第10讲 一次函数的图象与性质（讲义）（解析版）

第10 讲 一次函数的图象与性质 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 一次函数的相关概念 题型01 根据一次函数的定义求参数值 题型02 求一次函数的自变量或函数值 考点二 一次函数的图象与性质 题型01 判断一次函数图象 题型02 根据一次函数图象解析式判断 象限 题型03 已知函数经过的象限求参数的 值或取值范围 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 题型05 判断一次函数增减性 题型06 根据一次函数增减性判断参数 取值范围 题型07 根据一次函数增减性判断自变 量的变化情况 题型08 一次函数的平移问题 题型09 求一次函数解析式 题型10 一次函数的规律探究问题 题型11 一次函数的新定义问题 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方 程的解 题型02 由一元一次方程的解判断直线 与x 轴交点 题型03 利用图象法解一元一次方程 题型04 两直线的交点与二元一次方程 组的解 题型05 图象法解二元一次方程组 题型06 求两直线与坐标轴围成的图形 面积 题型07 由直线与坐标轴交点求不等式 的解集 题型08 根据两条直线交点求不等式的 解集 考点要求 新课标要求 命题预测 一次函数的 相关概念  结合具体情境体会一次函数的意义，能 根据已知条件确定一次函数的表达式； 一次函数的图象与性质是中考数学中比 较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多 的考点各地对一次函数的图象与性质的考察 也主要集中在一次函数表达式与平移、图象 的性质、图象与方程不等式的关系以及一次 函数图象与几何图形面积等五个方面，年年 考查，总分值为5-10 分左右，也因为一次函 数是一个结合型比较强的知识点，所以其图 象和性质也是后续函数问题学习的一个基础 故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记 对应考点的方法规律 一次函数的 图象与性质  解正比例函数；  能画一次函数的图象，根据图象和表达 式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0 和k＜0 时图象的变化情况  会运用待定系数法确定一次函数的表达 式 一次函数与 方程 （组）、不 等式  体会一次函数与二元一次方程的关系 考点一 一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k 为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k 叫做比例系数 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数 当一次函数 y=kx+b 中b=0 时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b 是常数，k≠0） 题型01 根据一次函数的定义求参数值 【例1】（2023·湖南长沙·校考一模）函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)，则k 的值为（ ） ．1 B．−5 ．1 3 D．−1 【答】B 【分析】将图像上的点代入解析式求解即可． 【详解】∵一次函数y=kx−2的图像经过点P(−1,3)， ∴3=−k−2， 解得k=−5． 故选B． 【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程 求解参数是解题的关键． 【变式1-1】（2023 下·全国·九年级专题练习）若直线y=kx+k+1经过点(m, n+3)和(m+1, 2n−1)，且 0<k<2，则的值可以是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【答】 【分析】根据题意得出¿，求出k=n−4，根据0<k<2，求出4<n<6，即可得出答． 【详解】解：由题意得¿， 解得：k=n−4， ∵0<k<2， ∴0<n−4<2， ∴4<n<6， ∴n可以是5，故正确． 故选：． 1 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x 的次数为1；3）常数b 可以取任意实数 2 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数 3 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x 出现在分母，根号内， 则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0 4 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用表示出k，得到关于 的不等式是解题的关键． 【变式1-2】（2023·安徽合肥·校考三模）已知点P (m,n)在一次函数y=−2 x+1上，且2m−3n≤0，则 下列不等关系一定成立的是（ ） ．m n ≤3 2 B．m n ≤2 3 ．n m ≤3 2 D．n m ≤2 3 【答】 【分析】将点P (m,n)代入一次函数y=−2 x+1，根据2m−3n≤0可求出n的取值范围，再根据不等式的 性质即可求解 【详解】解：将点P (m,n)代入一次函数y=−2 x+1， ∴−2m+1=n， ∴m=1−n 2 ， ∴2m−3n=2⋅1−n 2 −3n≤0， ∴1−n−3n≤0， ∴n≥1 4 ∵2m−3n≤0， ∴m ≤3n 2 不等式两边同时除以n得m n ≤3 2 故选： 【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质 【变式1-3】（2022·安徽合肥·统考二模）已知直线y=-4x-6 经过点（m，），且2m-7≤0，则下列关系式正 确的是（ ） ．m n ≤2 7 B．m n ≥2 7 ．n m ≤2 7 D．n m ≥2 7 【答】 【分析】根据一次函数解析式确定m 与之间的数量关系，根据不等式的性质确定m 和的范围，最后根据不 等式的性质求解即可． 【详解】解：∵直线y=-4x-6 经过点（m，）， ∴=-4m-6． ∴m=−n−6 4 ． ∵2m-7≤0， ∴2m−7 (−4 m−6)≤0，2( −n−6 4 )−7n≤0． ∴m≤−7 5，n≥−2 5． ∴m<0，可能是正数，0 或者负数． ∵2m-7≤0， ∴2m≤7n． ∴n m ≤2 7． 故选：． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 71．（2023·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）若以关于x，y的二元一次方程组¿的解为坐标的 点在一次函数y=−2 3 x+4的图像上，则k的值为 ． 【答】1 9 【分析】解方程组，先用含k 的代数式表示出x、y，根据以方程组的解为坐标的点在一次函数 y=−2 3 x+4的图像上，得到关于k 的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：¿ ①+②得，2 x=5+9k， ∴x=5+9k 2 ； ①−②，得：2 y=5−9k ∴y=5−9k 2 把x=5+9k 2 ，y=5−9k 2 代入y=−2 3 x+4，得： 5−9k 2 =−2 3 × 5+9k 2 +4， 解得，k=1 9， 故答为：1 9 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k 的代数式表示出方程组中的x、y． 题型02 求一次函数的自变量或函数值 【例2】（2023·广东广州·统考一模）点(3,b)在一次函数y=2 x−7的图象上，则b的值为（ ） ．13 B．1 ．5 D．−1 【答】D 【分析】把(3,b)代入y=2 x−7计算即可． 【详解】∵点(3,b)在一次函数y=2 x−7的图象上， 即当x=3时，y=b， ∴b=2×3−7=−1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与点的坐标关系．当已知函数解析式时，求坐标中字母的值直接代 入解析式求解即可． 【变式2-1】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若正比例函数y=kx，当x=1时，y=2，则下列各点在 该函数图象上的是（ ） ．(−1,−2) B．(−1,2) ．(1,−2) D．(2,1) 【答】 【分析】把x=1，y=2，代入函数解析式可求得k，再把选项中所给点的坐标代入进行判断即可． 【详解】解：∵当x=1时，y=2， ∴k=2， ∴y=2 x， 当x=−1时，y=2×(−1)=−2，故点(−1,−2)在函数图象上，(−1,2)不在函数图象上， 当x=1时，y=2×1=2，故点(1,−2)不在函数图象上， 当x=2时，y=2×2=4，故点(2,1)不在函数图象上， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的 关键． 【变式2-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程2 x−6=0的解，是一个一次函数的函数值 为2 时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（ ） ．y=2 x−4 B．y=−2 x+4 ．y=2 x−6 D．y=−2 x+6 【答】 【分析】由2 x−6=0得x=3，再分别求出各选项在x=3时的函数值，即可得到答． 【详解】解：由2 x−6=0得x=3， 当x=3时， y=2 x−4=2×3−4=2，故符合题； y=−2 x+4=−2×3+4=−2，故B 不符合题意； y=2 x−6=2×3−6=0，故不符合题意； y=−2 x+6=−2×3+6=0，故D 不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查一次函数的表达式及解一元一次方程，根据题意得出x=3是解题的关键． 考点二 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k） 一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- b k ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y 随x 的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y 随x 的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y 轴 交点位置 b＞0，交点在y 轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y 轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0 时，向上平移b 个单位长度； 当b<0 时，向下平移|b|个单位长度 x x x y y y O O O x x x y y y O O O 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两 点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(−b k ，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可 三、k，b 的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=−b k ，即直线y=kx+b 与x 轴交于(−b k ,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b 与y 轴交于(0，b) 1）当−b k > 0 时，即k，b 异号时，直线与x 轴交于正半轴． 2）当−b k = 0，即b=0 时，直线经过原点． 3）当−b k < 0，即k，b 同号时，直线与x 轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2 时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2 时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2 时，两直线交于y 轴上的同一点（0，b）； 4）当k1•k2=-1 时，两直线垂直； 5）当k1≠k2 时，两直线相交 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b 的值； 4）将所求得的k，b 的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k 是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b 是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b 符号 的作用 k 的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k 的符号决定其增减性； b 的符号决定直线与y 轴的交点位置； k，b 的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y 的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y 的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个 不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y 轴向上（b>0） 或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx （k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0 时，y 的值随x 值的增大而增大； ②当k<0 时，y 的值随x 值的增大而减小． 1 正比例函数y= kx 中，|k|越大，直线y= kx 越靠近y 轴；反之，|y|越小，直线y= kx 越靠近x 轴 2 判断一次函数的增减性，只看k 的符号，与b 无关 3 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x 的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与 最小值但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问 题具体分析 4 一次函数y= kx+b（k≠0）与x 轴交于(−b k , 0)，与y 轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的 三角形面积为s=1 2 ⋅| −b k |⋅|b| 题型01 判断一次函数图象 【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高 度h随时间t的函数是一次函数．这个容器的形状可能是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据图像中每段的上升速度分析解答即可． 【详解】解：由一次函数图像可知，一次函数图像为直线，即容器内的水面为匀速上升状态， 项，杯子的杯身粗细一样，匀速注水时，水面即时匀速上升，即水面高度h随时间t的函数图像是直线，故 是一次函数，故此项符合题意； B 项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是 直线，故不是一次函数，即此项不符合题意； 项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度h随时间t的函数图像不是直 线，故不是一次函数，即此项不符合题意； D 项，杯子的杯身下细中间粗上细，匀速注水时，水面上升速度先快后慢再变快，即水面高度h随时间t的 函数图像不是直线，故不是一次函数，即此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了利用函数图像判断容器，正确理解函数图像的上升速度与容器的粗细之间的关系是解 题的关键． 【变式1-1】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表 面刚好离开水面，停止计时．用x表示圆柱体运动时间，y表示水面的高度，则y与x之间函数关系的图象 大致是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S1，圆柱体底面积为S2，速度为v，当圆柱体上表面未离开 水面时，体积不变，水高不变，y=h，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得， S1 y=S1h−S2vx，整理得，y=−S2v S1 x+h，根据函数解析式确定函数图象即可． 【详解】解：设刚开始时水高为h，大水桶底面积为S1，圆柱体底面积为S2，速度为v， 当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，y=h， 当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，S1 y=S1h−S2vx，整理得， y=−S2v S1 x+h， ∵ −S2v S1 <0， ∴y随x的增大而减小， ∴可知y与x之间函数关系的图象大致为y先保持不变，然后y随x的增大而减小， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象．解题的关键在于正确的表示数量关系． 【变式1-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立 平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1=k1 x , y2=k2 x，则关于k1与k2的 关系，正确的是（ ） ．k2<0<k1 B．k1<0<k2 ．k1<k2<0 D．k2<k1<0 【答】D 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m(m<0)的两个点和B， 则A (m,k1m)，B (m,k2m)， ∵k1m<k2m， ∴k1>k2， 当取横坐标为正数时，同理可得k1>k2， 综上所述，0>k1>k2 故选：D 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得 到比例系数的关系． 【变式1-3】（2023·浙江温州·统考一模）在平面直角坐标系中，有四个点A (2,5)，B (1,3)，C (3,1)， D (−2,−3)，其中不在同一个一次函数图象上的是（ ） ．点A B．点B ．点C D．点D 【答】 【分析】在平面直角坐标系中描出各点，再根据一次函数图象是直线，即可进行解答． 【详解】解：如图，在平面直角坐标系中描出各点， 由图可知：点和点、B、D 不在同一个一次函数图象上． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象是直线． 【变式1-4】（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数y=x+2的图象经过点P (a，b)，其中a≠0， b≠0，则关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+a的图象可能是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】先根据一次函数y=x+2的图象经过点P (a，b)，b=a+2，进而推出一次函数y=ax+b的图象 经过定点(−1，2)，则一次函数y=ax+b一定经过第二象限，同理得到一次函数y=bx+a的图象经过定 点(−1，−2)，则一次函数y=bx+a必定经过第三象限，再由a≠b，得到一次函数y=bx+a与一次函数 y=ax+b与y 轴的交点坐标不相同，由此即可得到答． 【详解】解：∵一次函数y=x+2的图象经过点P (a，b)， ∴b=a+2，