题型9 二次函数综合题 类型6 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题（专题训练） 1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ． (1)求该抛物线的表达式； (2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此 时点 的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物 线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰 的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来． 【答】(1) ；(2) 取得最大值为 ， ；(3) 点的坐标为 或 或 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，设 ，则 ，则 ，进而根据二次函数的性质即可求解； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）根据平移的性质得出 ，对称轴为直线 ，点 向右平 移5 个单位得到 ， ，勾股定理分别表示出 ，进而分类讨论 即可求解． 【详解】（1）解：将点 ， ．代入 得， 解得： ， ∴抛物线解析式为： ， （2）∵ 与 轴交于点 ， ， 当 时， 解得： ， ∴ , ∵ ． 设直线 的解析式为 ， ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 取得最大值为 ， ， ∴ ； （3）∵抛物线 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 将该抛物线向右平移个单位，得到 ，对称轴为直线 ， 点 向右平移5 个单位得到 ∵平移后的抛物线与 轴交于点 ，令 ，则 ， ∴ , ∴ ∵ 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点． 则 点的横坐标为 ， 设 ， ∴ ， ， 当 时， ， 解得： 或 ， 当 时， ， 解得： 综上所述， 点的坐标为 或 或 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数 的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与y 轴交于点 ，直线 与抛物线交于B，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若 是以 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标； (3)过点 作y 轴的垂线，交直线B 于点D，交直线于点E．试探究：是否存在常数 m，使得 始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1) ；(2)点B 的坐标为 或 或 ；(3)存在，m 的值为2 或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）设 ，分 和 两种情况，分别根据等腰三角形性质和两 点坐标距离公式列方程求解即可； （3）先根据题意画出图形，设抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到 ， ，利用待定系数法分别求得直线 、 的表达式为得到 ， ，过E 作 轴于Q，过D 作 轴于，证明 得到 ，整理可得到 ，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，与y 轴交于点 ， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的函数表达式为 ； （2）解：设 ， 根据题意， 是以 为腰的等腰三角形，有两种情况： 当 时，点B 和点P 关于y 轴对称， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ，∴ ； 当 时，则 ， ∴ ， 整理，得 ， 解得 ， ， 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 综上，满足题意的点B 的坐标为 或 或 ； （3）解：存在常数m，使得 ． 根据题意，画出图形如下图， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ， 由 得 ， ∴ ， ； 设直线 的表达式为 ， 则 ，解得 ， ∴直线 的表达式为 ， 令 ，由 得 ， ∴ ， 同理，可得直线 的表达式为 ，则 ， 过E 作 轴于Q，过D 作 轴于， 则 ， ， ， ， 若 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 ， 整理，得 ， 即 ， 将 ， 代入，得 ， 即 ，则 或 ， 解得 ， ， 综上，存在常数m，使得 ，m 的值为2 或 ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形 的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标 与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造 相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键． 3．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ， 和 ，连接 ，点 为抛物线上一 动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交 轴于点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (1)直接写出抛物线和直线 的解析式； (2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值； (3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以 ， ， 为顶点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】(1)抛物线： ；直线 ： ；(2) 或 或 ；(3) ， 或 ， 或 ， 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为 ，将点 代入求 ，进而得抛 物线的解析式；设直线 的解析式为 ，将点 ， 的坐标代入求 ，，进而得 直线 的解析式． （2）由题得 ，分别求出 ， ， ，对等腰 中相等的边进行分 类讨论，进而列方程求解； （3）对点 在点 左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形 的相似比求解 ，进而可得 ， 的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线过点 ， ， 抛物线的表达式为 ， 将点 代入上式，得 ， ． 抛物线的表达式为 ，即 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设直线 的表达式为 ， 将点 ， 代入上式， 得 ， 解得 ． 直线 的表达式为 ． （2）解： 点 在直线 上，且 ， 点 的坐标为 ． ， ， ． 当 为等腰三角形时， ①若 ，则 ， 即 ， 解得 ． ②若 ，则 ， 即 ， 解得 或 （舍去）． ③若 ，则 ， 即 ， 解得 （舍去）或 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 综上， 或 或 ． （3）解： 点 与点 相对应， 或 ． ①若点 在点 左侧， 则 ， ， ． 当 ，即 时， 直线 的表达式为 ， ，解得 或 （舍去）． ，即 ． ，即 ， 解得 ． ， ． 当 ，即 时， ， ， ，即 ， 解得 （舍去）或 （舍去）． ②若点 在点 右侧， 则 ， ． 当 ，即 时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 直线 的表达式为 ， ，解得 或 （舍去）， ， ，即 ， 解得 ． ， ． 当 ，即 时， ， ． ，即 ， 解得 或 （舍去）． ， ． 综上， ， 或 ， 或 ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性 质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相 关知识是解题的关键． 4 如图，已知抛物线 与x 轴交于点（1，0）和B，与y 轴交于点， 对称轴为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P 是线段B 上的一个动点（不与点B，重合），过点P 作y 轴的平行线 交抛物线于点Q，连接Q．当线段PQ 长度最大时，判断四边形PQ 的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D 是的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E，且 ．在y 轴上是否存在点F，使得 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；（2）四边形PQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0， ）或（0，1）或（0，-1） 【分析】 （1）设抛物线 ，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线B 的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x， ）， （0≤x≤4），得到PQ = ，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q 作QM y ⊥轴，过点Q 作Q y ∥轴，过点E 作E x ∥轴，交于点，推出 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，从而得 ，进而求出E（5，4），设F（0， y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：（1）∵抛物线 与x 轴交于点（1，0）和B，与y 轴交于点，对 称轴为直线 ， B ∴（4，0），（0，4）， 设抛物线 ，把（0，4）代入得： ，解得：=1， ∴抛物线的解析式为： ； （2）∵B（4，0），（0，4）， ∴直线B 的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x， ），（0≤x≤4）， PQ=-x+4-( ∴ )= = ， ∴当x=2 时，线段PQ 长度最大=4， ∴此时，PQ=， 又∵PQ∥， ∴四边形PQ 是平行四边形； （3）过点Q 作QM y ⊥轴，过点Q 作Q y ∥轴，过点E 作E x ∥轴，交于点， 由（2）得：Q（2，-2）， D ∵ 是的中点， D ∴（0，2）， Q y ∵∥轴， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即： ， 设E（x， ），则 ，解得： ， （舍去）， E ∴（5，4）， 设F（0，y），则 ， ， ， ①当BF=EF 时， ，解得： ， ②当BF=BE 时， ，解得： 或 ， ③当EF=BE 时， ，无解， 综上所述：点F 的坐标为：（0， ）或（0，1）或（0，-1）． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． 【点睛】 本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征， 添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 5 如图，抛物线 与 轴交于(-1，0)，B(4，0)，与 轴交于点．连接， B，点P 在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P 在第四象限，点Q 在P 的延长线上，当∠Q=∠B 45°时，求点P 的坐 标； (3)如图②，若点P 在第一象限，直线P 交B 于点F，过点P 作 轴的垂线交B 于点，当 △PF 为等腰三角形时，求线段P 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】（1） ；（2）（6，-7）；（3）P= 或15 或 【分析】 （1）根据待定系数法解答即可； （2）求得点的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠B=90°，继而可得∠= B ∠，在x 轴上取 点E（2，0），连接E，易得△E 是等腰直角三角形，可得∠E=45°，进一步可推出 ∠E= Q ∠，可得E PQ ∥ ，然后利用待定系数法分别求出直线E 与PQ 的解析式，再与抛物线 的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线P 交y 轴于点G，如图，由题意可得若△PF 为等腰三角形，则△FG 也为等腰三 角形，设G（0，m），求出直线F 和直线B 的解析式后，再解方程组求出点F 的坐标，然 后分三种情况求出m 的值，再求出直线P 的解析式，进而可求出点P 的坐标，于是问题可 求解． 【详解】 解：（1）把(-1，0)，B(4，0)代入 ，得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式是 ； （2）令x=0，则y=2，即（0，2）， ∵ ， ，B2=25， ∴ ， B=90° ∴∠ ， + = B+ =90° ∵∠∠∠ ∠ ， = B ∴∠∠， 在x 轴上取点E（2，0），连接E，如图， 则E=E=2， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm E=45° ∴∠ ， E= +45°= B+45°= Q ∴∠ ∠ ∠ ∠， E PQ ∴∥ ， ∵（0，2），E（2，0）， ∴直线E 的解析式为y=-x+2， 设直线PQ 的解析式为y=-x+，把点（-1，0）代入，可得=-1， ∴直线PQ 的解析式为y=-x-1， 解方程组 ，得 或 ， ∴点P 的坐标是（6，-7）； （3）设直线P 交y 轴于点G，如图， P y ∵∥轴， P= B ∴∠ ∠，∠FP= GF ∠ ， ∴若△PF 为等腰三角形，则△FG 也为等腰三角形， ∵（0，2），B（4，0）， ∴直线B 的解析式为 ， 设G（0，m），∵（-1，0）， ∴直线F 的解析式为y=mx+m， 解方程组 ，得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴点F 的坐标是 ， ∴ ， 当G=F 时， ，解得： （舍去负值）， 此时直线F 的解析式为y= x+ ， 解方程组 ，得 或 ， ∴点P 的坐标是（ ， ），此时点的坐标是（ ， ）， P= ∴ ； 当FG=F 时， ，解得m= 或m= （舍）或m=2（舍）， 此时直线F 的解析式为y= x+ ， 解方程组 ，得 或 ， ∴点P 的坐标是（3，2），此时点的坐标是（3， ）， P=2- ∴ =15； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当GF=G 时， ，解得 或m=2（舍去）， 此时直线F 的解析式为y= x+ ， 解方程组 ，得 或 ， ∴点P 的坐标是（ ， ），此时点的坐标是（ ， ）， P= ∴ ； 综上，P= 或15 或 ． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上 点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难 度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 6 如图，已知二次函数 的图象经过点 且与 轴交于原点及点 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点 的坐标及直线 的表达式； （3）判断 的形状，试说明理由； （4）若点 为 上的动点，且 的半径为 ，一动点 从点 出发，以每秒2 个单 位长度的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以每秒1 个单位长度的速度沿线段 匀速运 动到点 后停止运动，求点 的运动时间的最小值． 【答】（1） ；（2） ， ；（3）等腰直角三角形，理由见解 析；（4） 【分析】 （1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可； （2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点、B 坐标 求出B 解析式即可； （3）根据二次函数对称性可知 为等腰三角形，再根据、、B 三点坐标，求出三条线 段的长，利用勾股定理验证即可； （4）根据题意可知动点 的运动时间为 ，在 上取点 ，使 ， 可证明 ，根据相似三角形比例关系得 ，即 ，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，再根据等 腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】 解：（1） 二次函数 的图象经过 ，且与 轴交于原点及点 ∴ ，二次函数表达式可设为： 将 ， 代入 得： 解这个方程组得 ∵二次函数的函数表达式为 （2）∵点 为二次函数图像的顶点， ∴ ， ∴顶点坐标为： ， 设直线 的函数表达式为 ，则有： 解之得： ∴直线 的函数表达式为 （3） 是等腰直角三角形， 过点 作 于点 ，易知其坐标为 ∵ 的三个顶点分别是 ， ， ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 且满足 ∴ 是等腰直角三角形 （4）如图，以 为圆心， 为半径作圆，则点 在圆周上，依题意知： 动点 的运动时间为 在 上取点 ，使 ， 连接 ，则在 和 中， 满足： ， ， ∴ ， ∴ ， 从而得： ∴ 显然当 、 、 三点共线时， 取得最小值， 过点 作 于点 ，由于 ， 且 为等腰直角三角形， 则有 ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴动点 的运动时间的最小值为： ． 【点睛】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定， 相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题 的关键． 7 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 ，（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，连接 ．直线 经过点 ， 且与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰三角形时，求点 的坐标； （3）点 为线段 上的一点，点 为线段 上的一点，连接 ，并延长 与线段 交于点 （点 在第一象限）．当 且 时，求出点 的坐标． 【答】（1） ；（2） ； ；（3） 【分析】 （1）直接利用待定系数法求出、b 的值即可得出抛物线解析式； 1 更多资料添加微信号：