重难点突破12 与圆相关的6种模型（四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、阿基米德折弦定理）（原卷版）

重难点突破12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 线段时，可利用圆的定义构造辅 助圆 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 （圆的定义） O A B D C 若一个四边形的一组对角互补， 则这个四边形的四个点共圆 O A B D C 反证法 若一个四边形的外角等于它的内 对角，则这个四边形的四个点共 圆 O A B D C E 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角 相等的四个顶点共圆 O B C A D 反证法 共斜边的两个直角三角形的四个 顶点共圆 适用范围：双直角三角形共斜边 模型 连接、D 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 可得=B==D ∴点、B、、D 四点共圆 在⊙中，若弦B、D 相交于点P , 且P•DP=BP•P，则,B,,D 四点 共圆（相交弦定理的逆定理） 在△PB 和△PD 中 P•DP=BP•P ∠3=∠4 △PB∽△PD ∠1=∠2 ∴ ∴ 则、B、、D 四点共圆 在⊙中，若B、D 两线段延长后 相交于点P , 且P•BP=DP•P ， 则,B,,D 四点共圆（割线定理） 在△P 和△DPB 中 P•BP=P•DP ∠P=∠P ∴△P∽△DPB ∠1=∠3 ∴ 而∠2+ 3=180° ∠ 1+ 2=180° ∴∠ ∠ 则、B、、D 四点共圆 C O O B A D B C A D 4 3 2 1 P O A B C D 3 2 1 C A P O B D 若四边形两组对边乘积的和等于 对角线的乘积，则四边形的四个 顶点共圆(托勒密定理的逆定理) O D C A B 【扩展】 托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 证明:过点作P 交BD 于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4， △ ∴D∽△BP∴AC BC = AD BP ，则·BP=D·B ① ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠P=∠2+∠P 则∠B=∠DP 而∠5=∠6 △ ∴B∽△DP∴AC CD = AB DP ，则·DP=B·D ② ①+②得 (BP+DP)=B·D+D·B 即·BD=B·D+D·B 1 5 6 3 4 2 1 5 6 3 4 2 P P D C A B D C A B 2 四点共圆的性质 1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠B=∠BD）； 2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）； 3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3） 1．（2020·山东东营·东营市实验中学校考三模）如图放置的两个正方形，大正方形BD 边长为，小正方形 EFG 边长为b（＞b），M 在B 边上，且BM＝b，连接M，MF，MF 交G 于点P，将△BM 绕点旋转至 △D，将△MEF 绕点F 旋转至△GF．给出以下五个结论：①∠D＝∠MP；②CP=b−b 2 a ；③△BM GF ≌△ ；④ S四边形AMFN =a 2+b 2；⑤，M，P，D 四点共圆．其中正确的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 2．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，Rt △ABC中，AB=AC=12❑ √2，Rt △ADE中， AD=AE=6 ❑ √2，直线BD与CE交于P，当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值 是 ． 3．（2019·浙江嘉兴·统考二模）如图，四边形BD 中，∠B＝∠BD＝90°，B＝1，E⊥D，交B 于点E，E 平 分∠BED． （1）D 的长是 ； （2）当点F 是中点时，四边形BD 的周长是 ． 4．（2021 上·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点、B 坐标分别为（3，0）、（0， 4），点是x 轴正半轴上一点，连接B．过点垂直于B 的直线与过点垂直于B 的直线交于点D，连接BD， 则s∠BD 的值是 ． 5．（2023 下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E 为等腰△ABC内一点，AB=AC， ∠BAC=α，将AE绕着点逆时针旋转α得到AD，求证：△ABE≌△ACD． 尝试应用 如图2，点D 为等腰Rt △ABC外一点，AB=AC，BD⊥CD，过点的直线分别交DB的延长 线和CD的延长线于点，M，求证：S△ABN+S△ACM=1 2 AN ⋅AM． 问题拓展 如图3，△ABC中，AB=AC，点D，E 分别在边AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE， BD交于点．若CE=a，AH=b，直接写出BE的长度（用含，b 的式子）． 6．（2022 上·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点P (−1,0)为圆心的圆，交x 轴于B、两点（B 在的左 侧），交y 轴于、D 两点（在D 的下方），AD=2，将△ABC绕点P 旋转180°，得到△MCB． (1)求B、两点的坐标； (2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M 的坐标； (3)动直线l 从与BM重合的位置开始绕点B 顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l 与CM交点为E， 点Q 为BE的中点，过点E 作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变 化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由． 7．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）射线B 与直线D 交于点E，∠ED＝60°，点F 在直线D 上运动，连接 F，线段F 绕点顺时针旋转60°得到G，连接FG，EG，过点G 作GH ⊥AB于点． (1)如图1，点F 和点G 都在射线B 的同侧时，EG 与G 的数量关系是______； (2)如图2，点F 和点G 在射线B 的两侧时，线段EF，E，G 之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论； (3)若点F 和点G 都在射线B 的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出G 的长． 8．（2021·福建·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC ⊥BD，垂足为E，CF ⊥AB 于点F，直线CF与直线BD于点G． （1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称； （2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数． 9．（2021 上·上海徐汇·九年级统考期中）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°， ∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F． （1）如图，当点F在边AB上时，联结AE． ①求证：AE∥BC； ②若EF=1 2 CF，求BD的长； （2）设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长． 10．（2022·河南安阳·统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延 长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知△ABC内接于⊙O，点P 在⊙O上（不与点，B，重合），过点P 分别作AB，BC， AC的垂线，垂足分别为．点D，E，F 求证：点D，E，F 在同一条直线上． 如下是他们的证明过程（不完整）： 如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，则EQ=FQ=1 2 PC=PQ=CQ ，（依据1） ∴点E，F，P，四点共圆，∴∠FCP+∠FEP=180°．（依据2） 又∵∠ACP+∠ABP=180°， ∴∠FEP=∠ABP． 同上可得点B，D，P，E 四点共圆， …… 任务： (1)填空： ①依据1 指的是中点的定义及________； ②依据2 指的是________． (2)请将证明过程补充完整． (3)善于思考的小虎发现当点P 是´ BC的中点时，BD=CF，请你利用图（2）证明该结论的正确性． 11．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得 出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，△ABC中，AB=AC ，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D 是BC边上的一动点（点D 不与 B，重合），将线段AD绕点顺时针旋转α到线段AE，连接BE． (1)求证：，E，B，D 四点共圆； (2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； (3)已知α=120°，BC=6，点M 是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P 与点M 距离的最小值． 12．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继 续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D 四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则 ∠AEC+∠D=180°（依据1） ∵∠B=∠D ∴∠AEC+∠B=180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连 接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若AB=2❑ √2，AD⋅AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 13．（2023·河南周口·校联考一模）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线 段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB=∠ADB． 求证：点A，B，C，D四点共圆． 证明：作Δ ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内． 如图2，若点D在⊙O外．设AD与⊙O交于点E，连接BE， 则∠ACB=∠AEB（依据一）， 又∵∠AEB=∠ADB+∠DBE（依据二）， ∴∠ACB=∠ADB+∠DBE． ∴∠ACB>∠ADB．这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立； 如图3，若点D在⊙O内，…… （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即点A，B，C，D四点共圆． (1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一： ； 依据二： ． (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)填空：如图4，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若 BD=6，BE=4，则AC=¿ ． 题型02 圆幂定理 【模型介绍】相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理 1 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 已知 图形 结论 证明过程 【基础】在⊙ 中，弦B、D 相 交于点P P•DP=BP•P 在△PB 和△PD 中 ∠1=∠2 （同弧所对圆周角相 等） ∠3=∠4 △PB∽△PD ∴ ∴AP CP = BP DP 则P•DP=BP•P 【进阶】在⊙ 中，P 所在直线与 ⊙交于M 、两 点，r 为⊙的半径 N M P O B C BP•P=MP•P =(r-P)( r+P) =r 2−OP 2 同上 2 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等 已知 图形 结论 证明过程 4 3 2 1 P O A B C D 【基础】在⊙中， 弦B、D 相交于点 P，且点P 在圆外 P•BP =P•DP 连接、BD 通过已知条件证明△P∽△DPB ∴AP DP =CP BP 则P•BP=P•DP （请尝试连接D，B 自行证明） 【进阶】若从圆外 一点P 引圆的两条 割线PB 和PM， 且割线PM 经过圆 心，r 为⊙的半径 P•BP =MP•P =(P-r)( P+r) =OP 2-r 2 同上 3 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度 数 已知 图形 结论 证明过程 线段B 切⊙于点 B，线段B、D 为 ⊙的弦 5 4 3 2 1 2 1 A A O O C D B C D B 1= 2= ∠ ∠ 1 2 3 ∠ 连接B、D，则∠4= 5 ∠ ∵线段B 切⊙于点B ∠1+∠4=90° ∴ ∵∠3+∠4+∠5=180° ∠3+2∠4=180° ∴ 又∵∠3=2∠2 ∴∠2+∠4=90° ∴1= 2 ∠ ∠则∠1= 2= ∠ 1 2 3 ∠ 4 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 已知 图形 结论 证明过程 如图，线段D 是⊙ 的一条割线，B 是 ⊙的一条切线， 切点为点B 2 1 A O C D B AB 2=D• ∵ 1= 2 ∠ ∠（弦切角定理模型）， = ∠∠ ∴△BD∽△B ∴AB AC = AD AB 则AB 2=D• 1）切割线定理 14．（2023 上·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（1436−1476）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使 M A P O B N 得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1，PA与⊙O相切于点，PB与⊙O相交于点B，． 求证：P A 2=PB⋅PC． 证明：如图2，连接AC ，OA ，OC． ∵PA为⊙O的切线， ∴OA ⊥PA， ∴∠1+∠2=90°． ∵OA=OC， ∴∠2=∠3． ∵∠O+∠2+∠3=180°， ∴∠O+2∠2=180°． ∵´ AC= ´ AC， ∴∠O=2∠B， ∴2∠B+2∠2=180°， ∴∠B+∠2=90°， ∴∠1=∠B， …… 任务： (1)请完成剩余的证明过程 (2)应用：如图3，PA是⊙O的切线，PC经过⊙O的圆心，且PB=OB=2，割线PDE交⊙O于点D， E，PE=5，求PD的长． 15．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家 之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）： 已知B 是圆的直径，点P 是B 延长线上的一点， ①作线段P 的中垂线M 交P 于点Q； ②以Q 为圆心，PQ 为半径作圆，交圆于点E、F； ③连接PE 和PF； 试说明PE 是圆切线的理由． (2)计算： 若圆半径B=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE 的长度． 16．（2022·河南驻马店·校联考三模）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切 点如图1，直线l1为⊙的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线如图1，直线l2为 ⊙的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公 设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的科书其中第三卷命题36 一2 圆幂定理（切割线定 理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项为了 说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整， 并写出证明过程 已知：如图2，是⊙外一点， ． 求证： [提示]辅助线可先考虑作⊙的直径DE． 17．（2021·河南新乡·河南师大附中校考三模）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交 弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程： 已知；如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：P A 2=PB⋅PC 证明：如图③，连接AB、AC、BO、AO， ∵PA切⊙O于点A， ∴PA ⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°， …… 阅读以上材料，完成下列问题： （1）请帮助天天补充完成以上证明过程； （2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且PB=BC=4，PE=7，求DE的长． 18．（2023 上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点的切线与直径AB 的延长线相交于点P，连接PD． (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)求证：P D 2=PB· PA． 2)相交弦定理 19．（2023 上·浙江·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若AE=2，BE=8， CE=2 DE，则O到CD的距离为 ． 20．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D 为上的动点（点、 除外），BD 的延长线交⊙于点E，连接E． (1)求