专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题（解析版）

专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题 类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题 例1．如图所示，正方形 的边长为2，点 为边 的中点，点 在对角线 上移动，则 周 长的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】作点E 关于 的对称点为 ，连接 交 于点P，可得 ， ，根据勾股定 理求出 ，可得 周长 ，即可求解． 【详解】解：作点E 关于 的对称点为 ，连接 交 于点P，如图所示， ∵E 关于 的对称点为 ， ∴ ， ， ∵正方形 的边长为2，点 为边 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 周长 ， 又∵ ，∴ 周长 ， ∴ 周长最小值为 ，故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对 称的性质． 例2．如图，在矩形BD 中，B＝4，B＝8，E 为D 边的中点，P，Q 为B 边上两个动点，且PQ＝2，当四边 形PQE 的周长最小时，BP 的长为（ ） ．0 B．3 ．4 D．6 【答】 【分析】要使四边形PQE 的周长最小，由于E 与PQ 都是定值，只需P+EQ 的值最小即可．为此，先在B 边上确定点P、Q 的位置，可在D 上截取线段F＝DE＝2，作F 点关于B 的对称点G，连接EG 与B 交于一 点即为Q 点，过点作FQ 的平行线交B 于一点，即为P 点，则此时P+EQ＝EG 最小，然后过G 点作B 的平 行线交D 的延长线于点，那么先证明∠GE＝45°，再由Q＝E 即可求出BP 的长度． 【详解】解：如图，在D 上截取线段F＝PQ＝2，作F 点关于B 的对称点G，连接EG 与B 交于一点即为Q 点，过点作FQ 的平行线交B 于一点，即为P 点，过G 点作B 的平行线交D 的延长线于点． ∵四边形 是矩形， ∴ ， ，∠QE＝90°， ∵ ，∴ , ∵点F 点关于B 的对称点G， ∴ ∴ ∴四边形 是矩形， ∴G＝DF＝6，∠＝90°, ∵点E 是D 中点， ∴E=2， ∴E＝2+4＝6， ∴∠GE＝45°， ∴∠EQ＝45°， 设BP＝x，则Q＝B﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x， 在△QE 中， ∵∠QE＝90°，∠EQ＝45°， ∴Q＝E， ∴6﹣x＝2， 解得x＝4． 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较 大的题目，对学生提出了较高的要求． 例3．如图，在矩形 中， ，为对角线 的中点，点P 在 边上，且 ，点Q 在 边上，连接 与 ，则 的最大值为____________， 的最小值为__________． 【答】 【分析】①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q 满足使 的值最大，最大值为 的长度，证 明四边形 是矩形可得 ， ， ，再利用勾股定理进行计算即可； ②过点作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小， 的最小值为 的长度，延长 交 于点G，根据对称的性质可得 ，再根据 ，点是 的中点，可得 ，从而求得 ，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q 满足使 的值最大，最大值为 的长度， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∵点是 的中点， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 过点P 作 于点P， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②过点作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小， 的最小值为 的长度，延长 交 于点G， ∵ ，点是 的中点， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的最小值为： ， 故答为： ； ． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关 知识是解题的关键． 【变式训练1】如图，正方形 的周长为24， 为对角线 上的一个动点， 是 的中点，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【详解】解：如图，连接BE，设BE 与交于点P'， ∵四边形BD 是正方形，∴点B 与D 关于对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE 最小 即P 在与BE 的交点上时，PD+PE 最小，即为BE 的长度 ∵正方形 的周长为24，∴直角△BE 中，∠BE=90°，B=6，E= D=3， ∴ 故选 【变式训练2】如图，在矩形BD 中，B＝2，D＝3，动点P 满足S△PB＝ S 矩形BD，则点P 到B，两点距 离之和PB+P 的最小值为（ ） ． B． ． D．2 【答】B 【详解】解：设△PB 中B 边上的高是． ∵S△PB＝ S 矩形BD．∴ B•＝ B•D，∴＝ B＝1， ∴动点P 在与B 平行且与B 的距离是1 的直线l 上， 如图，作B 关于直线l 的对称点E，连接E，则E 的长就是所求的最短距离． 在Rt△BE 中，∵B＝3，BE＝B＝2，∴E＝ ， 即PB＋P 的最小值为 ． 故选：B． 【变式训练3】如图，在正方形 中， ， 与 交于点，是 的中点，点M 在 边上， 且 ，P 为对角线 上一点，则 的最大值为_____________． 【答】1 【分析】作关于BD 的对称点E，连接PE，ME，过点M 作MQ⊥，垂足为Q，可判定当点P，E，M 三点 共线时，PM-PE 的值最大，为ME 的长，求出E，Q，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=M=1 即 可． 【详解】解：如图：作关于BD 的对称点E，连接PE，ME，过点M 作MQ⊥，垂足为Q， ∴P=PE， 则PM-P=PM-PE， ∴当点P，E，M 三点共线时，PM-PE 的值最大，为ME 的长， 在正方形BD 中，B=4， ∴= ， ∵是的中点，点和E 关于BD 成轴对称， ∴点E 是中点， ∴E= = ， ∵B=4，BM=3， ∴M=1= B， ∵∠BQ=45°， ∴△MQ 为等腰直角三角形， ∴Q= = ， ∴EQ= ， ∴M=EM=1， 即PM-P 的最大值为1， 故答为：1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的 性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式训练4】如图，在正方形 中， ， 为 边上一点， ． 为对角线 上一动 点（不与点 、 重合），过点 分别作 于点 、 于点 ，连接 、 ，则 的最小值为______． 【答】13 【分析】连接 、 ，由四边形 为矩形，得 ，由正方形的对称性得 ，即知 ，故当 最小时， 最小，此时 、 、 共线， 的最小值即 为 的长，由 ， ，可得 ，从而 的最小值为13． 【详解】解：连接 、 ，如图： ， ， ， 四边形 为矩形， ， 四边形 是正方形， 由正方形的对称性可得 ， ， ， 当 最小时， 最小，此时 、 、 共线， 的最小值即为 的长，如图： ， ， ， ， 的最小值为13， 故答为：13． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求 的最小值问题转化成求 的长． 类型二、翻折型最值问题 例1．如图，在边长为2 的菱形BD 中，∠=60°，M 是D 边的中点，是B 边上的一动点，将△M 沿M 所在直 线翻折得到△ M，连接 ，则 长度的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过 作 交 的延长线于 ，根据 为定值，可知当 在 上时， 取得最 小值，然后依据角度和三角函数，即可求得 的长． 【详解】解：∵ 是定值， ∴当 在 上时， 取得最小值， 如图，过 作 交 的延长线于 ， ∵在边长为2 的菱形 中， ， 为 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了菱形性质、折叠问题、三角函数和勾股定理等知识点，找出 所在位置是解答本题的 关键． 例2．如图，在正方形BD 中，B=6，E 是D 边上的中点，F 是线段B 上的动点，将△EF 沿EF 所在的直线 折叠得到 ，连接 ，则的最小值是 _______． 【答】 / 【分析】由题意可知 ，继而可知点 的运动轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆弧，然后 由点 ， ， 三点共线时 最小即可求得答． 【详解】解：∵四边形BD 是正方形， ∴ ， ∵E 是D 边上的中点， ∴ ∵△EF 沿EF 所在的直线折叠得到 ， ∴ ， ∴当点 ， ， 三点共线时， 最小，如图， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理和两点之间线段最短等，根据已知条件确 定点的运动轨迹和利用两点之间线段最短求最值是解题的关键． 【变式训练1】如图，在矩形 中， ， ， 在 上， ， 是线段 上的动点， 将 沿 所在的直线折叠得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ） ．6 B．4 ． D． 【答】D 【详解】解：如图， 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当 点落在DE 上时， D 取得最小值． 根据折叠的性质，△EBF≌△EB’ F，∴E ⊥ F，∴E ＝EB， ∵ ∴E ＝1， ∵ ， ，∴E=3-1=2，∴DE＝ ，∴D ＝ -1． 故选：D． 【变式训练2】如图，在正方形BD 中，B=6，E 是D 边上的中点，F 是线段B 上的动点，将△EF 沿EF 所 在的直线折叠得到 ，连接 ，则的最小值是 _______． 【答】 【详解】解：∵四边形BD 是正方形，∴ ， ∵E 是D 边上的中点，∴ ∵△EF 沿EF 所在的直线折叠得到 ， ∴ ， ∴当点 ， ， 三点共线时， 最小，如图， 在 中，由勾股定理得： ，∴ ， ∴ 的最小值为 ． 类型三、旋转型最值问题 例1．如图，正方形 中， ，E 是边 的中点，F 是正方形 内一动点，且 ，连接 ， ， ，并将 绕点D 逆时针旋转 得到 （点M，分别为点E，F 的对应点）．连 接 ，则线段 长度的最小值为_____________． 【答】 【分析】过点M 作 ，垂足为P，连接 ，由旋转的性质得到 ， ， ，根据正方形的性质求出 ，证明 ，得到 ， ，利用勾股定理求出 ，根据 即可求出 的最小值． 【详解】解：过点M 作 ，垂足为P，连接 ， 由旋转可得： ， ， ， 在正方形 中， ，E 为 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ，又 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵，M 位置固定， ∴ ，即 ， ∴ ，即 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最 短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出 的长，得到 ． 例2．如图，长方形BD 中， ， ，E 为B 上一点，且 ，F 为B 边上的一个动点，连接 EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和G，则G 的最小值为______． 【答】 【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E 作 ，垂足为， ∵四边形BD 是矩形，∴B=D=6，∠B=∠BD=90°， ∵∠BET=∠FEG=30°，∴∠BEF=∠TEG， 在△EBF 和△TEG 中， ，∴△EBF≌△ETG（SS）， ∴∠B=∠ETG=90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当G⊥TG 时，G 的值最小， ∵∠EG=∠ETG=∠GT=90°，∴四边形ETG 是矩形，∴∠ET=90°,G=TE=BE=2， ∵∠BET =30°，∴∠E=180°-∠ET-∠BET=60°， ∵ ，∴ ,∴G=+G= ∴G 的最小值为 故答为： 【变式训练1】如图，已知正方形 的边长为，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕点 顺时 针旋转 到 ，连接 ， ，则当 之和取最小值时， 的周长为______．（用含的代 数式表示） 【答】 【分析】连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，即可得到点 在 的角平分线上运动，作点 关于 的对称点 ，当点 ， ， 三点共线时， 最 小，根据勾股定理求出 的最小值为 ，即可求出此时 的周长为 ． 【详解】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ， 将 绕点 顺时针旋转 到 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 即 ， ， 即点 在 的角平分线上运动， 作点 关于 的对称点 ， 点在 的延长线上， 当点 ， ， 三点共线时， 最小． 在 中， ， ， ， 的最小值为 ， 此时 的周长为 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短 路径是本题的关键． 【变式训练2】如图①．已知 是等腰直角三角形， ，点D 是 的中点，作正方形 ，使点 ， 分别在 和 上，连接 ， ． (1)试猜想线段 和 的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 ，小于或等于 ），如图②， 通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明 理由； (3)若 ，在（2）的旋转过程中， ①当 为最大值时，则 ___________． ②当 为最小值时，则 ___________． 【答】(1) ，证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3)① ；② 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出 ，进而得出结论； （2）如图2，连接 ，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出 ，进而得出 结论； （3）①如图③，当旋转角为 时， ，此时 的值最大．②利用三角形的三边关系确定 的 最小值，此时如图③中， ， ， 共线． 【详解】（1）解：结论： ． 理由：如图1，延长 交 于 ． 是等腰直角三角形， ，点 是 的中点， ， ， ． 四边形 是正方形， ． 在 和 中， ， ， ； （2）（1）中的结论仍然成立， ， ．理由如下： 如图②，连接 ，延长 交 于 ，交 于 ． 在 中， 为斜边 中点， ， ， ． 四边形 为正方形， ，且 ， ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ． （3）①如图③，当旋转角为 时， ，此时 的值最大． ， ． ． 在 中，由勾股定理，得 ， ． 故答为： ； ②如图④中，连接 ． 如图②中，在 中， ， ， ， 的最小值为1，此时如图④中， ， ， 共线， 在 中， ． 故答为： ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的 运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 类型四、P+KPB 型最值问题 例．如图，菱形BD 中， ，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则 的最小值是 ______． 【答】 【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短． 【详解】解：如图所示： 过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ， 四边形 是菱形， ， ∴∠BP=30°， ， ， 由垂线段最短可知， 的最小值为 的长， ， 即 的最小值是： ， 故答是： ． 【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离． 【变式训练1】如图，长方形 中， 点 是线段 上一动点，连接 ，则 的最小值为_____． 【答】 【分析】在 上方作 ，作 于 ，作 于 ，交 于 ，将 转化为 ，则 的最小值为 的长度，根据图形分别求 和 即可． 【详解】解：在 上方作 ，作 于 ，作 于 ，交 于 ， ， ， 当 、 、 三点共线时， 最小，即为 的长度， ， ， ， ， ， ， ， ． 的最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段 的长度是关 键． 【变式训练2】如图，▱ 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小 值为______． 【答】 【分析】作P 丄D 交D 的延长线于，由直角三角形的性质可得P= DP，因此 PD+2PB=2( DP+PB)=2(P+PB)，当、P、B 三点共线时P+PB 有最小值，即 PD 十2PB 有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ， 四边形 是平行四边形， ， ∴ ∵P 丄D，∴ ∴ ， ， ∴ 当点 ，点 ，点 三点共线时，P+PB 有最小值，即 有最小值， 此时 ， ， ， ∴ ， 则 最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角 三角形是解题的关键． 课后训练 1．如图，菱形 的边长为8， ，点E，F 分别是 ， 边上的动点，且 ，过 点B 作 于点G，连接 ，则 长的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】连接 与 相交于，判断出点是菱形的中心，连接 ，取 中点M，连接 ， ，则 ， 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接 与 相交于， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点是菱形的中心， 连接 ，取 中点M，连接 ， ，则 ， 为定长， ∵菱形 的边长为8， ， ∴ ， 由勾股定理可得： ， ∵M 是 的中点， ∴ ， 在Rt 中， ， 在Rt 中， ， ∵ ， 当，M，G 三点共线时， 最小为 ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识， 解题的关键是求出 ， 的值． 2．如图，在菱形 中，E，F 分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，G，分别为 ， 的 中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】连接 ，利用三角形中位线定理，可知 ，求出 的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接 ，如图所示： 四边形 是菱形， ， ， 分别为 ， 的中点， 是 的中位线， ， 当 时， 最小， 得到最小值， 则 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即 的最小值为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 3．如图，四边形BD 中，B//D，∠B=60°， ，点M 是四边形BD 内的一个动点，满足 ∠MD=90°，则点M 到直线B 的