题型10 阅读理解及定义型问题 （专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型十阅读理解及定义型问题 （专题训练） 1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为 “倍值点”．若关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两 个不同的倍值点，则的取值范围是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】利用“倍值点”的定义得到方程 ，则方程的 ，可得 ，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可 得出的取值范围． 【详解】解：由“倍值点”的定义可得： ， 整理得， ∵关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的倍值 点， ∴ ∵对于任意实数总成立， ∴ 整理得， ∴ ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ，或 当 时，解得 ， 当 时，此不等式组无解， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二 次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键． 2．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数 ，如果满足 ，那 么我们称这一对数 为“相随数对”，记为 ．若 是“相随数对”，则 （ ） ． B． ．2 D．3 【答】 【分析】 先根据新定义，可得9m+4=0，将整式 去括号合并同类项化简得 ，然后整体代入计算即可． 【详解】 解：∵ 是“相随数对”， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 整理得9m+4=0， ． 故选择． 【点睛】 本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数对， 找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键． 3．（四川省雅安市2021 年中考数学真题）定义： ，若函数 ，则该函数的最大值为（ ） ．0 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】 根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可． 【详解】 令 , 当 时，即 时， ， 令 ，则与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当 时， ， ∴ （ ）， y ∵随x 的增大而增大， ∴当x=2 时， ； 当 时，即 时， ， 令 ，则与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴当 时， 或 ， ∴ （ 或 ）， ∵ 的对称轴为x=1， ∴当 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x=2 时， =3， ∴当 时，y<3； 当 ，y 随x 的增大而增大， ∴当x=-1 时， =0； ∴当 时，y<0； 综上， 的最大值为3． 故选． 【点睛】 本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解． 4．（内蒙古通辽市2021 年中考数学真题）定义：一次函数 的特征数为 ， 若一次函数 的图象向上平移3 个单位长度后与反比例函数 的图象交于， B 两点，且点，B 关于原点对称，则一次函数 的特征数是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 先求出平移后的直线解析式为 ，根据与反比例函数 的图象交于， B 两点，且点，B 关于原点对称，得到直线 经过原点，从而求出m，根据 特征数的定义即可求解． 【详解】 解：由题意得一次函数 的图象向上平移3 个单位长度后解析式为 ， ∵直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点，且点，B 关于原点对 称， ∴点，B，在同一直线上， ∴直线 经过原点， m+3=0 ∴ ， m=-3 ∴ ， ∴一次函数 的解析式为 ， ∴一次函数 的特征数是 ． 故选：D 【点睛】 本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性 较强，根据点，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键． 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算： ，则不等式 的解集是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． 或 B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】 根据新定义运算规则，分别从 和 两种情况列出关于x 的不等式， 求解后即可得出结论． 【详解】 解：由题意得，当 时， 即 时， ， 则 ， 解得 ， ∴此时原不等式的解集为 ； 当 时， 即 时， ， 则 ， 解得 ， ∴此时原不等式的解集为 ； 综上所述，不等式 的解集是 或 ． 故选：． 【点睛】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式． 6．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数 根，则 的取值范围是（ ） ． 且 B． ． 且 D． 【答】 【分析】 按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个 方面入手，即可解决． 【详解】 解：∵[x2+1，x] [5−2k ※ ，k]=0， ∴ ． 整理得， ． ∵方程有两个实数根， ∴判别式 且 ． 由 得， ， 解得， ． k ∴ 的取值范围是 且 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 故选： 【点睛】 本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则 是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是 解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重 视． 7．（山东省菏泽市2021 年中考数学真题）定义： 为二次函数 （ ）的特征数，下面给出特征数为 的二次函数的一些结论：①当 时，函数图象的对称轴是 轴；②当 时，函数图象过原点；③当 时， 函数有最小值；④如果 ，当 时， 随 的增大而减小，其中所有正确结论的 序号是______． 【答】①②③． 【分析】 利用二次函数的性质根据特征数 ，以及 的取值，逐一代入函数关系式， 然判断后即可确定正确的答． 【详解】 解：当 时， 把 代入 ，可得特征数为 ∴ ， ， ， ∴函数解析式为 ，函数图象的对称轴是 轴，故①正确； 当 时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 把 代入 ，可得特征数为 ∴ ， ， ， ∴函数解析式为 ， 当 时， ，函数图象过原点，故②正确； 函数 当 时，函数 图像开口向上，有最小值，故③正确； 当 时，函数 图像开口向下， 对称轴为： ∴ 时， 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答是：①②③． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性 质是解题的关键． 8．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题： 设有编号为1-100 的100 盏灯，分别对应着编号为1-100 的100 个开关，灯分为“亮”和 “不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为 “不亮”．现有100 个人，第1 个人把所有编号是1 的整数倍的开关按一次，第2 个人把 所有编号是2 的整数倍的开关按一次，第3 个人把所有编号是3 的整数倍的开关按一次，… …，第100 个人把所有编号是100 的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮” 的灯共有多少盏？ 几位同学对该问题展开了讨论： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 甲：应分析每个开关被按的次数找出规律： 乙：1 号开关只被第1 个人按了1 次，2 号开关被第1 个人和第2 个人共按了2 次，3 号开 关被第1 个人和第3 个人共按了2 次，…… 丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态． 根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏． 【答】10 【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为 “不亮”，确定1-100 中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解． 【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态 为“不亮”； 因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100 中，完全平方数为1，4，9，16，25， 36，49，64，81，100；有10 个数，故有10 盏灯被按奇数次，为“亮”的状态； 故答为：10． 【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的 关键． 9．（广西贵港市2021 年中考数学真题）我们规定：若 ，则 ．例如 ，则 ．已知 ，且 ，则 的最大值是________． 【答】8 【分析】 根据平面向量的新定义运算法则，列出关于 的二次函数，根据二次函数最值的求法解答 即可． 【详解】 解：根据题意知： ． 因为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 所以当 时， ． 即 的最大值是8． 故答是：8． 【点睛】 本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值． 10．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且 均不为0，满足 ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵ ，∴4129 是“递减数”；又如：四位数5324，∵ ，∴5324 不是 “递减数”．若一个“递减数”为 ，则这个数为___________；若一个“递减数”的 前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9 整除，则满足条件 的数的最大值是___________． 【答】 ；8165 【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 是递减数， ∴ ， ∴ ， ∴这个数为 ； 故答为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能 被9 整除， ∴ ， ∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵ ，能被整除， ∴ 能被9 整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴ ， ∵最大的递减数， ∴ ， ∴ ，即： ， ∴最大取，此时 ， ∴这个最大的递减数为8165． 故答为：8165． 【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解 题的关键． 11．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y 满足 且 （t 为常数），则称点 为“和谐点”． （1）若 是“和谐点”，则 __________． （2）若双曲线 存在“和谐点”，则k 的取值范围为__________． 【答】 ； 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到 ，整理得到 ，解得 （不合题意，舍去），即可得到答； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）设点 为双曲线 上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理 得到 ，由 得到 ，则 ，由 进 一步得到 ，且 ，根据二次函数的图象和性质即可得到k 的取值 范围． 【详解】解：（1）若 是“和谐点”，则 ， 则 ， ∴ ， 即 ，解得 （不合题意，舍去）， ∴ ， 故答为： （2）设点 为双曲线 上的“和谐点”， ∴ ， ， 即 ， ∴ ， 则 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ，且 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 对抛物线 来说， ∵ ， ∴开口向下， 当 时， ， 当 时， ， ∵对称轴为 ， ， ∴当 时，k 取最大值为4， ∴k 的取值范围为 ， 故答为： 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练 掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 12．（2021·湖北中考真题）对于任意实数、b，定义一种运算： ， 若 ，则x 的值为________． 【答】 或2 【分析】 根据新定义的运算得到 ，整理并求解一元二次方 程即可． 【详解】 解：根据新定义内容可得： ， 整理可得 ， 解得 ， ， 故答为： 或2． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】 本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键． 13．（2023·重庆·统考中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多 6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵ ， ，∴7311 是“天真数”；四位数8421，∵ ，∴8421 不是“天真数”，则最 小的“天真数”为________；一个“天真数”M 的千位数字为，百位数字为b，十位数字 为，个位数字为d，记 ， ，若 能被10 整除，则 满足条件的M 的最大值为________． 【答】6200；9313 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到 ，进而 ，若M 最大，只需千位数字取最大，即 ， 再根据 能被10 整除求得 ，进而可求解． 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为 6200； 根据题意， ， ， ， ，则 ， ∴ ， ∴ ， 若M 最大，只需千位数字取最大，即 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 能被10 整除， ∴ ， ∴满足条件的M 的最大值为9313， 故答为：6200，9313． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解 新定义是解答的关键． 14 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据 规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对 角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、的坐标分别为(0， 1)，(0，－1)，P 是二次函数y＝ 1 4 x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1 于点Q，则四边形PMQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号） 【答】①④ 【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确； 平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误 对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等， 因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMQ 满足M∥PQ，设P(m，0)（m＞ 0），∵PM＝ 2 2 2 1 ( 1) 4 m m   ＝ 2 1 4 m ＋1，PQ＝ 2 1 4 m －(－1)＝ 2 1 4 m ＋1，∴PM＝PQ， 故四边形PMQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④． 15 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征 值”．若等腰△B 中，∠＝80°，则它的特征值k＝ ． 【答】 或 ． 【解析】当∠是顶角时，底角是50°，则k= ；当∠是底角时，则底角是20°，k= 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，故答为： 或 ． 16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系 中，当点在图形M 的内部，或在图形M 上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形M 的“梦之点”． (1)如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ， ， 中，是矩形 “梦之点”的是___________； (2)点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦 之点”的坐标是___________，直线 的解析式是 ___________．当 时，x 的 取值范围是___________． (3)如图②，已知点，B 是抛物线 上的“梦之点”，点是抛物线的顶点，连 接 ， ， ，判断 的形状，并说明理由． 【答】(1) ， (2) ， ， 或 (3) 是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）把 代入 求出解析式，再求与 的交点即为 ，最后根据函数图象判 断当 时，x 的取值范围； （3）根据“梦之点”的定义求出点，B 的坐标，再求出顶点的坐标，最后求出 ， ， ，即可判断 的形状． 【详解】（1）∵矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ， ∴矩形 “梦之点” 满足 ， ， ∴点 ， 是矩形 “梦之点”，点 不是矩形 “梦之点”， 故答为： ， ； （2）∵点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”， ∴把 代入 得 ， ∴ ， “ ∵梦之点”的横坐标和纵坐标相等， “ ∴梦之点”都在直线 上， 联立 ，解得 或 ， ∴ ， ∴直线 的解析式是 ， 函数图象如图： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 由图可得，当 时，x 的取值范围是 或 ； 故答为： ， ， 或 ； （3） 是直角三角形，理由如下： ∵点，B 是抛物线 上的“梦之点”， ∴联立 ，解得 或 ， ∴ ， ， ∵ ∴顶点 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形． 【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图 形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 17 阅读下面的材料： 如果函数y=f（x）满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x1，x2， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）若x