专题07 特殊平行四边形中的动点与最值问题（学生版）

专题07 特殊平行四边形中的动点与最值问 题 类型一、最值问题 例．如图，在正方形BD 中，B=8，与BD 交于点，是的中点，点M 在B 边上，且BM=6． P 为对角线BD 上一点，则PM﹣P 的最大值为( ) ．2 B．3 ． D． 【变式训练1】如图，菱形BD 的边长为9，面积为18 ，P、E 分别为线段BD、B 上的 动点，则PE+P 的最小值为___． 【变式训练2】如图，正方形BD 是边长为2，点E、F 是D 边上的两个动点，且E=DF， 连接BE、F，BE 与对角线交于点G，连接DG 交F 于点，连接B，则B 的最小值为_______． 【变式训练3】如图，长方形BD 中， ， ，E 为B 上一点，且 ，F 为B 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和G， 则G 的最小值为______． 【变式训练4】如图，在边长为2 的正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 、 交于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 __． 类型二、动点问题 例．如图，已知在正方形BD 中， 厘米， ，点E 在边B 上，且 厘米，如果点P 在线段B 上以2 厘 米/秒的速度由B 点向点运动，同时，点Q 在线段D 上以厘米/秒的速度由点向D 点运动， 设运动时间为t 秒．若存在与t 的值，使 与 全等时，则t 的值为( ) ．2 B．2 或15 ．25 D．25 或2 【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，点P 从点出发 沿方向以2m/s 的速度向点匀速运动，同时点Q 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀 速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P 作 于点 D，连接PQ、QD，设点P 运动的时间为ts． (1)求证：四边形PQD 是平行四边形； (2)当四边形PQD 成为菱形时，求出相应的t 的值； 【变式训练2】如图，在矩形 中， ， ．点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止；同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 ， 的速度都是 ．连接 ， ， ，设点 ， 运动的时间为 ． (1)当为何值时，四边形 是矩形？ (2)当为何值时，四边形 是菱形？ (3)分别求出(2)中菱形 的周长和面积 课后训练 1．如图，在正方形BD 中，B＝4，E 为对角线上与，不重合的一个动点，过点E 作EF⊥B 于点F，EG⊥B 于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝ ∠DE；④FG 的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 2．如图1，在菱形 中， ， ，点 从 开始，以每秒1 个单位的速 度向点 运动；点 从 出发，沿 方向，以每秒2 个单位的速度向点 运动， 若 、 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 秒，过点 作 ，交 于点 ． (1)当 时，求线段 的长； (2)设 的面积为，直接写出与的函数关系式及的取值范围； (3)在点 、 运动过程中，是否存在值，使得 为等腰三角形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 3．在长方形BD 中，B＝4，B＝8，点P、Q 为B 边上的两个动点(点P 位于点Q 的左侧， P、Q 均不与顶点重合)，PQ＝2 (1)如图①，若点E 为D 边上的中点，当Q 移动到B 边上的中点时，求证：P＝QE； (2)如图②，若点E 为D 边上的中点，在PQ 的移动过程中，若四边形PQE 的周长最小时， 求BP 的长； (3)如图③，若M、分别为D 边和D 边上的两个动点(M、均不与顶点重合)，当BP＝3，且 四边形PQM 的周长最小时，求此时四边形PQM 的面积． 4．如图，在 中， ， ， ，点P 从点出发沿方向以 2m/s 的速度向点匀速运动，同时点Q 从点出发沿B 方向以1m/s 的速度向点B 匀速运动， 当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P 作 于点D，连接 PQ、QD，设点P 运动的时间为ts． (1)求证：四边形PQD 是平行四边形； (2)当四边形PQD 成为菱形时，求出相应的t 的值；