专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题（原卷版）

1 （北京）股份有限公司 专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题 类型一、菱形问题 例1．（1 个动点）如图，在平面直角坐标系中，已知点为坐标原点，直线 与x 轴交于点B，与y 轴交于点， ． (1)如图1，请直接写出点的坐标，并求出直线 的解析式． (2)如图2，直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点D，且交y 轴于点，连接 ，若点P 是直线 上的一动点，当点P 使得 时，请求出符合条件的点P 坐标． (3)在（2）的条件下，若点P 在直线 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q，使得以点、、 P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（两个动点）在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，点 在 轴负半 轴上，且 ． (1)求 两点坐标； 1 （北京）股份有限公司 (2)若点 是直线 上一点，且 ，求点 坐标； (3)点 是 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以 为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出点 坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练】将一个矩形纸片 放置于平面直角坐标系中，点 ，点B ，点在x 轴，点在y 轴．在 边上取一点D，将 沿 翻折，点B 恰好落在边 上的点E 处． (1)如图1，求点E 坐标和直线 的解析式； (2)点P 为x 轴正半轴上的动点，设 ． ①如图2，当点P 在线段 （不包含端点，）上运动时，过点P 作直线l y 轴，直线l 被 截得的 线段长为d．求d 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围； ②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点，E，P，G 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标． 类型二、矩形存在性问题 例．（两个动点）如图，四边形 是矩形，点、在坐标轴上， 是由 绕点顺时针旋转 得 到的，点D 在x 轴上，直线 交y 轴于点F，交 于点，线段 的长是2 和4； 1 （北京）股份有限公司 (1)求直线 的表达式； (2)求 的面积； (3)点 在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点D、F、M、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写 出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图， ， 是直线 与两坐标轴的交点，直线 过点 ，与 轴交于点 ． (1)求 ， ， 三点的坐标； (2)点 是折线 上一动点． ①如图（1），当点 是线段 的中点时，在 轴上找一点 ，使 最小；用直尺和圆规画出点 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点 的坐标； ②是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、正方形存在性问题 1 （北京）股份有限公司 例1．已知，一次函数的图象 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，与直线 交于点 ，过 点 作 轴的平行线，点 是直线上的一个动点． (1)求点 ，点 的坐标； (2)若 ，求点 的坐标； (3)若点 是直线 上的一个动点，在平面内是否存在点 ，使四边形 是正方形?若存在，请求 出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴、y 轴分别交于点、点B，与直线 （ ）交于点P， ． (1)求直线 的解析式； (2)连接 、 ，若直线 上存在一点Q，使得 ，求点Q 的坐标； (3)将直线 向下平移1 个单位长度得到直线，直线l 与x 轴交于点E，点为直线l 上的一点，在平面直角 坐标系中，是否存在点M，使以点，E，，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 1 （北京）股份有限公司 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线： 与 轴、 轴的正半轴分别 相交于点、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D， ， (1)求直线的解析式； (2)求证： 是等腰直角三角形； (3)将直线沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ，在直线 上 存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，直线 交y 轴于点，交x 轴于点 ，过点 的直线 平 行于y 轴，交直线于点D，点P 是直线 上一动点（异于点D），连接 ． (1)求直线的解析式； 1 （北京）股份有限公司 (2)设 ，求 的面积S 的表达式（用含m 的代数式表示）； (3)当 的面积为3 时，则以点B 为直角顶点作等腰直角 ，请直接写出点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，△B 为直角三角形，∠B＝90°，∠B＝30°，B＝3，点为B 上一动点． (1)点的坐标为 ； (2)连接，并延长交y 轴于点D，若△D 的面积恰好被x 轴分成1 2 ∶两部分，求点的坐标； (3)如图2，若∠＝30°，将△B 绕点顺时针旋转，得到△'B'，如图2 所示，'所在直线交直线于点P，当△P 为直 角三角形时，直接写出点 的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)点 是射线 上一动点，过点 作 轴，交直线 于点 ．若以、、E、F 为顶点的四边形是平 1 （北京）股份有限公司 行四边形，请求出点 的坐标； (3)设 是射线 上一点，在平面内是否存在点 ，使以B、、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请 直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线l 过点，过点作 ， 过点B 作 ，垂足分别为D、E．求证： ， ． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶 点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第二象限内，已知点G 的坐标为 ，求点F 的坐标． 1 （北京）股份有限公司 （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 ： 与x 轴交于点，与y 轴交于点 M，以线段 为直角边作等腰直角 ，请直接写出点P 的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过 ， ，D 三点，点D 在 x 轴上方，点在x 轴正半轴上，且 ，连接 ，已知 ． 1 （北京）股份有限公司 (1)求直线 的表达式； (2)求点D 的坐标； (3)在线段 上分别取点M，，使得 轴，在x 轴上取一点P，连接 是否存在 点M，使得 为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线： 与直线 ： 交于点 ，与y 轴交于点 ，与x 轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点 ，使得 ，请求出点P 的坐标；