专题03 二次根式比较大小的四种类型全攻略（教师版）

专题03 二次根式比较大小的四种类型全攻 略 类型一、直接平方法比较大小 例．两个数 ，5 的大小关系是 ( ) ． B． ． D．无法比较 【答】 【详解】∵ ,5= ，则 ＜ ，∴ ＜5 故答为 【变式训练1】比较大小：2 ___5 ．(填“＞”、“＜”或“＝”) 【答】＜ 【详解】2 ＝ ＝ ，5 ＝ ＝ ， 20 ∵ ＜50，∴2 ＜5 ， 故答为：＜． 【变式训练2】比较大小： _____3 ________ 【答】> < 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ． 故答是：>，<． 【变式训练3】比较大小：① ___ ； ② ______ ． 【答】 【详解】解：①由 ，可得 ； ②由 ，可得 ；故答为 ； ． 类型二、分母有理化(分子有理化)比较大小 例1．已知 ， ，则与b 的大小关系是( )． ． B． ． D．无法确定 【答】B 【详解】解： ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ． 故选B． 例2 设 ， ， ，则 ， ，的大小关系是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解： = ∵ ＞ ＞ ∴ ＞ ＞ ∴ 故选． 【变式训练1】已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( ) ．＞b＞ B．＞b＞ ．b＞＞ D．＞＞b 【答】 【详解】解:∵ ， ， ，又 ，∴ ． 故选： 【变式训练2】已知： ， ， ，则 、 、的大小关系为( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】 即 故选：D． 【变式训练3】比较大小： _________ (用 或 填空) 【答】< 【详解】解： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答是：<． 类型三、做差法或作商法比较大小 例． 、 、 的大小关系是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】∵( )-( )=3-2 =3- = - >0，∴ ， ( ∵ )-( )= - = - = >0， ∴ ，∴ ，故选D 【变式训练1】估算比较大小： _______ ； ______ ． 【答】> < 【详解】解：① ， ， ，故答为： ． ② ， ， ， 故答为： ． 【变式训练2】比较大小 _____ ． 【答】 【详解】解：作差法可得： ， ∵ 与0 的大小并不能直接观察得出， ∴利用平方法比较 与 的大小， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 则 ，∴ ，即 ＜0，∴ ， 得出： ，故答为： ． 【变式训练3】比较大小： _______ (填“＞”“＜”或“＝”) 【答】＜ 【详解】解：∵ ，∴ 和 的分母都是2， ∴只需比较分子 和 的大小即可， ∵ ，∴ ． 故答为＜． 【变式训练4】比较大小： ______________ (填“>”、“=”或“<”)． 【答】< 【详解】解： = = ， ∵ ， ∴ ，即 <0，∴ ，故答为：<． 类型四、综合方法比较大小 例．比较大小，① ___ ；② ____ ． 【答】< < 【详解】解：①左边 ，平方后得到数为：12， 右边 ，平方后得到数为：13， ， ； ②左边求倒数为 ， 右边求倒数为 ， ， ． 故答为：①<；②<． 【变式训练1】比较大小： _________ ． 【答】< 【详解】 ， ， ∴ ， 故答为： ． 【变式训练2】比较大小： ____ ； ______ ；－ ______－ ． 【答】＞ ＞ ＞ 【详解】解：∵ ， ∴ ，∴ ＞ ； ∵ = ， = ，∴ ＞ ； ∵ ＜ ， - ∴ ＞- ， 故答为：＞，＞，＞． 课后训练 1．比较 的大小，正确的是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】 解： ， ， 即： ； 故选：． 2．已知 ，则比较 、 、、 的大小结果是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】=-(02)²=-004；b=-2-2=- ；=(- )-2=4；d=(- )0=1 - ∵ <-004<1<4 b<<d< ∴ 故选． 【点睛】 本题考查负整数指数幂性质和0 指数幂的运算法则，需要熟练掌握其性质． 3．写出一个比 大且比 小的整数_______________． 【答】3(或4) 【详解】 ∵ ， ， ∴比 大且比 小的整数是3 或4， 故答为：3(或4)． 4．比较大小 _____ ， _____ ． 【答】 ＜ ＜ 【详解】解：∵ ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ； ∵ ， ， 又∵ ，∴ ， ∴ ． 故答为：＜；＜． 5．阅读下面问题： ； ； ． (1)根据以上规律推测，化简 __________； (为正整数)__________． (2)根据你的推测，比较 和 的大小． 【答】(1) ， ；(2) ＜ 【详解】解：(1) = = ； = = ； (2) = ， = ， ∵ ＞ ， ∴ ＜ ， ∴ ＜ ． 6．比较大小：2 _____5(填“＞”、“＝”或“＜”)． 【答】> 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ． 故答为： ． 7．比较大小： ________ ．(填“>”，“<”或“=”号) 【答】＜ 【详解】解：∵5＜9， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故答为：＜． 8．比较大小： ________ (填“ ”“ ”或“ ”) 【答】 【详解】解： ∴ ∵ ∴ < ∴ > 故答为：> 9．比较大小：(1) ______5；(2) ______ 【答】<, > 【详解】解：(1) ， ， ∵ ,∴ (2) ， ， ∵ ， ， ， ∴ ∴ 故答为：＜；＞ 10．一个长方形的长宽之比为 ，面积为 ． (1)求长方形的长与宽． (2)将这个长方形的长减少 ，宽增加 后，就成为一个正方形，并且它与原来的长方 形的面积相等，请判断 的大小，并说明理由． 【答】(1)长方形的长为 m，宽为 m；(2) ，理由见解析． 【详解】(1)设长方形的长 为，则宽为 ， 由题可得： ，化简得： ，解得： ，答：长方形的长为 ，宽为 ； (2) ，理由如下：由题意得 ， 解得： ， ， ∵ ， ∴ ，即 ．