专题62 二次函数与圆综合性问题（原卷版）

【例1】．如图，抛物线的顶点为（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点为圆心的 圆的半径r＝ ，⊥B 于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求证：直线B 与⊙相切． （3）已知P 为抛物线上一动点，线段P 交⊙于点M．当以M，，，为顶点的四边形是 平行四边形时，求PM 的长． 变式训练 【变1-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+2 与直线B 相交于（﹣1，0），B（3，2），与x 轴交 于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在y 上是否存在一点E，使四边形BE 为矩形，若存在，请求出点E 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）以为圆心，1 为半径作⊙，D 为⊙上一动点，求D+ DB 的最小值 例题精讲 【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于、B 两点，与y 轴交于点 （0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结B、BE、E． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BE 的形状，并说明理由； （3）如图2，以为圆心， 为半径作⊙，在⊙上是否存在点P，使得BP+ EP 的值最 小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 变式训练 【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣2，0）， B（4，0）两点，交y 轴于点，点P 是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图甲，当△P 是以为直角边的直角三角形时，求点P 的坐标； （3）如图乙，过，B，P 三点作⊙M，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为D．交M 于点E．点 P 在运动过程中线段DE 的长是否变化，若有变化，求出DE 的取值范围；若不变，求 DE 的长． 1．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y＝ x2 1 ﹣上运动，当⊙P 与坐标轴相切时， 圆心P 的坐标可以是 ． 2．如图1，抛物线 与x 轴交于、两点，点B 为抛物线的顶点，连接B． （1）求∠B 的度数； （2）如图2，以点为圆心，4 为半径作⊙，点M 在⊙上．连接M、BM， ①当△BM 是以B 为底的等腰三角形时，求点M 的坐标； ②如图3，取M 的中点，连接B，当点M 在⊙上运动时，求线段B 长度的取值范围． 3．如图，抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣（＞0）与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左边），与y 轴交 于点，且B＝． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 是线段B（不与B，重合）上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物 线于M 点，连接M，将△PM 沿M 对折，如果点P 的对应点恰好落在y 轴上，求此时点 P 的坐标； （3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝B，过E 作EF⊥x 轴于点F，设F 坐标 为（t，0），0＜t＜3，△BEF 的内心为，连接，直接写出的最小值． 4．已知抛物线y＝x2﹣（2m 1 ﹣）x+4m 6 ﹣． （1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x 轴上的一个定点； （2）设抛物线与x 轴的两个交点（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧， 且、B 两点间的距离小于6，求m 的取值范围； （3）抛物线的对称轴与x 轴交于点 ，在（2）的条件下，试判断是否存在 m 的值，使经过点及抛物线与x 轴的一个交点的⊙M 与y 轴的正半轴相切于点D，且被x 轴截得的劣弧与 是等弧？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理 由． 5．已知抛物线y＝x2+mx 2 ﹣m 4 ﹣（m＞0）． （1）证明：该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与x 轴的两个交点分别为，B（点在点B 的右侧），与y 轴交于点，， B，三点都在⊙P 上． ①试判断：不论m 取任何正数，⊙P 是否经过y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐 标；若不是，说明理由； ②若点关于直线x＝﹣ 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE 的周长记为l，⊙P 的半径记为r，求 的值． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙经过坐标原点，且与x 轴，y 轴分别相交于M（4， 0），（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙交于，，P 三点，P 为抛物线的顶点， 抛物线的对称轴经过点且垂直x 轴于点D． （1）求线段D 的长及顶点P 的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）设抛物线交x 轴于，B 两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S 四边形PM＝8S△QB， 且△QB∽△B 成立？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F （0，1）作x 轴的平行线交二次函数的图象于M、两点． （1）求二次函数的表达式； （2）P 为平面内一点，当△PM 是等边三角形时，求点P 的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E 为圆心的圆过点F 和点，且与 直线y＝﹣1 相切．若存在，求出点E 的坐标，并求⊙E 的半径；若不存在，说明理由． 8．已知二次函数y＝﹣x2+bx++1， ①当b＝1 时，求这个二次函数的对称轴的方程； ②若＝﹣ b2 2 ﹣b，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③若二次函数的图象与x 轴交于点（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y 轴的 正半轴交于点M，以B 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线 BM、直线M 分别交于点D、E、F，且满足 ＝ ，求二次函数的表达式． 9．已知抛物线y＝x2+bx+过点（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），（x2， y2）都满足；当x1＜x2＜0 时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2 时，（x1﹣x2） （y1﹣y2）＜0．以原点为圆心，为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，，且△B 有一 个内角为60°． ①求抛物线的解析式； ②若点P 与点关于点对称，且，M，三点共线，求证：P 平分∠MP． 10．如图，在平面直角坐标系xy 中，为坐标原点，点（4，0），点B（0，4），△B 的中线 与y 轴交于点，且⊙M 经过，，三点． （1）求圆心M 的坐标； （2）若直线D 与⊙M 相切于点，交y 轴于点D，求直线D 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P，过点P 作 PE∥y 轴，交直线D 于点E．若以PE 为半径的⊙P 与直线D 相交于另一点F．当EF＝4 时，求点P 的坐标． 11．如图，抛物线y＝x2+6x（为常数，＞0）与x 轴交于，两点，点B 为抛物线的顶点，点 D 的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD 并延长与过，，B 三点的⊙P 相交于点． （1）求点的坐标； （2）过点作⊙P 的切线E 交x 轴于点E． ①如图1，求证：E＝DE； ②如图2，连接，BE，B，当＝ ，∠E＝∠BE 时，求 ﹣ 的值． 12．抛物线y＝﹣ x2+ x 1 ﹣与x 轴交于点，B（点在点B 的左侧），与y 轴交于点，其顶 点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜ ）上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩 余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象． （1）点B，D 的坐标分别为 ， ； （2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处，当点E 在△B 内（含边界）时，求t 的 取值范围； （3）如图②，当t＝0 时，点Q 是“M”形新图象上一动点． ①直接写出“M”形图象B 段的函数关系式； ②是否存在以Q 为直径的圆与x 轴相切于点P？若存在，求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 13．已知抛物线y＝x2+bx+过点（0，2）． （1）若点（﹣ ，0）也在该抛物线上，求，b 满足的关系式； （2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0 时， （x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点为心，为 半径的圆与抛物线的另两个交点为B，，且△B 有一个内角为60°． ①求抛物线的解析式； ②若点P 与点关于点对称，且，M，三点共线，求证：P 平分∠MP． 14．如图，已知二次函数y＝x2+bx+3（≠0）的图象经过点（3，0），B（4，1），且与y 轴交于点，连接B、、B． （1）求此二次函数的关系式； （2）判断△B 的形状；若△B 的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M 的坐标； （3）若将抛物线沿射线B 方向平移，平移后点、B、的对应点分别记为点1、B1、1， △1B11 的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1 经过原点？若存在，求出此时抛 物线的关系式；若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线1：y＝x2过点（2，2） （1）直接写出抛物线的解析式 ； （2）如图，△B 的三个顶点都在抛物线1上，且边所在的直线解析式为y＝x+b，若边上 的中线BD 平行于y 轴，求 的值； （3）如图，点P 的坐标为（0，2），点Q 为抛物线上1 上一动点，以PQ 为直径作 ⊙M，直线y＝t 与⊙M 相交于、K 两点是否存在实数t，使得K 的长度为定值？若存在， 求出K 的长度；若不存在，请说明理由． 16．定义：平面直角坐标系xy 中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的 坐标圆． （1）已知点P（2，2），以P 为圆心， 为半径作圆．请判断⊙P 是不是二次函数y＝ x2 4 ﹣x+3 的坐标圆，并说明理由； （2）如图1，已知二次函数y＝x2 4 ﹣x+4 图象的顶点为，坐标圆的圆心为P，求△P 周长 的最小值； （3）如图2，已知二次函数y＝x2 4 ﹣x+4（0＜＜1）图象交x 轴于点，B，交y 轴于点， 与坐标圆的第四个交点为D，连结P，PD．若∠PD＝120°，求的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2﹣bx﹣交x 轴于点，B，点B 的坐标为 （4，0），与y 轴于交于点（0，﹣2）． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上取点D，若点D 的横坐标为5，求点D 的坐标及∠DB 的度数； （3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l 交x 轴于点，△BD 的外接圆圆心为M（如图 1），过点B 作⊙M 的切线交于点P（如图2），设Q 为⊙M 上一动点，则在点运动过程 中 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 18．如图，抛物线y＝x2+bx+（≠0），与x 轴交于（4，0）、两点，点D（2，﹣2）为抛物 线的顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E 为的中点，以点E 为圆心、以1 为半径作⊙E，交x 轴于B、两点，点M 为⊙E 上一点． ①射线BM 交抛物线于点P，设点P 的横坐标为m，当t∠MB＝2 时，求m 的值； ②如图2，连接M，取M 的中点，连接D，则线段D 的长度是否存在最大值或最小值？ 若存在，请求出D 的最值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝x2+bx+（≠0）经过（1，0）、B（3， 0）、（0，3）三点，连接B 并延长． （1）求抛物线的解析式； （2）点M 是直线B 在第一象限部分上的一个动点，过M 作M∥y 轴交抛物线于点． 1°求线段M 的最大值； 2°当M 取最大值时，在线段M 右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、P，当△PM 的 外接圆圆心Q 在△PM 的边上时，求点P 的坐标． 20．如图1，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+与x 轴分别相交于、B 两点，与y 轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值： x … 1 ﹣ 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式； （2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q 两点，交抛物线的对称轴于点 T，若△QMT 的面积是△PMT 面积的两倍，求k 的值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF⊥x 轴，垂足为F， △BD 的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这 个定值；如果不是，请说明理由． 21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴相交于，B 两点（点在点B 的左侧），与y 轴相交 于点，顶点为D． （1）直接写出、B、三点的坐标和抛物线的对称轴． （2）连接B，与抛物线的对称轴交于点E，点P 为线段B 上的一个动点，过点P 作 PF∥DE 交抛物线于点F，设点P 的横坐标为m． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边 形？ ②△BF 的面积为S，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）现有一个以原点为圆心， 长为半径的圆沿y 轴正半轴方向向上以每秒1 个单 位的速度运动，问几秒后⊙与直线相切？ 22．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”． （1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形BD 中，B＝D 且B≠D，则该四边形 “十字形”．（填“是”或 不是） （2）如图1，，B，，D 是半径为1 的⊙上按逆时针方向排列的四个动点，与BD 交于点 E，∠DB﹣∠DB＝∠BD﹣∠BD，当6≤2+BD2≤7 时，求E 的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+（，b，为常数，＞0，＜0） 与x 轴交于，两点（点在点的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0， ﹣）．记“十字形”BD 的面积为S，记△B，△D，△D，△B 的面积分别为S1，S2，S3，S4 求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式： ① ＝ + ；② ＝ + ；③“十字形”BD 的周长为12 ．