，连接 ，则 长度的最小值是（ ） ． B． ． D． 例2．如图，在正方形BD 中，B=6，E 是D 边上的中点，F 是线段B 上的动点，将△EF 沿EF 所在的直线 折叠得到 ，连接 ，则的最小值是 _______． 【变式训练1】如图，在矩形 中， ， ， 在 上， ， 是线段 上的动点， 将 沿 所在的直线折叠得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ） ．6 B．4 ． D． 类型三、旋转型最值问题 例1．如图，正方形 中， ，E 是边 的中点，F 是正方形 内一动点，且 ，连接 ， ， ，并将 绕点D 逆时针旋转 得到 （点M，分别为点E，F 的对应点）．连 接 ，则线段 长度的最小值为_____________． 例2．如图，长方形BD 中， ， ，E 为B 上一点，且 ，F 为B 边上的一个动点，连接 EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和G，则G 的最小值为______． 【变式训练1】如图，已知正方形 的边长为，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕点 顺时 针旋转 到 ，连接 ， ，则当 之和取最小值时， 的周长为______．（用含的代 数式表示） 【变式训练2】如图①．已知 是等腰直角三角形， ，点D 是 的中点，作正方形 ，使点 ， 分别在 和 上，连接 ， ． (1)试猜想线段 和 的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 ，小于或等于 ），如图②， 通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明 理由； (3)若 ，在（2）的旋转过程中， ①当 为最大值时，则 ___________．②当 为最小值时，则 ___________． 类型四、P+KPB 型最值问题 例．如图，菱形BD 中， ，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则 的最小值是 ______． 【变式训练1】如图，长方形 中， 点 是线段 上一动点，连接 ，则 的最小值为_____． 【变式训练2】如图，▱ 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小 值为______． 课后训练 1．如图，菱形 的边长为8， ，点E，F 分别是 ， 边上的动点，且 ，过 点B 作 于点G，连接 ，则 长的最小值是（ ） ． B． ． D． 2．如图，在菱形 中，E，F 分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，G，分别为 ， 的 中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 3．如图，四边形BD 中，B//D，∠B=60°， ，点M 是四边形BD 内的一个动点，满足 ∠MD=90°，则点M 到直线B 的距离的最小值为（ ） ． B． ． D． 4．如图，直线平分正方形 的面积，直线分别与 、 交于点 、 ， 直线于 ，连接 ，若 ，则 长的最小值为___________． 5．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一动点，连接 、 ，则 的最小 值为________． 6．如图，正方形BD，边长为7，点E 在边B 上， ，点F 是B 边上一动点，连接EF，以EF 为边向 右作等边 ，连接G，线段G 的最小值是___________． 7．如图，在矩形BD 中，E，F 分别是边 ， 上的动点，P 是线段 的中点， ， ， G，为垂足，连接 ．若 ， ， ，则 的最小值是______． 8．如图，E、F、G、分别是正方形 边 、 、 、 上的点，连接E、F、G、，若 ， ，则四边形 的周长最小值是_____________． 9．如图，在四边形 中， ，四边形 的面积为 ，连接对角线 ， 则 的最小值为______．