第13讲 二次函数图象与性质（讲义）（原卷版）

第13 讲 二次函数的图象与性质 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 二次函数的相关概念 题型01 判断函数类型 题型02 判断二次函数 题型03 已知二次函数的概念求参数值 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 类型二 顶点式 类型三 交点式 考点二 二次函数的图象与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 题型03 二次函数y=x2+bx+的图象和性质 题型04 利用五点法绘二次函数图象 题型05 二次函数平移变换问题 题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 题型08 根据二次函数的性质求最值 题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围 题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 题型01 根据二次函数图象判断式子符号 题型02 二次函数图象与各项系数符号 题型03 二次函数、一次函数综合 题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 题型05 两个二次函数图象综合 考点四 二次函数与方程、不等式 题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 题型03 抛物线与x 轴交点问题 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 题型06 求x 轴与抛物线的截线长 题型07 图象法解一元二次不等式 题型08 根据交点确定不等式的解集 题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的相关 概念  通过对实际问题的分析，体会二次函数 的意义 二次函数作为初中三大函数中考点最多， 出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中 考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分 值为15-20 分，预计2024 年各地中考还会考而 对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中 在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方 程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几 大方面题型变化较多，考生复习时需要熟练掌 握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点 的复习 二次函数的图象 与性质  能画二次函数的图象，通过图象了解二 次函数的性质，知道二次函数系数与图 象形状和对称轴的关系  会求二次函数的最大值或最小值，并能 确定相应自变量的值，能解决相应的实 际问题 二次函数与各项 系数的关系  理解二次函数与各项系数的关系 二次函数与方 程、不等式  知道二次函数和一元二次方程之间的关 系，会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似解 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=x²+bx+ (其中、b、是常数，≠0)的函数叫做二次函数其中，x 是自变 量，、b、分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数≠0，而b，可以为零 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=x²+bx+ (≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用 一般式求其表达式 顶点式 y＝(x–)²＋k（，，k 为常数， ≠0），顶点坐标是（，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常 用顶点式求其表达式 交点式 y＝（x–x1）（x–x2） (≠0) 其中x1，x2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，若 题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式 求其表达式 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法 题型01 判断函数类型 【例1】（2022·北京·统考一模）线段AB=5．动点以每秒1 个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动 至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周 长为y，⊙B的面积为S，则y 与t，S 与t 满足的函数关系分别是（ ） 二次函数的特殊形式：1)当b＝0 时， y＝x²＋（≠0） 2)当＝0 时， y＝x²＋bx （≠0） 3)当b＝0，＝0 时， y＝x²（≠0） ．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 ．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【变式1-1】（2021 上·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中， ∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、分别从、两点同时出发，点M 从点开始沿边向点以每秒1 个 单位长的速度移动，点从点开始沿B 向点B 以每秒2 个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、之间 的距离为y，△MCN的面积为S，则y 与t，S 与t 满足的函数关系分别是（ ） ．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 ．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【变式1-2】（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC． 计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，使点P，M，分别在边AC ，BC ，AB上．记 PM=x m，PN= y m，图中阴影部分的面积为S m 2．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而 变化，则y 与x，S 与x 满足的函数关系分别是（ ） ．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 ．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 题型02 判断二次函数 【例2】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ） ．y=a x 2+bx+c B．y=(2 x−1) 2−4 x 2 ． y= a x 2 + b x +c (a≠0) D．y=(x−1) (x−2) 【变式2-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ） ．y=x+ 1 3 B．y=a x 2+bx+c ．y=3 (x−1) 2 D．y=3 x 【变式2-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x 的函数y=(a−b) x 2+1是二次函数的条件是（ ） ．a≠b B．a=b ．b=0 D．a=0 题型03 已知二次函数的概念求参数值 【例3】（2022·山东济南·模拟预测）若y=(m 2+m) x m 2−m是二次函数，则m的值等于（ ） ．−1 B．0 ．2 D．−1或2 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 【例4】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数¿a x 2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y 的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ） x −1 0 1 3 y −1 3 5 3 ①ac<0 ②当x>1时，y的值随x值的增大而减小； ③4 是方程a x 2+(b−2) x+c+9=0的一个根； ④当−1<x<3时，a x 2+(b−1) x+c>0 ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式4-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数y=a x 2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y的部分对应值如下表： x … −2 −1 0 1 2 … y=a x 2+bx+c … 1 m −2 −2 n … 且当x=−1 2 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②−2和3是关于x的方程 ax ²+bx+c=1的两个根，③0<m+n< 20 3 ．其中，正确结论的个数是（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【变式4-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程x 2+bx+c=0的两根为−1和5，则对于二次函数 y=x 2+bx+c，下列叙述正确的是（ ） 判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、 合并同类项)后，能写成y=x²+bx+(≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数 ．当x=2时，函数的最大值是9． B．当x=−2时，函数的最大值是9． ．当x=2时，函数的最小值是−9． D．当x=−2时，函数的最小值是−9． 类型二 顶点式 【例5】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）一个二次函数的图象与抛物线y=3 x 2的形状相同，且 顶点为(1，4 )，那么这个函数的关系式是 ． 【变式5-1】（2022 上·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数y＝x2＋bx＋的图像的顶点坐标为（1， m），与y 轴的交点为（0，m－2），则的值为 ． 类型三 交点式 【例6】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=a x 2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)， 当x=2时，y 的值为 ． 【变式6-1】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）已知抛物线y=a x 2+bx+c (a<0)与x轴交于点A (−1,0)和 B (3,0)，与y 轴交于点，且OC=3． （1）抛物线的顶点坐标为 ． （2）点M，是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值s (1≤s≤2)，设为点M，的纵坐标 之和的最大值，则的最大值为 ． 考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴， 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 基本形式 y=x2 y=x2+k y=(x-)2 y=(x-)2+k y=x2+bx+ 求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=x2+bx+代入三个点的坐标列出关于, b, 的方程组，并求出, b, ，就可以写出二次函数的 解析式 2）顶点式y=(x-)2+k 根据顶坐标点（,k)，可设顶点式y=(x-)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出的 值，从而写出二次函数的解析式 3）交点式y=(x-x1)(x-x2)当抛物线与x 轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=(x-x1)(x-x2)，再将 另一点的坐标代入即可求出的值，从而写出二次函数的解析式 图 象 >0 x y O x y k>0 O x y h<0 h>0 O x y h<0,k<0 h>0,k>0 O x y O <0 x y O x y k<0 O x y h>0 h<0 O x y h>0,k<0 h<0,k>0 O x y O 对称轴 y 轴 y 轴 x= x= x=−b 2a 顶点坐标 (0，0) (0，k) (，0) (，k) (−b 2a ，4 ac−b 2 4 a ) 最 值 >0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； <0 开口向下，顶点是最高点，此时y 有最大值 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k 或4 ac−b 2 4 a ） 增 减 性 >0 在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大 <0 在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（＞0) 一般式y=x2+bx+ 顶点式y＝(x–) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=(x+)2+b(x+)+ y=(x-+) 2+k 左加 向右平移个单位 y=(x-)2+b(x-)+ y=(x--)2+k 右减 向上平移个单位 y=x2+bx++ y=(x-)2+k+ 上加 向下平移个单位 y=x2+bx+- y=(x-)2+k- 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=(x-)²+k 绕顶点旋转180° y= -(x-)²+k 变号，、k 均不变 绕原点旋转180° y= -(x+)²-k 、、k 均变号 沿x 轴翻折 y= -(x-)²-k 、k 变号，不变 沿y 轴翻折 y= (x+)²+k 、不变，变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对 称轴可表示为直线x= x1+x2 2 解题技巧： 1 抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b 2a 的差的绝对值相等； 2 若二次函数与x 轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b 2a 对称； 3 二次函数y=x2+bx+与y=x2-bx+的图象关于y 轴对称；二次函数y=x2+bx+与y=-x2-bx-的图象于x 轴对 称 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 >0 x y O 当x=−b 2a 时，二次函数 取得最小值4 ac−b 2 4 a <0 当x=−b 2a 时，二次函数 取得最大值4 ac−b 2 4 a x y O x1≤x≤x2 >0 x y x1 O x2 y2 当x=x2 时，二次函数取 得最大值y2 当x=−b 2a 时，二次函数 取得最小值4 ac−b 2 4 a x y x2 x1 y1 y2 当x=x1 时，二次函数取 得最大值y1 当x=−b 2a 时，二次函数 取得最小值4 ac−b 2 4 a x y O x2 x1 y1 y2 当x=x2 时，二次函数取 得最大值y2 当x=x1 时，二次函数取 得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2 时，且二次项系数<0 的最值情况请自行推导 x x x y y y O O O x2 x2 x1 y1 y2 y2 x2 x1 y1 y2 y1 x1 1 抛物线的增减性问题，由的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y 随x 的增大而增大(或减小) 是 不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围 2 抛物线在平移的过程中，的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关 3 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=(x-)2+k 的形式，因为二次函数平移遵循“上 加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【例1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x 2+2 x−8，下列说法正确的 是（ ） ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B．图象与y 轴的交点坐标为(0，−9) ．图象与x 轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0) D．y 的最小值为−9 【变式1-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）若A (−6, y1)，B (−3, y2)，C (1, y3)为二次函数y=x 2−m 图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） ．y3< y2< y1 B．y2< y3< y1 ．y3< y1< y2 D．y2< y1< y3 【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）下列关于抛物线y=x 2+4 x−5的说法正确的是（ ） ①开口方向向上；②对称轴是直线x=−4；③当x←2时，y随x的增大而减小；④当x←5或x>1时，y>0． ．①③ B．①④ ．①③④ D．①②③④ 【变式1-3】（2022·湖北武汉·校考三模）抛物线y=a (x−h) 2+k（、、k 是常数，a<0，0<h< 1 2）过点 A (−1,0)．下列四个结论：①k<0；②该抛物线经过点(2h+1,0)；③一元二次方程a (x−h) 2+k=0的一个 根在1 和2 之间；④点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)在抛物线上，当实数−1<x1<2<x2时，y1> y2．其中正确的 结论是 （填写序号）． 【变式1-4】（2023·江苏南京·校考三模）已知整式M=a 2−2a，下列关于整式M的值的结论： ①M的值可能为4； ②当a>1时，M的值随a的增大而增大； ③当a为小于0的实数时，M的值大于0； ④不存在这样的实数a，使得M的值小于−1． 其中所有正确结论的序号是（ ） ．①③ B．①②④ ．②③④ D．①②③④ 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 【例2】（2022·广东湛江·统考一模）将二次函数y=x 2+4 x−7化为y=a (x+h) 2+k的形式，正确的是（ ） ．y=(x+4 ) 2−7 B．y=(x+2) 2−11 ．y=(x+2) 2−7 D．y=(x+2) 2−15 【变式2-1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数 y=−x 2+2 x+2的最值，说法正确的是（ ） ．最小值为 1 B．最小值为 2 ．最大值为 3 D．最大值为−1 【变式2-2】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x 2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2 x+4的图象 上，则b 的最小值为 ． 【变式2-3】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x 2+4 x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值 范围是 ． 【变式2-4】（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数y =−x 2+4 x−3． (1)用配方法将函数y =−x 2+4 x−3的解析式化为y=a (x+m) 2+k的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶 点坐标； (2)设该函数的图像与x轴交于点A、B，点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点记作D，求四边形ADBC 的面积． 题型03 二次函数y=x2+bx+的图象和性质 【例3】（2022·福建龙岩·统考模拟预测）若二次函数y=a 2 x 2+bx−c的图象过不同的六点A (−1,n)， B (5,n−1)，C (6,n+1)，D (4 , y1)，E ( ❑ √2, y2)，F (2, y3)，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） ．y2< y1< y3 B．y3< y2< y1 ．y1< y2< y3 D．y1< y3< y2 【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）已知a、b(0<a<b)为抛物线y=( x−c)( x−c−d )−2与x 轴交点的 横坐标，则¿a−c∨+