压轴题01 二次函数图象性质与几何问题（3题型+2类型+解题模板+技巧精讲）（解析版）

压轴题解题模板01 二次函数图象性质与几何问题 目 录 题型一 二次函数与最值问题： 题型二 二次函数与图形面积问题 题型三 二次函数与图形判定问题 类型1：与特殊三角形相关 类型2：与特殊四边形相关 二次函数图象性质与几何问题在中考中常常作为 压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一 般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四 边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数 形结合、分类讨论等数学思想此类题型常涉及以下问 题：①求抛物线、直线的解析式；②求点的坐标、线 段长度、图形面积；③探究几何图形的存在性问题或 周长、面积的最值问题 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型 的考查热度 题型1 题型2 题型3 0% 20% 40% 60% 80% 100% 考试热度 题型一 二次函数与最值问题 解题模板： 【例1】（2023•枣庄节选）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+经过（﹣1，0），（0，3）两点，并交x 轴于另一 点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与y 轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求M+D 的最小值； 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）利用待定系数法可得直线M 的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D 关于x 轴的对称 点D′（0，﹣2），连接D′M，D′，M+D＝M+D′≥D′M，即M+D 的最小值为D′M，利用两点间距离公式 即可求得答； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+经过（﹣1，0），（0，3）两点， ∴ ， 解得： ， ∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x 1 ﹣）2+4， ∴顶点M（1，4）， 设直线M 的解析式为y＝kx+d，则 ， 解得： ， ∴直线M 的解析式为y＝2x+2， 当x＝0 时，y＝2， ∴D（0，2）， 作点D 关于x 轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′，如图， 则D＝D′， ∴M+D＝M+D′≥D′M，即M+D 的最小值为D′M， ∵D′M＝ ＝ ， ∴M+D 的最小值为 ； 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质， 勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式1-1】（2023•内蒙古节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴的交点分别为 和B（1，0）（点在点B 的左侧），与y 轴交于点（0，3），点P 是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点P 做x 轴平行线交于点E，过点P 做y 轴平行线交x 轴于点D，求PE+PD 的最大值及 点P 的坐标； 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式，设P（t，﹣t2 2 ﹣t+3），则D（t，0），E（﹣t2 2 ﹣t，﹣t2 2 ﹣t+3），可得 PD+PE＝﹣2（t+ ）2+ ，当t＝﹣ 时，PD+PE 取最大值 ，此时P（﹣ ， ）； 【解答】解：（1）把B（1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2 2 ﹣x+3； （2）在y＝﹣x2 2 ﹣x+3 中，令y＝0 得0＝﹣x2 2 ﹣x+3， 解得x＝﹣3 或x＝1， ∴（﹣3，0）， 由（﹣3，0），（0，3）得直线解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2 2 ﹣t+3），则D（t，0），E（﹣t2 2 ﹣t，﹣t2 2 ﹣t+3）， ∴PD+PE＝﹣t2 2 ﹣t+3+（﹣t2 2 ﹣t）﹣t＝﹣2t2 5 ﹣t+3＝﹣2（t+ ）2+ ， 2 ∵﹣＜0， ∴当t＝﹣ 时，PD+PE 取最大值 ， 此时P（﹣ ， ）； 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键． 【变式1-2】（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点（0，3），点P 是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P 在直线上方的抛物线上时，连接BP 交于点D，如图1，当 的值最大时，求点P 的坐标 及 的最大值； 【分析】（1）运用待定系数法，将点（﹣3，0），B（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+，即可求得抛 物线的解析式； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为y＝x+3，过点P 作PE∥x 轴交直线于点E，设P（t，﹣t2﹣ 2t+3），则E（﹣t2 2 ﹣t，﹣t2 2 ﹣t+3），可得PE＝﹣t2 2 ﹣t﹣t＝﹣t2 3 ﹣t，由PE∥x 轴，得△EPD∽△BD， 进而得出 ＝ ＝ ＝﹣ （t+ ）2+ ，再运用二次函数的性质即可求得答； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（﹣3，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点（0， 3）， ∴ ， 解得： ， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2 2 ﹣x+3； （2）设直线的解析式为y＝kx+，则 ， 解得： ， ∴直线的解析式为y＝x+3， 过点P 作PE∥x 轴交直线于点E，如图， 设P（t，﹣t2 2 ﹣t+3），则E（﹣t2 2 ﹣t，﹣t2 2 ﹣t+3）， ∴PE＝﹣t2 2 ﹣t﹣t＝﹣t2 3 ﹣t， ∵（﹣3，0），B（1，0）， ∴B＝1﹣（﹣3）＝4， ∵PE∥x 轴， ∴△EPD∽△BD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝﹣ （t+ ）2+ ， ∵﹣ ＜0， ∴当t＝﹣ 时， 的值最大，最大值为 ，此时点P 的坐标为（﹣ ， ）； 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与 二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝M 为解题关 键． 【变式1-3】（2023•西宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点（6，0），与y 轴交于点B （0，﹣6），抛物线经过点，B，且对称轴是直线x＝1． （1）求直线l 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作P⊥x 轴，垂足为，交直线1 于点D，过点P 作 PM⊥l，垂足为M．求PM 的最大值及此时P 点的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答； （2）根据抛物线的对称轴是直线x＝1，可设y＝（x 1 ﹣）2+k，利用待定系数法即可求得答； （3）由∠P＝90°，∠B＝45°，可得∠PDM＝∠D＝45°，利用解直角三角形可得PM＝ PD，设点P （t， t2﹣ t 6 ﹣），则D（t，t 6 ﹣），可得PD＝t 6 ﹣﹣（ t2﹣ t 6 ﹣）＝﹣ t2+ t＝﹣ （t 3 ﹣）2+ ，利用二次函数的性质即可求得答． 【解答】解：（1）设直线l 的解析式为y＝mx+（m≠0）， ∵直线l 与x 轴交于点（6，0），与y 轴交于点B（0，﹣6）， ∴ ， 解得： ， ∴直线l 的解析式为y＝x 6 ﹣； （2）设抛物线的解析式为y＝（x﹣）2+k（≠0）， ∵抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴y＝（x 1 ﹣）2+k， ∵抛物线经过点，B， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为y＝ （x 1 ﹣）2﹣ ； （3）∵（6，0），B（0，﹣6）， ∴＝B＝6， 在△B 中，∠B＝90°， ∴∠B＝∠B＝45°， ∵P⊥x 轴，PM⊥l， ∴∠P＝∠PD＝90°， 在Rt△D 中，∵∠P＝90°，∠B＝45°， ∴∠D＝45°， ∴∠PDM＝∠D＝45°， 在Rt△PMD 中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°， s45° ∴ ＝ ， ∴PM＝ PD， ∵y＝ （x 1 ﹣）2﹣ ＝ x2﹣ x 6 ﹣， ∴设点P（t， t2﹣ t 6 ﹣）， ∴D（t，t 6 ﹣）， ∴PD＝t 6 ﹣﹣（ t2﹣ t 6 ﹣）＝﹣ t2+ t＝﹣ （t 3 ﹣）2+ ， ∵﹣ ＜0， ∴当t＝3 时，PD 有最大值是 ，此时PM 最大， PM＝ PD＝ × ＝ ， 当t＝3 时， t2﹣ t 6 ﹣＝ ×9﹣ ×3 6 ﹣＝﹣ ， ∴P（3，﹣ ）， ∴PM 的最大值是 ，此时点P（3，﹣ ）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三角形等，本题难 度适中，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键． 题型二 二次函数与图形面积问题 解题模板： 技巧精讲：表示图形面积的方法 【例2】（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+过点（﹣1，0）、点B（5，0），交y 轴于点． （1）求b，的值． （2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．当x0取何值时，△PB 的面积最大？并求出△PB 面 积的最大值； 【分析】（1）由抛物线过点，B，可直接得出抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x 5 ﹣），展开即可得出 结论； （2）过点P 作PD⊥x 轴，交线段B 于点D，则S△PB＝ B•PD，根据二次函数的性质可得结论； （2）由题意可知PF⊥PE，若△PEF 是等腰直角三角形，则PE＝PF，分别表达PE 及PF，可求出x0的 值，进而求出点P 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+过点（﹣1，0）、点B（5，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x 5 ﹣）＝x2 4 ﹣x 5 ﹣， ∴b＝﹣4，＝﹣5； （2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2 4 ﹣x 5 ﹣， 令x＝0，则y＝﹣5； ∴（0，﹣5） ∴直线B 的表达式为：y＝x 5 ﹣，P（x0， ﹣4x0 5 ﹣）， 如图，过点P 作x 轴的垂线，交线段B 于点D， 则D（x0，x0 5 ﹣）， ∴S△PB＝ B•PD＝ ×5×（x0 5 ﹣﹣ +4x0+5） ＝﹣ + x0 ＝﹣ （x0 25 ﹣ ）2+ ， ∴当x0＝25 时，S 的值取最大，最大值为 ； 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等， 本题难度不大． 【变式2-1】（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 8 ﹣与x 轴交于（﹣4， 0）、B（2，0）两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接P、P，求△P 面积的最大值及此时点P 的坐标； 【分析】（1）运用待定系数法，将（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝x2+bx 8 ﹣，即可求得抛物线的函数 表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为y＝﹣2x 8 ﹣，设P（t，t2+2t 8 ﹣），过点P 作PF∥y 轴，交于 点F，则F（t，﹣2t 8 ﹣），进而可得S△P＝S△PF+S△PF＝2（﹣t2 4 ﹣t）＝﹣2（t+2）2+8，运用二次函数的 性质即可求得答； 【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2+bx 8 ﹣与x 轴交于（﹣4，0）、B（2，0）两点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x 8 ﹣， ∵y＝x2+2x 8 ﹣＝（x+1）2 9 ﹣， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）； （2）解：∵抛物线y＝x2+2x 8 ﹣与y 轴交于点， ∴（0，﹣8）， 设直线的解析式为y＝mx+，则 ， 解得： ， ∴直线的解析式为y＝﹣2x 8 ﹣， 设P（t，t2+2t 8 ﹣）， 过点P 作PF∥y 轴，交于点F，如图， 则F（t，﹣2t 8 ﹣）， ∴PF＝﹣2t 8 ﹣﹣（t2+2t 8 ﹣）＝﹣t2 4 ﹣t， ∴S△P＝S△PF+S△PF＝ PF•（t+4）+ PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2 4 ﹣t）＝﹣2（t+2）2+8， 2 ∵﹣＜0， ∴当t＝﹣2 时，S△P的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）； 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方 程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得′E＝ M，得出以M 为直径的⊙′一定经过点 E． 【变式2-2】（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线y＝x2+bx（≠0）经过点（3， 3），对称轴为直线x＝2． （1）求，b 的值； （2）已知点B，在抛物线上，点B 的横坐标为t，点的横坐标为t+1．过点B 作x 轴的垂线交直线于点 D，过点作x 轴的垂线交直线于点E． （）当0＜t＜2 时，求△BD 与△E 的面积之和； （）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，，D，E 为顶点的四边形的面积为 ？若存在，请 求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答； （2）由题意得B（t，﹣t2+4t），（t+1，﹣t2+2t+3），利用待定系数法可得的解析式为y＝x，则D （t，t），E（t+1，t+1）， （）设BD 与x 轴交于点M，过点作⊥E，则M（t，0），（t+1，3），利用S△BD+S△E＝ BD•M+ •E 即 可求得答； （）分两种情况：①当2＜t＜3 时，②当t＞3 时，分别画出图象，利用S 四边形DEB＝ （BD+E）•D， 建立方程求解即可得出答． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx（≠0）经过点（3，3），对称轴为直线x＝2， ∴ ， 解得： ； （2）由（1）得：y＝﹣x2+4x， ∴当x＝t 时，y＝﹣t2+4t， 当x＝t+1 时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3， ∴B（t，﹣t2+4t），（t+1，﹣t2+2t+3）， 设的解析式为y＝kx，将（3，3）代入，得：3＝3k， ∴k＝1， ∴的解析式为y＝x， ∴D（t，t），E（t+1，t+1）， （）设BD 与x 轴交于点M，过点作⊥E，如图， 则M（t，0），（t+1，3）， ∴S△BD+S△E＝ BD•M+ •E＝ （﹣t2+4t﹣t）•t+ （﹣t2+2t+3﹣t 1 ﹣）•（3﹣t 1 ﹣）＝ （﹣t3+3t2）+ （t3 3 ﹣t2+4）＝﹣ t3+ t2+ t3﹣ t2+2＝2； （）①当2＜t＜3 时，过点D 作D⊥E 于，如图， 则（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，E＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t 2 ﹣，D＝t+1﹣t＝1， ∴S 四边形DEB＝ （BD+E）•D， 即 ＝ （﹣t2+3t+t2﹣t 2 ﹣）×1， 解得：t＝ ； ②当t＞3 时，如图，过点D 作D⊥E 于， 则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2 3 ﹣t，E＝t2﹣t 2 ﹣， ∴S 四边形DBE＝ （BD+E）•D， 即 ＝ （t2 3 ﹣t+t2﹣t 2 ﹣）×1， 解得：t1＝ +1（舍去），t2＝﹣ +1（舍去）； 综上所述，t 的值为 ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的综合应用，四边形面积等， 其中（2）（）分类求解是解题的关键． 【变式2-3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图 象与 轴交于点 和点 ，与y 轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线 交于点D，若点M 是直线 上方抛物线上的一个 动点，求 面积的最大值． 【答】(1) ； (2) ； 【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果； （2）作 于 ，作 于 ，交 于 ，先求出抛物线的对称轴，进而求得 ， 坐标及 的长，从而得出过 的直线 与抛物线相切时， 的面积最大，根据 的 △ 求得 的值，进而求得 的坐标，进一步求得 上的高 的值，进一步得出结果； 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：如图1， 作 于 ，作 于 ，交 于 ， ， ， ， ， 抛物线的对称轴是直线： ， ， ， ， ， 故只需 的边 上的高最大时， 的面积最大， 设过点 与 平行的直线的解析式为： ， 当直线 与抛物线相切时， 的面积最大， 由 得， ， 由△ 得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称 的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 【变式2-4】（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点， 与 轴交于 点，其中 ， ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理 由； 【答】(1) (2) 或 或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据 ，可得 到 的距离等于 到 的距离，进而作出两条 的平行线，求得解 析式，联立抛物线即可求解； 【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得 解得： ∴抛物线解析式为 ； （2）∵ ， 顶点坐标为 ， 当 时， 解得： ∴ ，则 ∵ ，则 ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ∴ 到 的距离等于 到 的距离， ∵ ， ，设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 ， 如图所示，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ， 设 的解析式为 ，将点 代入得， 解得： ∴直线 的解析式为 ， 解得： 或 ∴ ， ∵ ∴ ∴ 是等腰直角三角形，且 ， 如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 的平行线 ，交 轴于点 ，则 ，则符 合题意的点 在直线 上， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ∴ 设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式为 联立 解得： 或 ∴ 或 综上所述， 或 或 ； 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型三 二次函数与图形判定问题 类型一 与特殊三角形相关 解题模板： 技巧精讲： 1：动点构成特殊三角形的作图方法 2 动点构成特殊三角形的分类讨论方法（情景同上） 【例3】（2023•随州节选）如图1，平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+过点（﹣1，0），B（2，0） 和（0，2），连接B，点P（m，）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P 作P⊥x 轴交直线B 于点M，交 x 轴于点． （1）直接写出抛物线和直线B 的解析式； （2）如图2，连接M，当△M 为等腰三角形时，求m 的值； 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为y＝（x+1）（x 2 ﹣），将点坐标代入求，进而得到抛物线的解 析式；设直线B 的解析式为y＝kx+t，将B、两点坐标代入求解即可得到直线B 的解析式． （2）由题可