专题66 反比例函数中的动点最值问题（原卷版）(1)

【例1】．如图，直线 与x 轴、y 轴分别交于点和点B，点、D 分别为线段B、B 的中点，点P 为上一动点，P+PD 值最小时点P 的坐标为________ 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点是x 轴正半轴上的一个定点，点P 是双曲线y ＝ （x＞0）上的一个动点，PB⊥y 轴于点B，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形PB 的面积将会（ ） ．逐渐增大 B．不变 ．逐渐减小 D．先增大后减小 【变1-2】．如图，一次函数y＝2x 与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于，B 两点，点 例题精讲 M 在以（2，0）为圆心，半径为1 的⊙上，是M 的中点，已知长的最大值为 ，则k 的 值是 ． 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6 的正 方形B 的两边B，B 分别相交于M， 两点．△M 的面积为10．若动点P 在x 轴上，则 PM+P 的最小值是 ． 变式训练 【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点（0，1），B（﹣1，0），动点P 在反比例函 数y＝ 的图象上运动，当线段P 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为 ． 【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+（m≠0）的图象与双曲线y2＝ （k≠0）相交于（﹣ 1，2）和B（2，b）两点，与y 轴交于点，与x 轴交于点D． （1）求双曲线的解析式； （2）经研究发现：在y 轴负半轴上存在若干个点P，使得△PB 为等腰三角形．请直接写 出P 点所有可能的坐标． 1．如图，点是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，过点作M∥x 轴，交直线y＝ ﹣2x+4 于点M，则△M 面积的最小值是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 2．如图，在△B 中，B＝＝，∠B＝18°，动点P、Q 分别在直线B 上运动，且始终保持∠PQ ＝99°．设BP＝x，Q＝y，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ） ． B． ． D． 3．如图，已知、B 是反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）图象上的两点，B∥x 轴，交y 轴于点， 动点P 从坐标原点出发，沿→→B→匀速运动，终点为，过点P 作PM⊥x 轴，P⊥y 轴， 垂足分别为M、．设四边形MP 的面积为S，点P 运动的时间为t，则S 关于t 的函数图 象大致为（ ） ． B． ． D． 4．已知点是双曲线y＝ 在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以B 为 一边作等边△B．随着点的运动，点的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动， 则这个函数的表达式为 ． 5．如图，点P 是双曲线：y＝ （x＞0）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线B：y＝ x 2 ﹣于点Q，连接P，Q．当点P 在曲线上运动，且点P 在Q 的上方时，△PQ 面积的最 大值是 ． 6．如图，直线B 与x 轴交于点（1，0），与y 轴交于点B（0，2），将线段B 绕点顺时针 旋转90°得到线段，反比例函数y＝ （k≠0，x＞0）的图象经过点．已知点P 是反比例 函数y＝ （k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P 到直线B 距离最短时的坐标为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，B 在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上运动，且始终 保持线段B＝4 的长度不变．M 为线段B 的中点，连接M．则线段M 长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）． 8．如图，点是反比例函数y＝ 在第一象限的图象上的一点，过点作B⊥y 轴于点B．连接， 以点为圆心，分别以B，为半径作直角扇形B 和D，并连接D，则阴影部分面积的最小 值是 ． 9．如图，点是反比例函数y＝ （k＞0）图象第一象限上一点，过点作B⊥x 轴于B 点，以 B 为直径的圆恰好与y 轴相切，交反比例函数图象于点，在B 的左侧半圆上有一动点 D，连接D 交B 于点E．记△BDE 的面积为S1，△E 的面积为S2，连接B，△B 是 等腰直 角 三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k 的值为 ． 10．如图，正比例函数y＝ x 的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于点， 过点作x 轴的垂线，垂足为M，已知△M 的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点不重合），且B 点的横坐 标为1，P 为x 轴上一点，求使P+PB 的值最小时点P 的坐标． 11．如图，正比例函数y＝2x 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于、B 两点，过点作垂直 x 轴于点，连接B，若△B 面积为 2． （1）求k 的值 （2）x 轴上是否存在一点D，使△BD 是以B 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 12．如图，一次函数y＝x+2 的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点（1，），B 两点． （1）求反比例函数的解析式及点B 的坐标； （2）在x 轴上找一点，使|﹣B|的值最大，求满足条件的点的坐标及△B 的面积． 13．如图，一次函数y＝2x 3 ﹣的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点（﹣1，），B 两 点． （1）求反比例函数的解析式与点B 的坐标； （2）连接、B，求△B 的面积； （3）点D 是反比例函数图象上的一点，当∠BD＝90°时，求点D 的坐标． 14．如图，直线y＝2x+3 与y 轴交于点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，过 点B 作B⊥x 轴于点，且点的坐标为（1，0）． （1）求反比例函数的解析式； （2）点D（，1）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的点，在x 轴上是否存在点P，使 得PB+PD 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在矩形B 中，＝3，＝2，F 是B 上的一个动点（F 不与，B 重合），过点F 的反 比例函数y＝ （x＞0）的图象与B 边交于点E． （1）当F 为B 的中点时，求该反比例函数的解析式和点E 的坐标． （2）设过（1）中的直线EF 的解析式为y＝x+b，直接写出不等式x+b＜ 的解集． （3）当k 为何值时，△EF 的面积最大，最大面积是多少？ 16．如图，直线：y＝ x 的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于点，过 点作轴的垂线，垂足为M，已知△M 的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点不重合），且B 点的横坐 标为1，在x 轴上求一点P，使P+PB 最小． 17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10 的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于、B 两点 （在B 的右侧），点横坐标为4． （1）求反比例函数解析式及点B 的坐标； （2）观察图象，直接写出关于x 的不等式﹣2x+10﹣ ＞0 的解集； （3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PB 是以B 为直角边的直角三角 形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 18．反比例函数 （k 为常数．且k≠0）的图象经过点（1，3），B（3，m）． （1）求反比例函数的解析式及B 点的坐标； （2）在x 轴上找一点P，使P+PB 的值最小， ①求满足条件的点P 的坐标； ②求△PB 的面积． 19．如图，一次函数y＝﹣x+4 的图象与反比例y＝ （k 为常数，且k≠0）的图象交于 （1，），B 两点． （1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标； （2）①在x 轴上找一点P，使P+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标； ②在x 轴上找一点M，使|M﹣MB|的值为最大，直接写出M 点的坐标． 20．如图，四边形BD 是正方形，点的坐标是（0，1），点B 的坐标是（0，﹣2），反比 例函数y＝ 的图象经过点，一次函数y＝x+b 的图象经过、两点，两函数图象的另一个 交点E 的坐标是（m，3）． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式． （2）求出m 的值，并根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的 值． （3）若点P 是反比例函数图象上的一点，△P 的面积恰好等于正方形BD 的面积，求点 P 坐标． 21．如图，点是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上的一个动点，⊥x 轴于点；E 是线段的 中点，过点E 作的垂线，与y 轴和反比例函数的图象分别交于点B、D 两点；连接B、 B、D、D．设点的横坐标为m． （1）求点D 的坐标（用含有m 的代数式表示）； （2）判断四边形BD 的形状，并说明理由； （3）当m 为何值时，四边形BD 是正方形？并求出此时D 所在直线的解析式． 22．如图，一次函数y＝﹣x+2 的图象与两坐标轴分别交于，B 两点，与反比例函数y＝ 交于点、D，且点坐标为（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点M 在y 轴正半轴上，且与点B，构成以B 为腰的等腰三角形，求点M 的坐标． （3）点P 在第二象限的反比例函数图象上，若t∠P＝3，求点P 的坐标．