72 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题

构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题 1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣1 3x 1 ﹣与x 轴，y 轴的交点分别为、B，以x= 1 ﹣为对称轴的抛物线 y=x2+bx+与x 轴分别交于点、，直线x= 1 ﹣与x 轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）在线段B 上是否存在一点P，使以，D，P 为顶点的三角形与△B 相似？若存在，求出点P 的坐标；如 果不存在，请说明理由； （3）若点Q 在第三象限内，且t QD=2 ∠ ，线段Q 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存 在，请说明理由． 【答】（1）y=x2+2x 3 ﹣；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，−2 3 ）或（-6 5，-3 5）； （3）存在，Q 最小值为 ❑ √37−❑ √5 2 【解析】（1）∵直线y=﹣1 3x 1 ﹣与x 轴交于点， ∴点坐标为（﹣3，0）， 又∵直线x= 1 ﹣为对称轴， ∴点坐标为（1，0）， ∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x 1 ﹣）=x2+2x 3 ﹣； （2）存在； 由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1）， 设点P 的坐标为（，﹣1 3﹣1）， ①当△B DP ∽△ 时， AD AO = DP OB ，即2 3= 1 3 a+1 1 ， 解得：= 1 ﹣； 点P 坐标为（﹣1，−2 3 ）； ②当△B PD ∽△ 时， 过点P 作PE x ⊥轴于点E， 则△PE PED ∽△ ， PE ∴ 2=E•ED， ∴（﹣1 3﹣1）2=（+3）（﹣﹣1）， 解得1= 3 ﹣（舍去），2=﹣6 5， ∴点P 坐标为（﹣6 5，﹣3 5）； （3）存在，Q 最小值为 ❑ √37−❑ √5 2 ； 如图，取点F（﹣1，﹣1），过点DF 作圆，则点E（﹣2，﹣1 2）为圆心， t∠FD=2 ∠ ， ∴弧FD（、D 除外）上的点都是满足条件的Q 点， 则连E 交⊙E 于点Q，则Q 为满足条件的最小值， 此时E=❑ √( 1 2) 2 +3 2= ❑ √37 2 ， E ∵⊙ 半径为 ❑ √5 2 ， Q ∴ 最小值为 ❑ √37−❑ √5 2 2、如图，直线y=﹣3 4 x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B．抛物线y=﹣3 8x2+bx+经过、B 两点，与x 轴的 另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是第一象限抛物线上的点，连接P 交直线B 于点Q．设点P 的横坐标为m，PQ 与Q 的比值为 y，求y 与m 的关系式，并求出PQ 与Q 的比值的最大值； （3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接D、D，设△D 外接圆的圆心为M，当s D ∠ 的值最大时，求点 M 的坐标． 【答】（1）抛物线解析式为y=﹣3 8x2+3 4 x+3；（2）y=﹣1 8m2+1 2m，PQ 与Q 的比值的最大值为1 2；（3） 点M 的坐标为（﹣1，❑ √3）或（﹣1，﹣❑ √3）． 【解析】（1）在y=﹣3 4 x+3 中，令y=0 得x=4，令x=0 得y=3， ∴点（4，0）、B（0，3）， 把（4，0）、B（0，3）代入y=﹣3 8x2+bx+，得： ¿， 解得：¿， ∴抛物线解析式为y=﹣3 8x2+3 4 x+3； （2）如图1，过点P 作y 轴的平行线交B 于点E， 则△PEQ BQ ∽△ ， ∴PQ OQ = PE OB ， ∵PQ OQ =y、B=3， y= ∴ 1 3PE， P ∵（m，﹣3 8m2+3 4 m+3）、E（m，﹣3 4 m+3）， 则PE=（﹣3 8m2+3 4 m+3）﹣（﹣3 4 m+3）=﹣3 8m2+3 2m， y= ∴ 1 3（﹣3 8m2+3 2m）=﹣1 8m2+1 2m=﹣1 8（m 2 ﹣）2+1 2， 0 ∵＜m＜3， ∴当m=2 时，y 最大值=1 2， PQ ∴ 与Q 的比值的最大值为1 2； （3）如图，由抛物线y=﹣3 8x2+3 4 x+3 易求（﹣2，0），对称轴为直线x=1， D ∵△ 的外心为点M， ∴点M 在的垂直平分线上， 设的垂直平分线与交于点，连接M、M、DM， 则∠D=1 2 M= M ∠ ∠ 、M=M=MD， s D=s M= ∴∠ ∠ NO MO = 1 MO ， 又M=MD， ∴当MD 取最小值时，s D ∠ 最大， 此时⊙M 与直线x=1 相切，MD=2， M=❑ √O M 2−O N 2=❑ √3， ∴点M（﹣1，﹣❑ √3）， 根据对称性，另一点（﹣1，❑ √3）也符合题意； 综上所述，点M 的坐标为（﹣1，❑ √3）或（﹣1，﹣❑ √3）． 3、在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点，将点向右平移2 个单位长度，得 到点B，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 ， ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围． 【答】（1）点B 的坐标为 ；（2）对称轴为直线 ;（3）当 时，抛物线与线段PQ 恰有 一个公共点 【解析】 解：（1）∵抛物线与 轴交于点，∴令 ，得 ， ∴点的坐标为 ，∵点向右平移两个单位长度，得到点B， ∴点B 的坐标为 ； （2）∵抛物线过点 和点 ，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线 ，故对称轴为直线 （3）∵对称轴x=1， b-2 ∴ ， ， ①＞0 时， 当x=2 时， ，当 x=0 或x=2， ∴函数与B 无交点； ②＜0 时， 当y=2 时， ， 或 当 时， ； ∴当 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点； （3）①当 时，则 ，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点和 点P；也不可能同时经过点B 和点Q，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点 ②当 时，则 思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点和点P；但当点Q 在点B 上方或与点 B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时 即 综上所述，当 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点 4、如图，抛物线y＝x2+bx+6 与x 轴交于点（6，0），B（﹣1，0），与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M 为该抛物线对称轴上一点，当M+BM 最小时，求点M 的坐标． （3）抛物线上是否存在点P，使△BP 为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点 P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由． 【答】（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（ ， ）；（3）存在5 个满足条件的P 点，尺规作图见解析 【解析】 解：（1）将（6，0），B（﹣1，0）代入y＝x2+bx+6， 可得＝﹣1，b＝5， y ∴＝﹣x2+5x+6； （2）作点关于对称轴x＝ 的对称点'，连接B'与对称轴交于点M， 根据两点之间线段最短，则M+BM＝'M+BM＝'B 最小， ∵（0，6）， ' ∴（5，6）， 设直线B'的解析式为y=kx＋b 将B（﹣1，0）和'（5，6）代入解析式，得 解得： ∴直线B'的解析式为y＝x+1， 将x＝ 代入，解得y= M ∴ （ ， ）； （3）存在5 个满足条件的P 点；尺规作图如下： ①若B=P 时，以为原点，B 的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1 所示，此时点P 有两种情况； ②若B=BP 时，以B 为原点，B 的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2 所示，此时点P 即为所求； ③若BP=P，则点P 在B 的中垂线上，作B 的中垂线，交抛物线与点P，如图3 所示，此时点P 有两种情 况； 故存在5 个满足条件的P 点． 5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx 8 ﹣的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，直线y＝kx+ 5 3 （k≠0）经过点，与抛物线交于另一点R，已知＝2，B＝3． （1）求抛物线与直线的解析式； （2）如图1，若点P 是x 轴下方抛物线上一点，过点P 做P R ⊥ 于点，过点P 做PQ x ∥轴交抛物线于点Q， 过点P 做P′ x ⊥轴于点′，K 为直线P′上一点，且PK＝2❑ √3PQ，点为第四象限内一点，且在直线PQ 上方， 连接P、Q、K，记l＝13 2 PH−1 4 PQ，m＝P+Q+K，当l 取得最大值时，求出点P 的坐标，并求出此时m 的最小值． （3）如图2，将点沿直线R 方向平移13 个长度单位到点M，过点M 做M x ⊥轴，交抛物线于点，动点D 为x 轴上一点，连接MD、D，再将△MD 沿直线MD 翻折为△MD′（点M、、D、′在同一平面内），连 接、′、′，当△′为等腰三角形时，请直接写出点D 的坐标． 【答】（1）y＝1 6 x2﹣4 3 x 8 ﹣，y＝5 12 x+5 3 ；（2）P（5，−21 2 ），m 的最小值为2❑ √19；（3）D1（ 31−5 ❑ √13 2 ，0），D2（﹣4，0），D3（34 3 ，0），D4（31+5 ❑ √13 2 ，0）． 【解析】解（1）∵y＝x2+bx 8 ﹣与y 轴的交点为，令x＝0，y＝﹣8， ∴点（0，﹣8）， ∴＝8， ∵＝2，B＝3， ∴＝4，B＝12， ∴（﹣4，0）B（12，0）， 将点代入直线解析式可得0＝﹣4k+5 3 ， 解得k＝5 12 ， y ∴＝5 12 x+5 3 ， 将点和点B 代入抛物线中， ¿， 解得＝1 6 ，b＝﹣4 3 ， y ∴＝1 6 x2﹣4 3 x 8 ﹣； （2）设点P 的坐标为（p，1 6 p2﹣4 3 p 8 ﹣），﹣2a b ＝4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝4， ∴点Q（8 p ﹣，1 6 p2﹣4 3 p 8 ﹣）， PQ ∴ ＝2p 8 ﹣， PK ∵ ＝2❑ √3PQ， PK ∴ ＝4❑ √3p 16 ﹣ ❑ √3， 如图1 所示，延长PK 交直线R 于点M，则M（p，5 12 P+5 3 ）， PM ∴ ＝5 12 P+5 3 ﹣（1 6 p2﹣4 3 p 8 ﹣）＝﹣1 6 p2﹣21 12 p+29 3 ， PM ∵∠ ＝∠M′，∠MP＝∠M′， PM ∴∠ ＝∠M′， ∵直线解析式为y＝5 12 x+5 3 ，，令x＝0，y＝5 3 ， E ∴＝5 3 ， ∵＝4， 根据勾股定理得∴E＝13 3 ， s E ∴∠＝OA AE ＝12 13 , s PM ∴∠ ＝PH PM ＝ PH ﹣1 6 P 2﹣21 12 p+ 29 3 ＝12 13 ， P ∴＝﹣2 13 p2+21 13 p+116 13 ， ∵＝13 2 PH- 1 4 PQ， ∴＝13 2 （﹣2 13 p2+21 13 p+116 13 ）﹣1 4 （2p 8 ﹣）＝﹣（p 5 ﹣）2+85， ∴当p＝5 时，取最大值此时点P（5，﹣21 2 ）， PQ ∴ ＝2，PK＝4❑ √3， 如图2 所示，连接QK，以PQ 为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD 取， 使∠PD＝60°，以P 为边做等边三角形PF，连接Q， P ∵＝PF，PQ＝PD，∠PQ＝∠FPD， PQ FPD ∴△ △ ≌ （SS）， DF ∴ ＝Q， P+Q+K ∴ ＝F+FD+K＝DK，此时m 最小， 过点D 作D 垂直于KP， KPD ∵∠ ＝∠KPQ+ QPD ∠ ＝150°， PD ∴∠ ＝30°， DP ∵ ＝PQ＝2， D ∴＝1，根据勾股定理得P＝❑ √3， 在△KD 中，K＝5❑ √3，D＝1，根据勾股定理得KD＝2❑ √19， m ∴ 的最小值为2❑ √19； （3）设M 与x 轴交于点， M ∵ ＝13，s M ∠ ＝12 13 ， ∴＝12，根据勾股定理得M＝5， ∵＝4， ∴＝8， M ∴ （8，5）， 当x＝8 时，代入抛物线中，可得y＝﹣8， ∴（8，﹣8），M＝13， 在△中，根据勾股定理得＝4❑ √13， ∵点D 为x 轴上的动点，根据翻折，M′＝13，所以点′在以M 为圆心，13 个单位长度为半径的圆上运动， 如图3 所示， ①当′落在的垂直平分线上时， t M ∠ ＝12 8 ＝3 2 ， t MG ∴∠ ＝3 2 ， M ∵ ＝5， G ∴＝10 3 ，根据勾股定理得MG＝5 ❑ √13 3 ， MD1 ∵ 为∠GM 的角平分线， ∴MG MJ =GD DJ ， D1 ∴ ＝5 ❑ √13﹣15 2 ， D1 ∴ （31−5 ❑ √13 2 ，0）， MD4 ∵ 也为角平分线， D1MD4 ∴∠ ＝90°， 根据射影定理得M2＝D1•D4， D4 ∴ ＝5 ❑ √13+15 2 ， D4 ∴ （31+5 ❑ √13 2 ，0）； ②当＝′时， D2 与点重合， D2 ∴ （﹣4，0）， MD3 ∵ 为角平分线， ∴MJ MN ' = J D3 D3 N ' ， D3 ∴ ＝10 3 ， D3 ∴ （34 3 ，0）， 综上所述D1（31−5 ❑ √13 2 ，0），D2（﹣4，0），D3（34 3 ，0），D4（31+5 ❑ √13 2 ，0）． 6、如图，在平面直角坐标系xy 中，经过（1，1）的抛物线y＝x2+bx+（＞0）顶点为M，与x 轴正半轴交 于，B 两点． （1）如图1，连接，将线段绕点逆时针旋转使得落在y 轴的正半轴上，求线段过的面积； （2）如图2，延长线段至，使得＝ ，若∠＝∠B 且t∠BM＝ ，求抛物线的解析式； （3）如图3，已知以直线x＝ 为对称轴的抛物线y＝x2+bx+交y 轴于（0，5），交直线l：y＝kx+m（k＞ 0）于，D 两点，若在x 轴上有且仅有一点P，使∠PD＝90°，求k 的值． 【答】（1） ；（2）y＝2x2 9 ﹣x+8；（3）k＝ ． 【思路引导】 （1）线段过的面积＝ ×π×（ ）2＝ ； （2）△∽△B，则•B＝2＝4，即m＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）（x﹣），M＝|yM|＝﹣（ ﹣m）（ ﹣）＝ ，═ ﹣m，t∠BM＝ ＝ （﹣m）＝ ，化简得： （﹣m）＝ …②，将（1，1）代入y＝（x﹣m）（x﹣）并化简得：（5﹣m﹣）＝1…③，联立①②③ 即可求解； （3）抛物线的表达式为：y＝x2 5 ﹣x+5；设点D（m，），＝m2 5 ﹣m+5，而点（1，1），则k＝ ＝m 4 ﹣，若在x 轴上有且仅有一点P，使∠PD＝90°，则过D 中点的圆R 与x 轴相切，即可 求解． 【解析】 （1）线段过的面积＝ ×π×（ ）2＝ ； （2）＝ ＝4，设点、B 的坐标分别为：（m，0）、（，0）， ∠＝∠B，则△∽△B，则•B＝2＝4，即m＝4…①， 则抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）（x﹣）， 过点M 作M⊥B 交B 于点，函数的对称轴为：x＝ （m+）， 则M＝|yM|＝﹣（ ﹣m）（ ﹣）＝ ， ＝xM﹣x＝ ﹣m t∠BM＝ ＝ （﹣m）＝ ， 化简得：（﹣m）＝ …②， 将（1，1）代入y＝（x﹣m）（x﹣）并化简得：（5﹣m﹣）＝1…③， 联立①②③并解得：m＝ ，＝ ，＝2， 则抛物线的表达式为y＝（x﹣m）（x﹣）＝（x2﹣mx﹣x+m）＝2x2 9 ﹣x+8； （3）由题意得： ，解得： ， 故抛物线的表达式为：y＝x2 5 ﹣x+5； 设点D（m，），＝m2 5 ﹣m+5，而点（1，1）， 则k＝ ＝m 4 ﹣， 若在x 轴上有且仅有一点P，使∠PD＝90°，则过D 中点的圆R 与x 轴相切，设切点为P， 则点（ ， ），则P＝， 即（ ﹣1）2+（ ﹣1）2＝（ ）2， 化简得：3m2 18 ﹣ m+19＝0， 解得：m＝3+ （不合题意的值已舍去）， k＝m 4 ﹣＝ ． 【方法总结】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等， 综合性很强，数据处理技巧多，难度大． 7、如图1，抛物线 与y 轴交于点，与x 轴交于点、B（点在点B 左边），为坐标原点． 点D 是直线B 上方抛物线上的一个动点，过点D 作DE∥x 轴交直线B 于点E．点P 为∠B 角平分线上的一动 点，过点P 作PQ⊥B 于点，交x 轴于点Q；点F 是直线B 上的一个动点． （1）当线段DE 的长度最大时，求DF+FQ+ PQ 的最小值． （2）如图2，将△B 沿B 边所在直线翻折，得到△B′，点M 为直线B′上一动点，将△绕点顺时针旋转α 度 （0°＜α＜180°）得到△′′，当直线′′，直线B′，直线M 围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直 角三角形的面积． 【答】（1） ；（2）围成的三角形面积为： ． 【解析】 （1）如图1， 当x＝0 时，y＝3． 当y＝0 时， ． ∴ ， ， ∴⊥B，且∠B＝30°，＝ ，且 设D（， ），则E（ ） ∴DE＝﹣ ∴当＝﹣ 时，DE 最大．此时D（ ） ∵P 平分∠B， ∴∠PB＝ ∠B＝30°， ∵PQ⊥B， ∴∠PQB＝60°， ∴∠P＝∠PQB﹣∠PB＝60° 30° ﹣ ＝30°＝∠PB， ∵PQ⊥B， ∴PQB＝60°， ∴Q＝PQ， ∴ ＝ ， 将射线B 绕顺时针旋转30°得到直线M，过点D 作M 的垂线于点M，交x 轴于点Q′，则 ． 当Q 运动到Q′时，有 ＝DM， 过D 作D⊥x 轴于点，可得△Q′M 与△DQ′相似， D＝Dy＝ ，＝ ∴Q′＝ ，DQ′＝ ，Q′＝﹣Q′＝ ∴Q′M＝ ， ∴DM＝DQ′+Q′M＝ ＝DM＝ ． （2）第一种情况：如图2， ＝r＝ ，Q＝ ＝ ，Q＝2r＝3， Q＝Q﹣＝ ，QB＝3 ，QP＝ ， P＝PQ﹣Q＝6，S1＝18． 第二种情况，如图3， Q＝ ，＝r＝ ， QB＝3+3 ，QP＝ ， P＝PQ﹣Q﹣＝3， ； 第三种情况，如图4， ＝ ，M＝ ， MQ＝M﹣r＝ ， 第四种情况，如图5， B＝ ，M＝ ，＝ ，M＝M 0 ﹣＝ ， ． 第五种情况，如图6， M＝B＝Bs15°＝ ＝Bs15°＝ ， M＝+M＝ ，M＝M﹣r＝ ， ； 第六种情况，如图7， M＝ ，＝ ，M＝M﹣＝ ， ； 综上所述，围成的三角形面积为： ； ． 8、如图，抛物线y＝﹣1 2 x2+bx+与x 轴交于、B（左B 右），与y 轴交于，直线y＝﹣x+5 经过点B、． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m，点P 到直线B 的距离为d，求d 与m 的函数解析 式； （3）在（2）的条件下，若∠PB+ PB ∠ ＝180°