题型10 阅读理解及定义型问题 （专题训练）（学生版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型十阅读理解及定义型问题 （专题训练） 1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为 “倍值点”．若关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两 个不同的倍值点，则的取值范围是（ ） ． B． ． D． 2．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数 ，如果满足 ，那 么我们称这一对数 为“相随数对”，记为 ．若 是“相随数对”，则 （ ） ． B． ．2 D．3 3．（四川省雅安市2021 年中考数学真题）定义： ，若函数 ，则该函数的最大值为（ ） ．0 B．2 ．3 D．4 4．（内蒙古通辽市2021 年中考数学真题）定义：一次函数 的特征数为 ， 若一次函数 的图象向上平移3 个单位长度后与反比例函数 的图象交于， B 两点，且点，B 关于原点对称，则一次函数 的特征数是（ ） ． B． ． D． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算： ，则不等式 的解集是（ ） ． 或 B． ． 或 D． 或 6．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数 根，则 的取值范围是（ ） ． 且 B． ． 且 D． 7．（山东省菏泽市2021 年中考数学真题）定义： 为二次函数 （ ）的特征数，下面给出特征数为 的二次函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是 轴；②当 时，函数图象过原点；③当 时， 函数有最小值；④如果 ，当 时， 随 的增大而减小，其中所有正确结论的 序号是______． 8．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题： 设有编号为1-100 的100 盏灯，分别对应着编号为1-100 的100 个开关，灯分为“亮”和 “不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm “不亮”．现有100 个人，第1 个人把所有编号是1 的整数倍的开关按一次，第2 个人把 所有编号是2 的整数倍的开关按一次，第3 个人把所有编号是3 的整数倍的开关按一次，… …，第100 个人把所有编号是100 的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮” 的灯共有多少盏？ 几位同学对该问题展开了讨论： 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律： 乙：1 号开关只被第1 个人按了1 次，2 号开关被第1 个人和第2 个人共按了2 次，3 号开 关被第1 个人和第3 个人共按了2 次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏． 9．（广西贵港市2021 年中考数学真题）我们规定：若 ，则 ．例如 ，则 ．已知 ，且 ，则 的最大值是________． 10．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且 均不为0，满足 ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵ ，∴4129 是“递减数”；又如：四位数5324，∵ ，∴5324 不是 “递减数”．若一个“递减数”为 ，则这个数为___________；若一个“递减数”的 前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9 整除，则满足条件 的数的最大值是___________． 11．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y 满足 且 （t 为常数），则称点 为“和谐点”． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）若 是“和谐点”，则 __________． （2）若双曲线 存在“和谐点”，则k 的取值范围为__________． 12．（2021·湖北中考真题）对于任意实数、b，定义一种运算： ， 若 ，则x 的值为________． 13．（2023·重庆·统考中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多 6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵ ， ，∴7311 是“天真数”；四位数8421，∵ ，∴8421 不是“天真数”，则最 小的“天真数”为________；一个“天真数”M 的千位数字为，百位数字为b，十位数字 为，个位数字为d，记 ， ，若 能被10 整除，则 满足条件的M 的最大值为________． 14 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据 规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对 角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、的坐标分别为(0， 1)，(0，－1)，P 是二次函数y＝ 1 4 x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1 于点Q，则四边形PMQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号） 15 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征 值”．若等腰△B 中，∠＝80°，则它的特征值k＝ ． 16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系 中，当点在图形M 的内部，或在图形M 上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形M 的“梦之点”． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ， ， 中，是矩形 “梦之点”的是___________； (2)点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦 之点”的坐标是___________，直线 的解析式是 ___________．当 时，x 的 取值范围是___________． (3)如图②，已知点，B 是抛物线 上的“梦之点”，点是抛物线的顶点，连 接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由． 17 阅读下面的材料： 如果函数y=f（x）满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则称f（x）是增函数； （2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）= （x＞0）是减函数． 证明：设0<x1<x2， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm f（x1）–f（x2）= ． 0<x ∵ 1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0． ∴ ＞0．即f（x1）–f（x2）＞0． f ∴（x1）＞f（x2），∴函数f（x）═ （x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）= +x（x<0）， f（–1）= +（–1）=0，f（–2）= +（–2）=– ． （1）计算：f（–3）=__________，f（–4）=__________； （2）猜想：函数f（x）= +x（x<0）是__________函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）阅读下面材料： 将边长分别为， ， ， 的正方形面积分别记为 ， ， ， ． 则 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 例如：当 ， 时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当 ， 时， ______， ______； (2)当 ， 时，把边长为 的正方形面积记作 ，其中是正整数，从（1）中 的计算结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当 ， 时，令 ， ， ，…， ，且 ，求T 的值． 19．（2022·四川凉山）阅读材料： 材料1：若关于x 的一元二次方程x2＋bx＋＝0（≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0 的两个实数根分别为m，，求m2＋m2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0 的两个实数根分别为m，， m ∴ ＋＝1，m＝－1， 则m2＋m2＝m（m＋）＝－1×1＝－1 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0 的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2 ＝ ． (2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0 的两根分别为m、，求 的值． (3)思维拓展：已知实数s、t 满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的 值． 20 若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，，我们可将这个两位数记为 ，易知 =10m+；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 =100+10b+． 【基础训练】 （1）解方程填空： ①若 + =45，则x=__________； ②若 – =26，则y=__________； ③若 + = ，则t=__________； 【能力提升】 （2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 + 一定能被__________整除， – 一定能被__________整除， • –m 一定能 被__________整除；（请从大于5 的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】 （3）北京时间2019 年4 月10 日21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引 力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出 一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选 的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这 样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________； ②设任选的三位数为 （不妨设＞b＞），试说明其均可产生该黑洞数． 21．（2023·山西·统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细 阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形 中，点 分别是边 ， 的中 点，顺次连接 ，得到的四边形 是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁 是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关 系密切． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方 形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1 证明如下： 证明：如图2，连接 ，分别交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ． ∵ 分别为 的中点，∴ ．（依据1） ∴ ．∵ ，∴ ． ∵四边形 是瓦里尼翁平行四边形，∴ ，即 ． ∵ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形．（依据2）∴ ． ∵ ，∴ ．同理，… 任务： (1)填空：材料中的依据1 是指：_____________． 依据2 是指：_____________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形 及它的瓦里尼翁平行四边形 ， 使得四边形 为矩形；（要求同时画出四边形 的对角线） (3)在图1 中，分别连接 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形 的周长与对角 线 长度的关系，并证明你的结论． 22．在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段 ，给出如下定义： 若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称 线段 是 的以点 为中心的“关联线段”． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点 为中心的“关联线段”是______________； （2） 是边长为1 的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，求的值； （3）在 中， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直 接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长． 23 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 点”．例如，点 是函数 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 的图象的“等值点”分别为点，B，过点B 作 轴，垂足为．当 的面积为3 时，求b 的值； （3）若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 ． 当 两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时，直接写出m 的取值范围． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 24 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点（，b），B（，d），若点T（x，y）满是 x= ，y= ，那么称点T 是点，B 的融合点。 例如：（-1，8），B（4，一2），当点T（xy）满是x= =1，y= =2 时则 点T（1，2）是点，B 的融合点。 （1）已知点（-1，5），B（7，7）（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点 （2）如图，点D（3，0）点E（t，2t+3）是直线l 上任意一点，点T（x，y）是点D，E 的融合点 ①试确定y 与x 的关系式 ②若直线ET 交x 轴于点，当△DT 为直角三角形时，求点E 的坐标 25 如图，在平面直角坐标系中，正方形B 的边长为4，边，分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 把正方形B 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P 为抛物线y＝－（x－ 2）2＋m＋2 的顶点． （1）当m＝0 时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数． （2）当m＝3 时，求该抛物线上的好点坐标． （3）若点P 在正方形B 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8 个好点，求m 的取 值范围． x y l 1 1 O D 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm x y P C B A O 26 如图，平面内的两条直线 、 ，点 ， 在直线 上，点 、 在直线 上，过 、 两点分别作直线 的垂线，垂足分別为 ， ，我们把线段 叫做线段 在直线 上的正投影，其长度可记作 或 ，特别地线段 在直线 上的正投影就是线段 ． 请依据上述定义解决如下问题： （1）如图1，在锐角 中， ， ，则 ； （2）如图2，在 中， ， ， ，求 的面积； （3）如图3，在钝角 中， ，点 在 边上， ， ， ，求 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 27．（2022·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程 的根就是相应的二次函数 的图象（称为抛物线）与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点有 三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种 情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴 的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 分别分 和 两种情况进行分析： （1） 时，抛物线开口向上． ①当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ． ∴顶点在x 轴的下方，抛物线与x 轴有两个交点（如图1）． ②当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ． ∴顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点（如图2）． ∴一元二次方程 有两个相等的实数根． ③当 时， …… （2） 时，抛物线开口向下． …… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； ．数形结合 B．统计思想 ．分类讨论． D．转化思想 (2)请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 时，一元二次方程 根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如： 可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 28．（2022·浙江嘉兴）6 月13 日，某港口的潮水高度y（ ）和时间x（）的部分数 据及函数图象如下： x（） … 11 12 13 1 4 15 16 17 18 … y（ ） … 18 9 13 7 10 3 8 0 10 1 13 3 20 2 26 0 … （数据来自某海洋研究所） (1)数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②观察函数图象，当 时，y 的值为多少？当y 的值最大时，x 的值为多少？ (2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． (3)数学应用：根据研究，当潮水高度超过260 时，货轮能够安全进出该港口．请问当 天什么时间段适合货轮进出此港口？ 29 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B=D，B=D，问四边形BD 是垂美四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形BD 的对角线、BD 交于点，⊥BD． 试证明：B2+D2=D2+B2； （3）解决问题：如图3，分