专题57 二次函数中的线段最值问题（原卷版）(1)

【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 左侧），与y 轴 交于点，连接B，点P 是线段B 上方抛物线上一点，过点P 作PM⊥B 于点M，求线段 PM 的最大值． 变式训练 【变1-1】．如图，抛物线y＝ x2+bx+经过点B（3，0）、（0，﹣2），直线L：y＝﹣ x﹣ 交y 轴于点E，且与抛物线交于、D 两点，P 为抛物线上一动点（不与、D 重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P 在直线L 下方时，过点P 作P∥y 轴交L 于点，求P 的最大值． （3）当点P 在直线L 下方时，过点P 作PM∥x 轴交L 于点M，求PM 的最大值． 【变1-2】．如图，抛物线y＝ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对 称轴交x 轴于点D，已知（﹣1，0），（0，2）． 例题精讲 （1）求抛物线的表达式； （2）线段B 上有一动点P，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ 的最 大值． 【例2】．已知：如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，＝＝3，顶 点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在对称轴上找一点P，使△BP 的周长最小，求出P 点坐标； （3）在下方的抛物线上有一点，过点作直线l∥y 轴，交与点M，当点坐标为多少时，线 段M 的长度最大？最大是多少？ 变式训练 【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B 点坐标为（1，0），且＝＝3B，抛物 线y＝x2+bx+（≠0）图象经过，B，三点，其中D 点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断△D 的形状并且求△D 的面积； （3）如图2，点P 是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P 点作PE⊥于E 点，当 PE 的值最大时，求此时P 点的坐标及PE 的最大值． 【变2-2】．如图，二次函数y＝x2+bx+ （≠0）的图象交x 轴于、B 两点，交y 轴于点D， 点B 的坐标为（3，0），顶点的坐标为（1，4）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在 第一象限时，求线段PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q 在第一象限，使△BDQ 中BD 边上的高为 ？ 若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 1．已知抛物线的顶点（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x 轴分别交于，D 两点． （1）求直线B 和该抛物线的解析式； （2）如图1，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线B 的上方，过点M 作x 轴的平行 线与直线B 交于点，求M 的最大值； （3）如图2，E∥x 轴交x 轴于点E，点P 是抛物线上、D 之间的一个动点，直线P、PD 与E 分别交于F、G，当点P 运动时，求t∠PD+t∠PD 的值． 2．如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点和点B（3，0），与y 轴交于点（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作M∥y 轴交直线B 于点，求线段M 的最大值； （3）在（2）的条件下，当M 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P，使 △PB 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知，如图，抛物线与x 轴交点坐标为（1，0），（﹣3，0）， （1）如图1，已知顶点坐标D 为（﹣1，4）或B 点（0，3），选择适当方法求抛物线 的解析式； （2）如图2，在抛物线的对称轴D 上求作一点M，使△BM 的周长最小，并求出点M 的 坐标； （3）如图3，将图2 中的对称轴向左移动，交x 轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1）， 与抛物线，线段B 的交点分别为点E、F，用含m 的代数式表示线段EF 的长度，并求出 当m 为何值时，线段EF 最长． 4．在平面直角坐标系中，直线y＝mx 2 ﹣m 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，顶点为D 的抛 物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2 与y 轴交于点． （1）如图，当m＝2 时，点P 是抛物线D 段上的一个动点． ①求，B，，D 四点的坐标； ②当△PB 面积最大时，求点P 的坐标； （2）在y 轴上有一点M（0， m），当点在线段MB 上时， ①求m 的取值范围； ②求线段B 长度的最大值． 5．如图1，抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于（﹣1，0），B 两点，与y 轴交于点，且＝B，连 接B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段B 交于点E，求线段DE 的长度； （3）如图3，垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段B 于点P 和点F，连接P，D， 抛物线上是否存在点P，使△DE∽△PF，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请 说 明 理 由 ． 6．如图1，已知在平面直角坐标系xy 中，四边形B 是边长为3 的正方形，其中顶点，分别 在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+经过，两点，与x 轴交于另一个 点D． （1）①求点，B，的坐标； ②求b，的值． （2）若点P 是边B 上的一个动点，连结P，过点P 作PM⊥P，交y 轴于点M（如图2 所示）．当点P 在B 上运动时，点M 也随之运动．设BP＝m，M＝，试用含m 的代数 式表示，并求出的最大值． 7．已知二次函数y＝x2﹣x 2 ﹣的图象和x 轴相交于点、B，与y 轴相交于点，过直线B 的下 方抛物线上一动点P 作PQ∥交线段B 于点Q，再过P 作PE⊥x 轴于点E，交B 于点D． （1）求直线的解析式； （2）求△PQD 周长的最大值； （3）当△PQD 的周长最大时，在y 轴上有两个动点M、（M 在的上方），且M＝1，求 P+M+M 的最小值． 8．如图，抛物线y＝x2 3 ﹣x 4 ﹣（＜0）与x 轴交于，B 两点，直线y＝ x+ 经过点，与抛 物线的另一个交点为点，点的横坐标为3，线段PQ 在线段B 上移动，PQ＝1，分别过 点P、Q 作x 轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形DEFG 为平行四边形时，求出此时点P、Q 的坐标； （3）在线段PQ 的移动过程中，以D、E、F、G 为顶点的四边形面积是否有最大值， 若有求出最大值，若没有请说明理由． 9．如图所示，二次函数y＝x2﹣ x+的图象经过点（0，1），B（﹣3， ），点在y 轴上， 过点B 作B⊥x 轴，垂足为点． （1）求直线B 的解析式和二次函数的解析式； （2）点是二次函数图象上一点（点在B 上方），过作P⊥x 轴，垂足为点P，交B 于点 M，求M 的最大值； （3）点是二次函数图象上一点（点在B 上方），是否存在点，使得BM 与相互垂直平 分？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图所示，抛物线y＝x2+bx 3 ﹣交x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于 点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线B 下方的抛物线上有一点D，过点D 作DE⊥B 于点E，作DF 平行x 轴 交直线B 点F，求△DEF 周长的最大值； （3）已知点M 是抛物线的顶点，点是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，若点P 是 抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、、Q 为顶点且以PM 为边的正方形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣与x 轴交、B 两点（点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于、 两点，其中点的横坐标为2． （1）P 是线段上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度 的最大值； （2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BDQ 中BD 边上的高为 ．若存在，请求出 点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使、、F、G 这样的四个点为顶 点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在， 请说明理由． 12．已知抛物线y＝x2+2x+（≠0）与x 轴交于点（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3 交于 点B 和点，M 为抛物线的顶点，直线ME 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标． （2）点P 为直线B 上方抛物线上一点，设d 为点P 到直线B 的距离，当d 有最大值时， 求点P 的坐标． （3）若点F 为直线B 上一点，作点关于y 轴的对称点'，连接'，'F，当△F'是直角三角形 时，直接写出点F 的坐标． 13．如图①，已知抛物线1：y＝（x+1）2 4 ﹣的顶点为，与x 轴相交于、B 两点（点在点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求点的坐标及 的值； （2）如图②，抛物线2与1关于x 轴对称，将抛物线2向右平移4 个单位，得到抛物线 3．3与x 轴交于点B、E，点P 是直线E 上方抛物线3上的一个动点，过点P 作y 轴的平 行线，交E 于点F． ①求线段PF 长的最大值； ②若PE＝EF，求点P 的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 3 ﹣（＞0）与x 轴交于（﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为直线B 下方抛物线上的一动点，PM⊥B 于点M，P∥y 轴交B 于点．求线段 PM 的最大值和此时点P 的坐标； （3）点E 为x 轴上一动点，点Q 为抛物线上一动点，是否存在以Q 为斜边的等腰直角 三角形EQ？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线：y＝x2+bx+（＞0，＜0）的对称轴为x＝4，为顶点，且（2，0），（4， ﹣2） 【问题背景】求出抛物线的解析式． 【尝试探索】如图2，作点关于x 轴的对称点′，连接B′，作直线x＝k 交B′于点M，交抛 物线于点． ①连接D，若四边形MD′是平行四边形，求出k 的值． ②当线段M 在抛物线与直线B′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段M 的 长度的最大值． 【拓展延伸】如图4，作矩形GE，且E（﹣3，0），（﹣3，4），现将其沿x 轴以1 个 单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形′G′′E′，连接′，若矩形′G′′E′与直 线′和抛物线围成的封闭图形有公共部分，请求出t 的取值范围．