第13讲 二次函数图象与性质（练习）（原卷版）

第13 讲 二次函数图象与性质 目 录 题型01 判断函数类型 题型02 已知二次函数的概念求参数值 题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式） 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式） 题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式） 题型06 根据二次函数解析式判断其性质 题型07 将二次函数的一般式化为顶点式 题型08 利用五点法绘二次函数图象 题型09 二次函数y=x2+bx+的图象和性质 题型10 二次函数平移变换问题 题型11 已知抛物线对称的两点求对称轴 题型12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 题型13 根据二次函数的性质求最值 题型14 根据二次函数的最值求字母的取值范围 题型15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 题型16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 题型17 根据二次函数图象判断式子符号 题型18 二次函数图象与各项系数符号 题型19 二次函数、一次函数综合 题型20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 题型21 抛物线与x 轴交点问题 题型22 求x 轴与抛物线的截线长 题型23 根据交点确定不等式的解集 题型24 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 题型01 判断函数类型 1．（2022·北京房山·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50m，把这个长方 体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16 元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ） ．正比例函数关系 B．一次函数关系 ．反比例函数关系 D．二次函数关系 2．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为 x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为Sm 2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y 与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） ．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 ．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 3．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在Rt △ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10．点P 是CB边 上一动点（不与，B 重合），过点P 作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP=x，BQ的长为y，△BPQ的面积 为S，则y与x，S 与x满足的函数关系分别为（ ） ．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 ．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 题型02 已知二次函数的概念求参数值 1．（2023·四川南充·统考一模）点P (a,9)在函数y=4 x 2−3的图象上，则代数式(2a+3) (2a−3)的值等于 ． 2．（2020·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）已知二次函数y=(m−1) x m 2−3的图象开口向下，则m 的 值为 ． 3．（2021·四川凉山·统考模拟预测）若y＝（m 1 ﹣）x|m|+1+8mx 8 ﹣是关于x 的二次函数，则其图象与x 轴 的交点坐标为 ． 题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式） 1．（2021·广东广州·统考中考真题）抛物线y=a x 2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y 轴交于点(0,−5)， 则当x=2时，y 的值为（ ） ．−5 B．−3 ．−1 D．5 2．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线y=a x 2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表： x -2 - 1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（ ） ．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=1 2 ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2,0) D．函数y=a x 2+bx+c的最大值为25 4 3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知函数y=−x 2+bx+c（b，为常数）的图象经过点（0，﹣3）， （﹣6，﹣3）． (1)求b，的值． (2)当﹣4≤x≤0 时，求y 的最大值． (3)当m≤x≤0 时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值． 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式） 1．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，−3)， 该图象与x 轴相交于点、B，与y 轴相交于点，其中点的横坐标为1． (1)求该二次函数的表达式； (2)求tan∠ABC． 2．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图象经过点(0,−1)，顶点坐标为(2,3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当0≤x ≤3时，y 的取值范围为 ； (3)直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点(0,−4 )，且与x 轴只有一个公共点． 题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式） 1．（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=a x 2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)，当 x=2时，y 的值为 ． 2．（2022·山东威海·统考一模）如图1，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+与x 轴分别相交于、B 两点，与y 轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值： x … ﹣ 1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 则这条抛物线的解析式为 ． 题型06 根据二次函数解析式判断其性质 1．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x 2+2 x−8，下列说法正确的是（ ） ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B．图象与y 轴的交点坐标为(0，−9) ．图象与x 轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0) D．y 的最小值为−9 2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数y=−1 2 x 2+2 x+1的性质，下列叙述正确的是 （ ） ．当x>0时，y 随x 增大而减小 B．抛物线与直线y=x+2有两个交点 ．当x=2时，y 有最小值3 D．与抛物线y=−1 2 x 2形状相同 3．（2023·广东深圳·校考三模）关于二次函数y=−2( x−1) 2+6，下列说法正确的是（ ） ．图象的对称轴是直线x =−1 B．图象与x 轴没有交点 ．当x=1时，y 取得最小值，且最小值为6 D．当x>2时，y 的值随x 值的增大而减小 题型07 将二次函数的一般式化为顶点式 1．（2023·浙江·模拟预测）要得到y=−2 x 2−12 x−19图象，只需把抛物线y=−2 x 2−4 x−1图象如何 变换得到（ ） ．向左平移2 个单位、向上平移2 个单位 B．向左平移2 个单位、向下平移2 个单位 ．向右平移2 个单位、向上平移2 个单位 D．向右平移2 个单位、向下平移2 个单位 2．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y=a x 2+bx−2（、b 是常数，a≠0）向下平移2 个单位长度后， 得到的新抛物线恰好和抛物线y=1 2 x 2+x−4关于y 轴对称，则、b 的值为（ ） ．a=−1，b=−2 B．a=−1 2 ，b=−1 ．a=1 2，b=−1 D．a=1，b=2 3．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2−2mx+m 2+2m+1的顶点一定不在（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 题型08 利用五点法绘二次函数图象 1．（2022·安徽合肥·统考二模）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图形研 究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y=a x 3+ 3 4 x 2(a≠0)的性质时，列表和描点的部分过程， 请按要求完成下列各小题． x … −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 … y … 0 25 8 m 27 8 5 8 0 7 8 … (1)表格中m=______，=______，并在给出的坐标系中用平滑的曲线画出该函数的大致图象； (2)结合图象，直接写出1 2 x+3≤a x 3+ 3 4 x 2的解集为：______． 2．（2022·广东深圳·统考二模）小明为了探究函数M：y=−x 2+4∨x∨−3的性质，他想先画出它的图象， 然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题． (1)完成函数图象的作图，并完成填空． ①列出y 与x 的几组对应值如下表： x … - 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … - 8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 -8 … 表格中，=_______； ②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xy 中，画出当x>0 时函数M 的图象； ③观察图象，当x=______时，y 有最大值为_______； (2)求函数M：y=−x 2+4∨x∨−3与直线l：y=2 x−3的交点坐标； (3)已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M 的图象上，当y1< y2时，请直接写出m 的取值范围． 题型09 二次函数y=x2+bx+的图象和性质 1．（2021·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线y=a x 2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0，下列 四个结论： ①若抛物线经过点(−3,0)，则b=2a； ②若b=c，则方程c x 2+bx+a=0一定有根x=−2； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④点A (x1, y1)，B (x2, y2)在抛物线上，若0<a<c，则当x1<x2<1时，y1> y2． 其中正确的是 （填写序号）． 2．（2021·湖北武汉·统考二模）抛物线y＝x2+bx+（，b，是常数，＜0）经过（0，3），B（4，3）． 下列四个结论： 4+ ① b＝0； ②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1 2| | ﹣﹣x2 2| ﹣＞0 时，y1＞y2； ③若抛物线与x 轴交于不同两点，D，且D≤6，则≤−3 5； ④若3≤x≤4，对应的y 的整数值有3 个，则﹣1＜≤−2 3． 其中正确的结论是 （填写序号）． 3．（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为y=x 2−(m+2)x+m+1（m 为常数），则下列说 法正确的是 ． ①当m=2时，点(2,1)在抛物线上； ②对于任意的实数m，x=1都是方程x 2−(m+2)x+m+1=0的一个根； ③若m>0，当x>1时，y 随x 的增大而增大； ④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点． 4．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数y=a x 2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的y与x的部分对应 值如下表： x −5 −4 −2 0 2 y 6 0 −6 −4 6 下列结论： ①a>0； ②当x=−2时，函数最小值为−6； ③若点(−8, y1)，点(8, y2)在二次函数图象上，则y1< y2； ④方程a x 2+bx+c=−5有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 题型10 二次函数平移变换问题 1．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x 2+kx−k 2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右 平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ） ．−5或2 B．−5 ．2 D．−2 2．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线L1: y =a x 2+bx +c (a≠0)与x轴只有一个公共点 （1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2， 则图中两个阴影部分的面积和为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 3．（2021·山西·统考中考真题）抛物线的函数表达式为y=3 (x−2) 2+1，若将x轴向上平移2 个单位长度， 将y轴向左平移3 个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） ．y=3 (x+1) 2+3 B．y=3 (x−5) 2+3 ．y=3 (x−5) 2−1 D．y=3 (x+1) 2−1 4．（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线y=−x 2平移得到抛物线，如图所示，且抛 物线经过点A (−1,0)和B (0,3)，点P 是抛物线上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q，则 OQ+PQ的最大值为 ． 5．（2022·安徽宣城·统考二模）将二次函数y=−x 2−4 x+1的图象先向右平移个单位再向下平移2 个单位． （1）若平移后的二次函数图象经过点(1,−1)，则＝ ． （2）平移后的二次函数图象与y 轴交点的纵坐标最大值为 ． 题型11 已知抛物线对称的两点求对称轴 1．（2022·广东中山·校联考三模）已知抛物线y1=a x 2+bx+c (a≠0)与x 轴的两个交点的横坐标分别是－3 和1，若抛物线y2=a x 2+bx+c+m (m>0)与x 轴有两个交点，B，点的坐标是(4,0)，则点B 的坐标是 ． 2．（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像y=x 2+bx+c与x 轴的两个交点坐标为(−1,0)和(3,0)，则b=¿ ． 3．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）若抛物线y ＝x 2+bx+c与x 轴只有一个交点，且过点A (m,n)， B (m−4 ,n)，则的值为 ． 4．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）在二次函数y=x 2+4 x+k的图像上有点 (−5, y1),(−3, y2),(2, y3)．则y1, y2, y3的大小关系是（ ） ．y1< y2< y3 B．y1< y3< y2 ．y3< y1< y2 D．y2< y1< y3 5．（2021·湖南益阳·统考中考真题）已知y 是x 的二次函数，下表给出了y 与x 的几对对应值： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 1 1 3 2 3 6 11 … 由此判断，表中a=¿ ． 6．（2023·上海·一模）二次函数y=a x 2+bx+c图像上部分点的坐标满足如表： x … −4 −3 −2 −1 0 … y … m −3 −2 −3 −6 … 那么m 的值为 ． 题型12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 1．（2023·浙江杭州·一模）点A (x1, y1)，B (x2, y2)在抛物线y=a x 2−2ax−3 (a≠0)上，存在正数m，使 得−2<x1<0且m<x2<m+1时，都有y1≠y2，则m的取值范围是（ ） ．1<m≤4 B．2<m≤4 ．0<m≤1或m≥4 D．1<m≤2或m≥4 2．（2023·浙江·统考一模）已知二次函数y=x 2−4 x+2，关于该函数在a≤x ≤3的取值范围内有最大值 −1，可能为（ ） ．−2 B．−1 ．0.5 D．1.5 题型13 根据二次函数的性质求最值 1．（2022·安徽滁州·统考二模）已知实数x，y满足x+ y=12，则xy−2的最大值为（ ） ．10 B．22 ．34 D．142 2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数y= 1 4 x 2−6 x+a+27，下列说法错误的是（ ） ．若将图象向上平移10 个单位，再向左平移2 个单位后过点(4,5)，则a=−5 B．当x=12时，y 有最小值a−9 ．x=2对应的函数值比最小值大7 D．当a<0时，图象与x 轴有两个不同的交点 3．（2020·浙江舟山·统考中考真题）已知二次函数y=x 2，当a≤x ≤b时m≤y ≤n，则下列说法正确的是( ) ．当n−m=1时，b−a有最小值 B．当n−m=1时，b−a有最大值 ．当b−a=1时，n−m无最小值 D．当b−a=1时，n−m有最大值 4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）点P(m，)在以y 轴为对称轴的二次函数y＝x2+x+4 的图象上．则m﹣ 的最大值等于（ ） ．15 4 B．4 ．﹣15 4 D．﹣17 4 题型14 根据二次函数的最值求字母的取值范围 1．（2021·山东济南·统考一模）函数y=−x 2+4 x−3，当0≤x ≤m时，此函数的最小值为−3，最大值为 1，则m 的取值范围是（ ） ．0≤m<2 B．0≤m≤4 ．2≤m≤4 D．m>4 2．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）已知二次函数y=−x 2+2mx−m 2+3，当 2m−1<x ≤2m时，函数的最大值为y=3，则m 的取值范围是 ． 3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x 2−4 x+3，图象的对称轴为 ，当自变量x 满足a≤x ≤3时，函数值y 的取值范围为−1≤y ≤0，则的取值范围为 ． 题型15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知实数m，n满足等式m 2−2m+4 n−27=0．若0<m<3，则的取 值范围是（ ） ．n≤7 B．6<n< 27 4 ．6<n≤7 D．27 4 <n≤7 2．（2022·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=−2 x 2+4 x+3，当−1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ） ．y ≤5 B．y ≤3 ．−3≤y ≤3 D．−3≤y ≤5 3．（2022 上·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x 2−2 x+1，当−5≤x ≤3时，y 的取值范 围是 ． 题型16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 1．（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线y=−x 2−4 mx+m 2−1，A (−2m−4 , y1)，B (m+3, y2)为该 抛物线上的两点，若y1< y2，则m的取值范围（ ） ．m←7 3 B．m> 1 3 ．m←7 3 或m> 1 3 D．−7 3 <m< 1 3 2．（2022·湖南株洲·统考二模）当函数y=( x−1) 2−2的函数值y 随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ． 3．（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线y=(m−2) x 2有最高点，那么m的取值范围是 ． 题型17 根据二次函数图象判断式子符号 1．（2020·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=a x 2