专题62 二次函数与圆综合性问题（解析版）(1)

【例1】．如图，抛物线的顶点为（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点为圆心的 圆的半径r＝ ，⊥B 于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求证：直线B 与⊙相切． （3）已知P 为抛物线上一动点，线段P 交⊙于点M．当以M，，，为顶点的四边形是 平行四边形时，求PM 的长． 解：（1）∵抛物线的顶点为（0，2）， ∴可设抛物线的解析式为：y＝x2+2， ∵抛物线经过点B（2，0）， 4+2 ∴ ＝0， 解得：＝﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+2； （2）证明：∵（0，2），B（2，0）， ∴＝B＝2， ∴B＝2 ， 例题精讲 ∵⊥B， ∴ ••B＝ •B•， ∴ ×2×2＝ ×2 •， 解得：＝ ， ∵⊙的半径r＝ ， ∴是⊙的半径， ∴直线B 与⊙相切； （3）∵点P 在抛物线y＝﹣ x2+2 上， ∴可设P（x，﹣ x2+2）， 以M，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 可得：＝M＝ ，M＝＝2， ∵点是B 的中点， ∴（1，1），M（1，﹣1）， 设直线M 的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入， 得：k＝﹣1， ∴直线M 的解析式为y＝﹣x， ∵点P 在M 上， ∴﹣ x2+2＝﹣x， 解得：x1＝1+ ，x2＝1﹣ ， ∴y1＝﹣1﹣ ，y2＝﹣1+ ， ∴P1（1+ ，﹣1﹣ ），P2（1﹣ ，﹣1+ ）， 如图，当点P 位于P1位置时， P1＝ ＝ ＝ （1+ ）＝ + ， ∴P1M＝P1﹣M＝ + ﹣ ＝ ， 当点P 位于P2位置时，同理可得：P2＝ ﹣ ， ∴P2M＝P2﹣M＝ ﹣ ﹣ ＝ ﹣2 ； 综上所述，PM 的长是 或 ﹣2 ． 变式训练 【变1-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+2 与直线B 相交于（﹣1，0），B（3，2），与x 轴交 于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在y 上是否存在一点E，使四边形BE 为矩形，若存在，请求出点E 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）以为圆心，1 为半径作⊙，D 为⊙上一动点，求D+ DB 的最小值 解：（1）把（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝x2+bx+2， 得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝ x2+ x+2． （2）存在． 如图1，作E⊥B 交y 轴于点E，连结E；作BF⊥x 轴于点F，则F（3，0）． 当y＝0 时，由 x2+ x+2＝0，得x1＝1，x2＝4， ∴（4，0）， ∴F＝＝1，F＝3﹣（﹣1）＝4； 又∵BF＝2， ∴ ， ∵∠BF＝∠FB＝90°， ∴△BF∽△FB， ∴∠BF＝∠BF， ∴∠B＝∠BF+∠BF＝∠BF+∠BF＝90°， ∴B∥E， ∵∠BF＝90°﹣∠B＝∠E，∠BF＝∠E＝90°， ∴△BF≌△E（S）， ∴B＝E， ∴四边形BE 是矩形； ∵E＝FB＝2， ∴E（0，﹣2）． （3）如图2，作FL⊥B 于点L，连结L、D 由（2）得∠BF＝90°，BF＝2，F＝1， ∴F＝D，B＝ ＝ ． ∵∠FL＝∠BF＝90°，∠FL＝∠BF（公共角）， ∴△FL∽△BF， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵∠DL＝∠BD（公共角）， ∴△DL∽△BD， ∴ ＝ ， ∴LD＝ DB； ∵D+LD≥L， ∴当D+LD＝L，即点D 落在线段L 上时，D+ DB＝D+LD＝L 最小． ∵L＝ F＝ ， ∴BL＝ ＝ ， ∴BL2＝（ ）2＝ ， 又∵B2＝22+42＝20， ∴L＝ ＝ ＝ ， D+ DB 的最小值为 ． 【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于、B 两点，与y 轴交于点 （0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结B、BE、E． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BE 的形状，并说明理由； （3）如图2，以为圆心， 为半径作⊙，在⊙上是否存在点P，使得BP+ EP 的值最 小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8）， ∴设该抛物线的表达式为y＝（x 2 ﹣）2+8， ∵与y 轴交于点（0，6）， ∴把点（0，6）代入得：＝﹣ ， ∴该抛物线的表达式为y＝ x2+2x+6； （2）△BE 是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与x 轴分别交于、B 两点， ∴令y＝0，则﹣ （x 2 ﹣）2+8＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝6， ∴（﹣2，0），B（6，0）， ∴B2＝62+62＝72，E2＝（8 6 ﹣）2+22＝8，BE2＝（6 2 ﹣）2+82＝80， ∴BE2＝B2+E2， ∴∠BE＝90°， ∴△BE 是直角三角形； （3）⊙上存在点P，使得BP+ EP 的值最小且这个最小值为 ．理由如下： 如图，在E 上截取F＝ （即F 等于半径的一半），连结BF 交⊙于点P，连结EP， 则BF 的长即为所求．理由如下： 连结P，∵P 为半径， ∴ ＝ ＝ ， 又∵∠FP＝∠PE， ∴△FP∽△PE， ∴ ＝ ＝ ，即FP＝ EP， ∴BF＝BP+ EP， 由“两点之间，线段最短”可得： BF 的长即BP+ EP 为最小值． ∵F＝ E，E（2，8）， ∴由比例性质，易得F（ ， ）， ∴BF＝ ＝ ． 变式训练 【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣2，0）， B（4，0）两点，交y 轴于点，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图甲，当△P 是以为直角边的直角三角形时，求点P 的坐标； （3）如图乙，过，B，P 三点作⊙M，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为D．交M 于点E．点 P 在运动过程中线段DE 的长是否变化，若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求 DE 的长． 解：（1）把（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ x2+bx+得： ，解得 ， ∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣x 4 ﹣； （2）如图： 由y＝ x2﹣x 4 ﹣可得（0，﹣4）， 设P（x， x2﹣x 4 ﹣）， ∴2＝（﹣2 0 ﹣）2+（0+4）2＝20，P2＝x2+（ x2﹣x）2，P2＝（x+2）2+（ x2﹣x 4 ﹣） 2， ∵△P 是以为直角边的直角三角形， ∴2+P2＝P2， 即20+x2+（ x2﹣x）2＝（x+2）2+（ x2﹣x 4 ﹣）2， 20+ ∴ x2+（ x2﹣x）2＝x2+4x+4+（ x2﹣x）2 8 ﹣（ x2﹣x）+16， 解得x＝0（与重合，舍去）或x＝3， ∴P（3，﹣ ）； （3）点P 在运动过程中线段DE 的长不变，理由如下： 连接P、BE，如图： ∵ ＝ ， ＝ ， ∴∠PD＝∠DBE，∠DP＝∠DEB， ∴△DP∽△EDB， ∴ ＝ ， ∴DE＝ ， 设P（m， m2﹣m 4 ﹣），则D（m，0）， ∵（﹣2，0），B（4，0），（0，﹣4）， ∴D＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（ m2﹣m 4 ﹣）＝﹣ m2+m+4， ∴DE＝ ＝ ＝2， ∴DE 是定值2， ∴点P 在运动过程中线段DE 的长不变，是定值2． 1．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y＝ x2 1 ﹣上运动，当⊙P 与坐标轴相切时， 圆心P 的坐标可以是 （ ， 2 ）或（﹣ ， 2 ）或（ 2 ， 1 ）或（﹣ 2 ， 1 ） ． 解：分两种情况： （1）当⊙P 与x 轴相切时，依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）． ①当P 的坐标是（x，2）时，将其代入y＝ x2 1 ﹣，得 2＝ x2 1 ﹣， 解得x＝± ， 此时P（ ，2）或（﹣ ，2）； ②当P 的坐标是（x，﹣2）时， 将其代入y＝ x2 1 ﹣，得﹣2＝ x2 1 ﹣，无解． （2）当⊙P 与y 轴相切时， ∵⊙P 的半径为2， ∴当⊙P 与y 轴相切时，点P 到y 轴的距离为2， ∴P 点的横坐标为2 或﹣2， 当x＝2 时，代入y＝ x2 1 ﹣可得y＝1，当x＝﹣2 时，代入y＝ x2 1 ﹣可得y＝1， ∴点P 的坐标为（2，1）或（﹣2，1）， 综上所述，符合条件的点P 的坐标是（ ，2）或（﹣ ，2）或（2，1）或（﹣2， 1）； 故答为：（ ，2）或（﹣ ，2）或（2，1）或（﹣2，1）． 2．如图1，抛物线 与x 轴交于、两点，点B 为抛物线的顶点，连接B． （1）求∠B 的度数； （2）如图2，以点为圆心，4 为半径作⊙，点M 在⊙上．连接M、BM， ①当△BM 是以B 为底的等腰三角形时，求点M 的坐标； ②如图3，取M 的中点，连接B，当点M 在⊙上运动时，求线段B 长度的取值范围． 解：（1）令y＝0，则 ﹣2x＝0， 解得：x＝0 或8． ∴（8，0）． ∴＝8． ∵y＝ ﹣2x＝ ﹣4， ∴B（4，﹣4）． 过点B 作BD⊥于点D，如图， 则D＝4，BD＝4， ∴D＝BD， ∴∠B＝∠BD＝45°； （2）①设⊙与x 轴交于点，则（4，0）．连接B，如图， ∵B（4，﹣4）， ∴B⊥． ∵＝B＝4， ∴△B 是以B 为底的等腰三角形． ∴点M 与点重合时，△MB 是以B 为底的等腰三角形．此时点M（4，0）； 过点作M⊥x 轴，交⊙于点M，延长M 交⊙于点E，连接BE， 过点M 作MF⊥y 轴于点F，如图， 则M（8，4），E（8，﹣4），F（0，4）． ∴MF＝ME＝8． ∵B（4，﹣4）， ∴BE∥x 轴． ∴BE⊥ME，BE＝4． ∴∠BEM＝∠MF＝90°，BE＝F＝4． 在△MF 和△MBE 中， ， ∴△MF≌△MBE（SS）． ∴M＝MB． ∴△MB 是以B 为底的等腰三角形．此时点M（8，4）； 综上，当△BM 是以B 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为（4，0）或（8，4）； ②设⊙与x 轴交于点，则（4，0）．连接B，，M，如图， ∵（8，0）， ∴点是的中点． ∵为M 的中点， ∴是△M 的中位线． ∴＝ M＝2． 当点M 在⊙上运动时，由三角形的三边的关系定理可知： B ≤ ﹣B≤B+． ∵B＝4， 4 2≤ ∴﹣ B≤4+2． ∴线段B 长度的取值范围为：2≤B≤6． 3．如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣（＞0）与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左边），与y 轴交 于点，且B＝． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 是线段B（不与B，重合）上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物 线于M 点，连接M，将△PM 沿M 对折，如果点P 的对应点恰好落在y 轴上，求此时点 P 的坐标； （3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝B，过E 作EF⊥x 轴于点F，设F 坐标 为（t，0），0＜t＜3，△BEF 的内心为，连接，直接写出的最小值． 解：（1）在y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣（＞0）中， 令y＝0，得：x2 2 ﹣x 3 ﹣＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴（﹣1，0），B（3，0）， ∴B＝3， ∵B＝， ∴＝3， ∴（0，﹣3）， 3 ∴﹣＝﹣3， ∴＝1， ∴抛物线解析式为：y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣． （2）设直线B 解析式为y＝kx+b， ∵B（3，0），（0，﹣3）， ∴ ，解得： ， ∴直线B 解析式为：y＝x 3 ﹣， 设M 点坐标为（m，m2 2 ﹣m 3 ﹣）， ∵PM⊥x 轴， ∴P（m，m 3 ﹣）， ∴PM＝m 3 ﹣﹣（m2 2 ﹣m 3 ﹣）＝﹣m2+3m， ∵B＝，∠B＝90°， ∴B＝ B， ∴P＝ m， ∵△PM 沿M 对折，点P 的对应点恰好落在y 轴上， ∴∠PM＝∠M， ∵PM∥y 轴， ∴∠M＝∠PM， ∴∠PM＝∠PM， ∴P＝PM， ∴ m＝﹣m2+3m， 整理得：m2+（ ﹣3）m＝0， 解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣ ， ∴当m＝3﹣ 时，m 3 ﹣＝﹣ ， ∴P（3﹣ ，﹣ ）． （3）如图2，连接B，，E，作△B 的外接圆⊙M，连接M，BM，M，M，过M 作M⊥y 轴于， ∵EF⊥x 轴， ∴∠BFE＝90°， ∴∠FBE+∠FEB＝90°， ∵△BEF 的内心为， ∴B，E 分别平分∠FBE，∠FEB， ∴∠BE＝ ∠FBE，∠EB＝ ∠FEB， ∴∠BE+∠EB＝ （∠FBE+∠FEB）＝45°， ∴∠BE＝135°， 在△B 和△BE 中， ， ∴△B≌△BE（SS）， ∴∠B＝∠BE＝135°， ∵⊙M 是△B 的外接圆， ∴∠MB＝2×（180°﹣∠B）＝90°， ∴M＝BM＝ B＝ ， ∴M＝M＝ ， ∴∠MB＝∠M＝45°， ∵M⊥y 轴， ∴∠M＝∠M＝45°， ∴＝M＝ M＝ ， ∴＝+＝ +3＝ ， ∴M＝ ＝ ， ≥ ∵M﹣M，当且仅当、M、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为 ﹣ ． 4．已知抛物线y＝x2﹣（2m 1 ﹣）x+4m 6 ﹣． （1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x 轴上的一个定点； （2）设抛物线与x 轴的两个交点（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧， 且、B 两点间的距离小于6，求m 的取值范围； （3）抛物线的对称轴与x 轴交于点 ，在（2）的条件下，试判断是否存在 m 的值，使经过点及抛物线与x 轴的一个交点的⊙M 与y 轴的正半轴相切于点D，且被x 轴截得的劣弧与 是等弧？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理 由． 解：（1）由题意可知：y＝（x 2 ﹣）（x 2 ﹣m+3）， 因此抛物线与x 轴的两个交点坐标为： （2，0）（2m 3 ﹣，0）， 因此无论m 取何值，抛物线总与x 轴交于（2，0）点； （2）令y＝0，有：x2﹣（2m 1 ﹣）x+4m 6 ﹣＝0，则： x1+x2＝2m 1 ﹣，x1x2＝4m 6 ﹣； ∵B＜6 ∴x2﹣x1＜6， 即（x2﹣x1）2＜36，（x1+x2）2 4 ﹣x1x2＜36， 即（2m 1 ﹣）2 4 ﹣（4m 6 ﹣）＜36， 解得﹣ ＜x＜ ．① 根据、B 分别在原点两侧可知：x1x2＜0， 即4m 6 ﹣＜0，m＜ ．② 综合①②可得﹣ ＜m＜ ； （3）假设存在这样的m，设圆M 与y 轴的切点为D，过M 作x 轴的垂线设垂足为E． ①当点在x 轴正半轴时，x＝ ＞0， 因此 ＜m＜ ， ∵弧B＝弧D， 因此B＝D． ＝ ，D＝B＝B﹣＝2﹣ ＝ ，E＝ B＝ ， E＝MD＝+E＝ + ＝ ． 易知：D＝ME，即D2＝ME2 ∴D2﹣2＝M2﹣E2， （ ）2﹣（ ）2＝（ ）2﹣（ ）2； 解得m＝ ，符合m 的取值范围． ②当点在x 轴负半轴时，x＝ ＜0， 因此﹣ ＜m＜ ， 同①可求得＝ ，D＝＝ ，E＝ ，MD＝E＝ ． 同理有：D2﹣2＝M2﹣E2 （ ）2﹣（ ）2＝（ ）2﹣（ ）2 化简得：m2＝ ， ∴m＝± ，均不符合m 的取值范围， 因此这种情况不成立． 综上所述，存在符合条件的m，且m＝ ． 5．已知抛物线y＝x2+mx 2 ﹣m 4 ﹣（m＞0）． （1）证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为，B（点在点B 的右侧），与y 轴交于点，， B，三点都在⊙P 上． ①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐 标；若不是，说明理由； ②若点关于直线x＝﹣ 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE 的周长记为l，⊙P 的半径记为r，求 的值． 解：（1）令y＝0， ∴x2+mx 2 ﹣m 4 ﹣＝0， ∴△＝m2 4[ 2 ﹣ ﹣m 4] ﹣ ＝m2+8m+16， ∵m＞0， Δ ∴＞0， ∴该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2） 令y＝0， ∴x2+mx 2 ﹣m 4 ﹣＝0， ∴（x 2 ﹣）[x+（m+2）]＝0， ∴x＝2 或x＝﹣（m+2）， ∴（2，0），B（﹣（m+2），0）， ∴＝2，B＝m+2， 令x＝0， ∴y＝﹣2（m+2）， ∴（0，﹣2（m+2））， ∴＝2（m+2）， ①通过定点（0，1）理由：如图， ∵点，B，在⊙P 上， ∴∠B＝∠F， 在Rt△B 中，t∠B＝ ＝ ＝ ， 在Rt△F 中，t∠F＝ ＝ ＝ ， ∴F＝1， ∴点F 的坐标为（0，1）； ②如图1，由①知，点F（0，1）， ∵D（0，1）， ∴点D 在⊙P 上， ∵点E 是点关于抛物线的对称轴的对称点， ∴∠DE＝90°， ∵⊙P 是△B 的外接圆， ∴点P 在抛物线的对称轴上， ∴点E 在⊙P 上， ∴DE 是⊙P 的直径， ∴∠DBE＝90°， ∵∠BED＝∠B， t ∴∠BED＝ ， 设BD＝， 在Rt△BDE 中，t∠BED＝ ＝ ＝ ， ∴BE＝2， 根据勾股定理得，DE＝ ＝ ， ∴l＝BD+BE+DE＝（3+ ），r＝ DE＝ ， ∴ ＝ ＝ ． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙经过坐标原点，且与x 轴，y 轴分别相交于M（4， 0），（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙交于，，P 三点，P 为抛物线的顶点， 抛物线的对称轴经过点且垂直x 轴于点D． （1）求线段D 的长及顶点P 的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）设抛物线交x 轴于，B 两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S 四边形PM＝8S△QB， 且△QB∽△B 成立？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 解： （1）如图，连接， ∵M（4，0），（0，3）， ∴M＝4，＝3， ∴M＝5， ∴＝ M＝ ， ∵D 为抛物线对称轴， ∴D＝MD＝2， 在Rt△D 中，由勾股定理可得D＝ ＝ ＝ ， ∴PD＝P﹣D＝ ﹣ ＝1， ∴P（2，﹣1）； （2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1）， ∴设抛物线的函数表达式为y＝（x 2 ﹣）2 1 ﹣， ∵抛物线过（0，3）， 3 ∴＝（0 2 ﹣）2 1 ﹣，解得＝1， ∴抛物线的函数表达式为y＝（x 2 ﹣）2 1 ﹣，即y＝x2 4 ﹣x+3； （3）在y＝x2 4 ﹣x+3 中，令y＝0 可得0＝x2 4 ﹣x+3，解得x＝1 或x＝3， ∴（1，0），B（3，0）， ∴B＝3 1 ﹣＝2， ∵＝3，M＝4，PD＝1， ∴S 四边形PM＝S△MP+S△M＝ M•PD+ M•＝ ×4×1+ ×4×3＝8＝8S△QB， ∴S△QB＝1， 设Q 点纵坐标为y，则 ×2×|y|＝1，解得y＝1 或y＝﹣1， 当y＝1 时，则△QB 为钝角三角形，而△B 为直角三角形，不合题意，舍去， 当y＝﹣1 时，可知P 点即为所求的Q 点， ∵D 为B 的中点， ∴D＝BD＝QD， ∴△QB 为等腰直角三角形， ∵＝B＝3， ∴△