模型38 圆——垂径定理模型-解析版

圆 模型（三十八）——垂径定理模型 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◎结论：如图，D 是直径，D⊥B，则①M＝MB，② ＝ 垂径定理中的五元素： ①过圆心;②垂直弦;③平分弦（不是直径）;④平分优弧;⑤平分劣弧 知二推三：这五个元素中，知道任意两个，可得其它三个 【注意】平分弦（不是直径）的原因：任意两条直径互相平分，但无法推出垂直, 如图： 找残缺圆的圆心方法：知二推三组合 作法：在圆弧上找两条不平行的线段，圆心在弦的垂直平分线上，交点为 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙的直径B 垂直弦D 于点P，且P 为半径B 的中 点，若D＝6，则直径B 的长为（ ） ．2 B．6 ．4 D．6 【答】 【分析】根据垂径定理可知B 垂直平分D，连接，根据勾股定理即可求出半径，最后求出直径即可． 【详解】解：如图，连接， ∵B 为⊙的直径，B⊥D， ∴ ， 设⊙的半径为r， ∵点P 为B 中点， ∴ ， 在 种，由勾股定理可得： ， 即： ，解得：r= 或：r= （舍）， ∴直径为 ． 故选∶． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解 题的关键． 2．（2022·广东·绿翠现代实验学校二模）如图， 的半径D 垂直弦B 于点，若 ， ，则 的半径 为（ ） ． B．3 ．4 D．5 【答】D 【分析】根据垂径定理可得 ,再利用勾股定理直接求得 的长，即可得出答． 【详解】解：设 半径为， ， ， 根据垂径定理得： ， ， 在 中， ， ， ， 解得 ， 即 的半径为5． 故答为：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解决本题的关键是熟练运用垂径定理得出结论，列式计算． 3．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）如图， 是⊙ 的直径，弦 于 点 ， ，⊙ 的半径为，则弦 的长为（ ） ．3 B． ． D．9 【答】 【分析】先根据圆周角定理得到∠B=60°，再根据垂径定理得到E=DE，然后利用含30 度的直角三角形三边的关系 求出E，从而得到D 的长． 【详解】解：∵ ， ∴∠B=60°， ∵ ， ∴D=2E，∠E=90°， ∴∠E=30°， =2 ∴ E， ∵⊙ 的半径为，即=2， ∴E=1， ∴ ， ∴ ． 故选： 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理， 勾股定理． 1．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在 中， ， ，已知 是 的外接圆，且 的半径为5，则 B 的长为（ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】根据题意，画出图形，连接B，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解． 【详解】 解：如图1：当∠B 为锐角时，过点作D⊥B 于点D，连接B， ∵D⊥B，B=6， ∴BD= =3， ∵ 半径为5， ∴B==5， ∴ ， ∴D=+D=4+5=9， ∴ ， 如图2：当∠B 为钝角时，过点作D⊥B 于点D，连接B， ∵D⊥B，B=6， ∴BD= =3， ∵ 半径为5， ∴B==5， ∴ ， ∴D=-D=5-4=1， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角 形是解题的关键． 2．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）如图，B 是⊙的直径，弦D⊥B 于E，若∠B＝30°，E＝1，则D 长为 （ ） ．3 B． ． D．2 【答】D 【分析】先利用垂径定理得到 ，再根据圆周角定理得到∠D＝60°，然后根据含30 度的直角三角形三边的 关系得到D 的长． 【详解】解：∵D⊥B，B 是直径， ∴ ， ∴∠D＝2∠B＝2×30°＝60°， 在Rt△DE 中，D＝2E＝2×1＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．也考查了垂径定理． 3．（2022·全国·九年级单元测试）如图，B 为⊙的直径，弦D 交B 于点E， ，∠DB＝30°，＝2 ，则E ＝（ ） ． B． ．1 D．2 【答】 【分析】连接B，根据垂径定理的推论可得B⊥D，再由同弧所对的圆周角相等可得∠＝∠DB＝30°，根据锐角三角 函数可得E＝3，B＝4，即可求解． 【详解】解：如图，连接B， ∵B 为⊙的直径， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵B 为⊙的直径， ∴ ， ∴ ， ∴＝2， ∴E＝E﹣＝1． 故选：． 【点晴】本题主要考查了垂径定理，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，同弧所对的圆 周角相等，特殊角三角函数是解题的关键． 1．（2016·陕西·中考真题）如图，B 是⊙的弦，过B 作B B ⊥ 交⊙于点，过作⊙的切线交B 的延长线于点D，取D 的中点E，过E 作EF B ∥ 交D 的延长线与点F，连接F 并延长交B 的延长线于点G．． 求证：（1）F=FG （2）B2=B•G． 【答】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由平行线的性质得出EF D ⊥，由线段垂直平分线的性质得出F=FD，由等腰三角形的性质得出 ∠FD= D ∠，证出∠DB= G ∠，由对顶角相等得出∠GF= G ∠，即可得出结论； （2）连接，由圆周角定理证出是⊙的直径，由弦切角定理得出∠DB= B ∠，证出∠B= G ∠，再由∠B= GB=90° ∠ ，证 明△B GB ∽△ ，得出对应边成比例，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵EF B ∥，B BG ⊥ ， EF D ∴ ⊥， E ∵ 是D 的中点， F=FD ∴ ， FD= D ∴∠ ∠， GB B ∵ ⊥， GB+ G= D+ DB=90° ∴∠ ∠ ∠ ∠ ， DB= G ∴∠ ∠， DB= GF ∵∠ ∠ ， GF= G ∴∠ ∠， F=FG ∴ ； （2）连接，如图所示： B BG ∵⊥ ， ∴是⊙的直径， FD ∵ 是⊙的切线，切点为， DB= B ∴∠ ∠， DB= G ∵∠ ∠， B= G ∴∠ ∠， B= GB=90° ∵∠ ∠ ， B GB ∴△∽△ ， ∴ ， ∴ =B•BG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角 形 2．（2019·安徽·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘了筒车的工作原理如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆已知圆心在水面上方，且圆被 水面截得的弦B 长为6 米，∠B=413°，若点为运行轨道的最高点（，的连线垂直于B），求点到弦B 所在直线的距 离（参考数据：s413°≈066，s413°≈075，t413°≈088） 【答】664 米 【分析】通过垂径定理求出D，再通过三角函数解直角三角形，求出和D 的值，从而得到点到弦B 所在直线的距 离 【详解】解：如图：连接并延长，交B 于点D， ∵D⊥B，B=6， ∴D= B=3， 在Rt△D 中, ∠B=413°，s∠D= ， ∴= ， s ∵∠D= , ∴D=·s∠D=264， ∴D=+D=+D=4+264=664 米， 答：点到弦B 所在直线的距离是664 米 【点睛】本题考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出D 的值是解题关键