压轴题02 反比例函数的综合问题（3题型+解题模板+技巧精讲）（原卷版）

压轴题解题模板02 反比例函数的综合问题 目 录 题型一 反比例函数与一次函数交点问题 题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题 题型三 反比例函数与几何图形结合 题型解读： 反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填 空题的形式出现，解答题考查居多此类题型多是反比例 函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解 不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三 角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化 归等数学思想 此类题型常涉及以下问题：①求反比例 函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数 图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函 数与几何图形综合下图为反比例函数综合问题中各题型 的考查热度 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题 型的考查热度 题型1 题型2 题型3 Series1 0.5 0.5 0.5 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 题型一 反比例函数与一次函数交点问题 解题模板： 技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集： 【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，点 和 是一次函数 的图象与反 比例函数 的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当 为何值时， ？ 【变式1-1】（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数 与反比例函数 相交 于点和点 ． (1)求m 的值和反比例函数解析式； (2)当 时，求x 的取值范围． 【变式1-2】（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线 为常数与双曲线 （ 为常 数）相交于 ， 两点． (1)求直线 的解析式； (2)在双曲线 上任取两点 和 ，若 ，试确定 和 的大小关系，并写出判断 过程； (3)请直接写出关于 的不等式 的解集． 题型二 反比例函数与一次函数图像面积问题 解题模板： 【例2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比 例函数 交于 ， 两点，与y 轴交于点，连接 ， ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求 的面积； (3)请根据图象直接写出不等式 的解集． 【变式2-1】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，一次函数 与函数为 的 图象交于 两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足 时x 的取值范围； (3)点P 在线段 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M，交函数 的图象于点Q，若 面积为3，求 点P 的坐标． 【变式2-2】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象 交于点 ，与x 轴交于点B， 与y 轴交于点 ． (1)求m 的值和一次函数的表达式； (2)已知P 为反比例函数 图象上的一点， ，求点P 的坐标． 【变式2-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于、B 两点，的横坐标为 ，B 的纵坐标为 ． (1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式 的解集． (3)将直线 向上平移个单位，交双曲线于、D 两点，交坐标轴于点E、F，连接 、 ，若 的 面积为20，求直线 的表达式． 【变式2-4】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ，B 两点，与x 轴交于点，将直线 沿y 轴向上平移3 个单位长度后与反 比例函数图象交于点D，E． (1)求k，m 的值及点坐标； (2)连接 ， ，求 的面积． 题型三 反比例函数与几何图形结合 解题模板： 【例3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 ， 轴分 别相交于点，B，与反比例函数 的图象相交于点，已知 ，点的横坐标为2． (1)求 ， 的值； (2)平行于 轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，为顶点的四边形为平行 四边形，求点D 的坐标． 【变式3-1】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数 （ 为常数， ）的图象与反 比例函数 为常数， 的图象在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)点 在 轴上， 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标． 【变式3-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴交于 点 ，与y 轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点 ． (1)求反比例函数的表达式： (2)当 时，直接写出x 的取值范围； (3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与y 轴交 于点，与反比例函数 的图象的一个交点为 ，过点B 作B 的垂线l． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在直线l 上，且 的面积为5，求点的坐标； (3)P 是直线l 上一点，连接P，以P 为位似中心画 ，使它与 位似，相似比为m．若点D，E 恰 好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值． 一、解答题 1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ，B 两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点为x 轴正半轴上一点，且满足 ，求点的坐标． 2．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交 于 两点． (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式 的解集； (3)设直线 与x 轴交于点，若 为y 轴上的一动点，连接 ，当 的面积为 时，求点P 的坐标． 3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 ， 两点．（ ， ， 为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式 的解集； (3) 为 轴上一点，若 的面积为，求 点的坐标． 4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，等腰直角三角形 的直角顶点 ，顶点、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式； (2)在x 轴上是否存在一点P，使 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 5．（2023·山东·统考中考真题）如图，正比例函数 和反比例函数 的图像交于点 ． (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线 向上平移3 个单位后，与 轴交于点 ，与 的图像交于点 ，连接 ，求 的面积． 6．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，点在反比例函数 的图象上， 轴于点B， ， ． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在这个反比例函数图象上，连接 并延长交x 轴于点D，且 ，求点的坐标． 7．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，点在反比例函数 的图象上，点是点关于y 轴的对称 点， 的面积是8． (1)求反比例函数的解析式； (2)当点的横坐标为2 时，过点的直线 与反比例函数的图象相交于点P，求交点P 的坐标． 8．（2023·西藏·统考中考真题）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，B 两点，且点 的坐标为 ，点B 的坐标为 ． (1)求 的值和反比例函数的解析式； (2)点关于原点的对称点为 ，在x 轴上找一点P，使 最小，求出点 的坐标． 9．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线 与双曲线 相交于点 ， ． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线 向下平移至 处，其中点 ，点 在 轴上．连接 ， ，求 的面积； (3)请直接写出关于 的不等式 的解集． 10．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于， 两点，点在x 轴负半轴上， ． (1) ______， ______，点的坐标为______． (2)点P 在x 轴上，若以B，，P 为顶点的三角形与 相似，求点P 的坐标．