压轴题01 二次函数图象性质与几何问题（3题型+2类型+解题模板+技巧精讲）（原卷版）

压轴题解题模板01 二次函数图象性质与几何问题 目 录 题型一 二次函数与最值问题： 题型二 二次函数与图形面积问题 题型三 二次函数与图形判定问题 类型1：与特殊三角形相关 类型2：与特殊四边形相关 二次函数图象性质与几何问题在中考中常常作为 压轴题出现，多考查二次函数与几何图形的综合，一 般要用到线段最值、图形面积、特殊三角形、特殊四 边形、相似三角形等相关知识，以及转化与化归、数 形结合、分类讨论等数学思想此类题型常涉及以下问 题：①求抛物线、直线的解析式；②求点的坐标、线 段长度、图形面积；③探究几何图形的存在性问题或 周长、面积的最值问题 下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型 的考查热度 题型1 题型2 题型3 0% 20% 40% 60% 80% 100% 考试热度 题型一 二次函数与最值问题 解题模板： 【例1】（2023•枣庄节选）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+经过（﹣1，0），（0，3）两点，并交x 轴于另一 点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与y 轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求M+D 的最小值； 【变式1-1】（2023•内蒙古节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x 轴的交点分别为 和B（1，0）（点在点B 的左侧），与y 轴交于点（0，3），点P 是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点P 做x 轴平行线交于点E，过点P 做y 轴平行线交x 轴于点D，求PE+PD 的最大值及 点P 的坐标； 【变式1-2】（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交于点（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点（0，3），点P 是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P 在直线上方的抛物线上时，连接BP 交于点D，如图1，当 的值最大时，求点P 的坐标 及 的最大值； 【变式1-3】（2023•西宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点（6，0），与y 轴交于点B （0，﹣6），抛物线经过点，B，且对称轴是直线x＝1． （1）求直线l 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作P⊥x 轴，垂足为，交直线1 于点D，过点P 作 PM⊥l，垂足为M．求PM 的最大值及此时P 点的坐标． 题型二 二次函数与图形面积问题 解题模板： 技巧精讲：表示图形面积的方法 【例2】（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+过点（﹣1，0）、点B（5，0），交y 轴于点． （1）求b，的值． （2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．当x0取何值时，△PB 的面积最大？并求出△PB 面 积的最大值； 【变式2-1】（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx 8 ﹣与x 轴交于（﹣4， 0）、B（2，0）两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接P、P，求△P 面积的最大值及此时点P 的坐标； 【变式2-2】（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线y＝x2+bx（≠0）经过点（3， 3），对称轴为直线x＝2． （1）求，b 的值； （2）已知点B，在抛物线上，点B 的横坐标为t，点的横坐标为t+1．过点B 作x 轴的垂线交直线于点 D，过点作x 轴的垂线交直线于点E． （）当0＜t＜2 时，求△BD 与△E 的面积之和； （）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，，D，E 为顶点的四边形的面积为 ？若存在，请 求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图 象与 轴交于点 和点 ，与y 轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线 交于点D，若点M 是直线 上方抛物线上的一个 动点，求 面积的最大值． 【变式2-4】（2023·湖南·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点， 与 轴交于 点，其中 ， ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理 由； 题型三 二次函数与图形判定问题 类型一 与特殊三角形相关 解题模板： 技巧精讲： 1：动点构成特殊三角形的作图方法 2 动点构成特殊三角形的分类讨论方法（情景同上） 【例3】（2023•随州节选）如图1，平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+过点（﹣1，0），B（2，0） 和（0，2），连接B，点P（m，）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P 作P⊥x 轴交直线B 于点M，交 x 轴于点． （1）直接写出抛物线和直线B 的解析式； （2）如图2，连接M，当△M 为等腰三角形时，求m 的值； 【变式3-1】（2023•恩施州节选）在平面直角坐标系xy 中，为坐标原点，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+与y 轴交于点，抛物线的对称轴与x 轴交于点B． （1）如图，若（0， ），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥ 时x 的取 值范围； （2）在（1）的条件下，若P 为y 轴上的点，为x 轴上方抛物线上的点，当△PB 为等边三角形时，求点 P，的坐标； 【变式3-2】（2023•益阳）在平面直角坐标系xy 中，直线l：y＝（x+2）（＞0）与x 轴交于点，与抛物线 E：y＝x2交于B，两点（B 在的左边）． （1）求点的坐标； （2）如图1，若B 点关于x 轴的对称点为B′点，当以点，B′，为顶点的三角形是直角三角形时，求实数 的值； 类型二 与特殊四边形相关 技巧精讲： 1 动点构成特殊四边形的作图方法 2 动点构成特殊四边形的分类讨论方法（情境同上） 【例4】（2023•自贡）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+4 与x 轴交于（﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线解析式及B，两点坐标； （2）以，B，，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 坐标； 【变式4-1】（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+（≠0）经过点（﹣1，0）和B（0， 3），其顶点的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线x＝m 与x 轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点M，当m 取何值时，使得+M 有最大值， 并求出最大值． （3）若点P 为抛物线y＝x2+bx+（≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1 个单位长度后，Q 为平 移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与、P、Q 构成平行四边形？若能构成，求 出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由． 【变式4-2】（2023•锦州）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+交x 轴于点（﹣1，0）和B，交y 轴于点（0，3 ），顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）若点E 在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形DEB 的面积为7 ，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否 存在点G，使以点E，F，G，为顶点的四边形是菱形，且∠EFG＝60°，如果存在，请直接写出点G 的 坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式4-3】（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点（4，0）的直线B 与y 轴交于点B （0，4）．经过原点的抛物线y＝﹣x2+bx+交直线B 于点，，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+的表达式； （2）M 是线段B 上一点，是抛物线上一点，当M∥y 轴且M＝2 时，求点M 的坐标； （3）P 是抛物线上一动点，Q 是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，P，Q 为顶点的四边形是矩 形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 一、解答题 1．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，抛物线y=a x 2+ 8 3 x+c与x 轴交于点和点B (3.0)，与y 轴交于点 C (0,4 )，点P 为第一象限内抛物线上的动点过点P 作PE⊥x轴于点E，交BC于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当△BEF的周长是线段PF长度的2 倍时，求点P 的坐标； (3)当点P 运动到抛物线顶点时，点Q 是y 轴上的动点，连接BQ，过点B 作直线l⊥BQ，连接QF并延长 交直线l于点M．当BQ=BM时，请直接写出点的坐标． 2．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a x 2+bx+c的图象 与x 轴交于点A (−2,0)和点B (6,0)两点，与y 轴交于点C (0,6)．点D 为线段BC上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求△AOD周长的最小值； (3)如图2，过动点D 作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA , PB，记△PAD与△PBD的面积 和为S，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值． 3．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于A (1,0)和B (−5,0)两点，与y轴交于点C． 直线y=−3 x+3过抛物线的顶点P． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线x=m (−5<m<0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F． ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标． 4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 1 4 x 2+bx+c与x轴交于点A，B， 与y轴交于点C，其中B (3,0)，C (0,−3)． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F， Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标， 并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 5．（山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=a x 2+bx−3(a≠0)与x 轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)， 与y 轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q 的坐标； (3)点P 是抛物线对称轴上的一点，点M 是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直 角三角形时，请直接写出所有点M 的坐标． 6．（西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋与x 轴交于，B 两点．与y 轴交于 点．且点的坐标为（﹣1，0），点的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线B 的距离最大时，求点P 的坐 标； （3）图（乙）中，若点M 是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B，，M， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象交x 轴于点A (−3,0)，B (1,0)，交y 轴于 点．点P (m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点P 仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值； ②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q，使以M，，，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请 直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．