模型02 飞镖、8字模型（原卷版）

模型一：飞镖模型 （1）角的飞镖模型 结论： 解答：①方法一：延长 交 于点 得证 ②方法二：延长 交 于点 得证 ③方法三：延长 到在其延长方向上任取一点为点 得证 总结：利用三角形外角的性质证明 （2）边的飞镖模型 结论： 解答：延长 交 于点 +三角形三边关系+同号不等式 大的放左边，小的放在右边得证 模型二：8 在模型 （1）角的8 字模型 结论： 解答： 模型介绍 飞镖模型和8 字模型 大 招 ①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角 的性质得证 总结：①利用三角形内角和等于 证明 推出 ②利用三角形外角的性质证明 （2）边的8 字模型 结论： 解答：三角形三边关系+同号不等式得证 总结： ①三角形两边之和大于第三边 考点一：飞镖模型 【例1】．如图，∠＝70°，∠B＝40°，∠＝20°，则∠B=_______ 变式训练 【变式1-1】．如图，∠BD、∠D 的角平分线交于点P，若∠＝55°，∠D＝15°，则∠P 的 度数为（ ） 例题精讲 ．15° B．20° ．25° D．30° 【变式1-2】．在△B 中，∠B 与∠B 的平分线交于点，∠B+∠B＝100°，则∠B 的度数为（ ） ．80° B．50° ．100° D．130° 【变式1-3】．如图，已知∠BF＝120°，则∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F 的度数． 【变式1-4】．如图所示，已知P 是△B 内一点，试说明P +PB +P＞ （B +B +）． 考点二：8 字模型 【例2】．如图，∠1＝60°，则∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ 变式训练 【变式2-1】．如图，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ °． 【变式2-2 】．如图，，B ，，D ，E ，F 是平面上的6 个点，则∠+ ∠B+∠+∠D+∠E+∠F 的度数是 度． 【变式2-3】．如图，∠+∠B+∠+∠D+∠E+∠F＝ °． 【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF 落在另一块三角板的斜 边上，边B 与DF 交于点，则∠BD 的度数是 ． 1．如图，已知B⊥BD，⊥D，∠＝35°，则∠D 的度数为（ ） ．35° B．45° ．55° D．65° 2．如图，∠+∠B+ + ∠∠D+∠E 的度数为（ ） ．120° B．150° ．180° D．200° 3．如图，在△B 中，M，分别是边B，B 上的点，将△BM 沿M 折叠；使点B 落在点B'处， 若∠B＝35°，∠BM＝28°，则∠MB'的度数为（ ） 实战演练 ．30° B．37° ．54° D．63° 4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成 的角为65°，则图中角α 的度数为 ． 5 已知如图，BQ 平分∠BP，Q 平分∠P，∠B＝α，∠BP＝β，则∠BQ＝ ．（用α，β 表 示） 6．如图，则∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠＝ 度． 7．如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F＝ ． 8．如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + + ∠∠∠K 的度数为 9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），E 与BD 的交点为，且∠，∠B，∠E 保持不变． 为了舒适，需调整∠D 的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D 应 （填“增加”或 “减少”） 度． 10．如图，求∠+∠B+ + ∠∠D+∠E+∠F+∠G+ + ∠∠的值． 11．如图，已知B∥DE，∠B、∠ED 的平分线交于点F．探究∠BFE 与∠BE 之间的数量关系， 并证明你的结论． 12．如图，DP 平分∠D，PB 平分∠B，求证：∠P＝ （∠+∠） 13．如图，在四边形BD 中，M、M 分别平分∠DB 和∠DB，M 与M 交于M．探究∠M 与 ∠B、∠D 间的数量关系． 14．（1）探究：如图1，求证：∠B＝∠+∠B+∠． （2）应用：如图2，∠B＝100°，∠DEF＝130°，求∠+ + ∠∠D+∠F 的度数． 15．如图1，已知线段B、D 相交于点，连接、BD，我们把形如图1 的图形称之为“8 字形 “．如图2，∠B 和∠BD 的平分线P 和DP 相交于点P，并且与D、B 分别相交于点 M、．试解答下列问题： ①仔细观察，在图2 中有 个以线段为边的“8 字形”； ②若∠B＝76°，∠＝80°，试求∠P 的度数； ③∠和∠B 为任意角时P、DP 分别是∠B、∠BD 的三等分线，写出∠P 与∠、∠B 之间数量 关系，并说明理由． 16．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠、∠B、∠、∠D 之间的数量关系为 ； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P 的度数为 ； 探索三：如图3，P、G 分别平分∠BE、∠FD，G 反向延长线交P 于点P，则∠P、∠B、 ∠D 之间的数量关系为 ． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、，交于点，在四边形MB 中，设∠M＝α，∠＝β，α+β＞ 180°，四边形的内角∠MB 与外角∠D 的角平分线BP，P 相交于点P，则∠＝ （用 含有α 和β 的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α 和β 的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MB 中，设∠M＝α，∠＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MB 与外角∠D 的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α 和β 的代 数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠＝x，∠B＝y，∠P＝ ∠B，∠DP＝ ∠DB，试问∠P 与∠、∠B 之 间的数量关系为 ．（用x、y 表示∠P） 拓展二：如图7，P 平分∠BD，P 平分∠BD 的邻补角∠BE，猜想∠P 与∠B、∠D 的关系， 直接写出结论 ．