第7章 平面直角坐标系压轴题考点训练（教师版）

第七章 平面直角坐标系压轴题考点训练 1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点 ，第二次运动到点 ，第三次运动到 ，…，按这样的运动规律，第 2022 次运动后，动点 的坐标是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】解：观察图象，结合动点P 第一次从原点运动到点P1(1，1)，第二次运动到点 P2(2，0)，第三次运动到P3(3，﹣2)，第四次运动到P4(4，0)，第五运动到P5(5，2)，第六 次运动到P6(6，0)，…，结合运动后的点的坐标特点， 可知由图象可得纵坐标每6 次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0； 2022÷6 ∵ ＝337， ∴经过第2022 次运动后，动点P 的纵坐标是0， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点 经过某种变换后得到点 ，我们把点 叫做点 的好点．已知点 的好点为 ，点 的好点为 ，点 的好 点为 ，这样依次得到 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：根据题意得点P1的坐标为(2，0)，则点P2的坐标为(1，4)，点P3的坐标为 (-3，3) 点P4的坐标为(-2，-1)，点P5的坐标为(2，0)，…，而2019=4×504+3， 所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为(-3，3)． 故选：． 3．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后 接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位， 那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是( ) ．(5，44) B．(4，44) ．(4，45) D．(5，45) 【答】B 【详解】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度， 用的次数是 次，到 是第 次，到 是第 次，到 是第 次，到 是第 次，到 第 次，依此类推，到 是第2025 次． ， 故第2020 次时跳蚤所在位置的坐标是 ． 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，△ ，△ ，△ ，△ ， ，都是等腰 直角三角形，且点 ， ， ， ， 的坐标分别为 ， ， ， ， ，依据图形所反映的规律，则 的坐标为() ．(2，25) B．(2，26) ．( ， ) D．( ， ) 【答】B 【详解】解：根据题意可得，2的坐标(2，1)，6的坐标(2，2)， 10的坐标(2，3)，…， 102=25×4+2 ∵ ，∴102的纵坐标为(102+2)÷4=26， ∴102的坐标(2，26)． 故选：B． 5．在直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 ，在坐标轴上确定点 ，使得 为 直角三角形，则符合条件的点 的个数共有( ) ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】 【详解】解：如图所示： ①当 为斜边时，过 分别作 轴和 轴的垂线，垂足即为点 ，符合条件的点 有2 个； ②当 为斜边时，过 作 的垂线，与 轴和 轴的交点即为点 ，符合条件的点 有 2 个； 符合条件的点 的个数共有4 个， 故选： ． 6．如图， ， ， ，…均为斜边在 轴上且斜边长分别为2，4，6… 的等腰直角三角形．若 的顶点坐标分别是 ， ， ，则按图 中所示规律，点 的坐标是( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解： 各三角形都是等腰直角三角形， 直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由上可知，当脚码是1、5、 时，横坐标是脚码加3 和的一半，纵坐标为0；当脚码是 2、6、 时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、 时，横 坐标是脚码减3 差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、 时，横坐标是2，纵 坐标为脚码的一半． ， 点 在 轴正半轴上，横坐标是 ，纵坐标是0， ∴ 的坐标为 ． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，点1(1，0)、2(3，0)、3(6，0)、4(10，0)、……，以12为对角 线作第一个正方形112B1，以23为对角线作第二个正方形223B2，以34，为对角线作第三个正 方形334B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点B 的坐标 为____． 【答】 ， 【详解】解：分别过点 ， ， ，作 轴， 轴， 轴于点 ， ， ， ， ， ， ， ，可得出 ， ， ， ， ， ，可得 ， ， 同理可得出： ， ， ， ， ， ， ， 的横坐标分别为： ， ， ， ， 点 的横坐标为： ， ， ， ， 的纵坐标分别为：1， ， ， ， ， 点 的纵坐标为： ， 点 的坐标为 ；点 的坐标为： ， ． 故答为： ， ． 8．如图，已知点 ．规定“把点 先作关于 轴对称，再向左平移1 个单位”为一次 变化．经过第一次变换后，点 的坐标为_______；经过第二次变换后，点 的坐标为____ _；那么连续经过2019 次变换后，点 的坐标为_______． 【答】 【详解】点原来的位置(0,1) 第一次变换： ，此时坐标为 ； 第二次变换： ，此时坐标为 第三次变换： ，此时坐标为 …… 第次变换：点坐标为 所以第2019 次变换后的点的坐标为 ． 故答为： ； ； 9．如图，在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，平移线段 至线段 ，点 在四边形 内，满足 ， ，则点 的坐标为__ ______． 【答】 【详解】如图， 设 ，∵ ， ， ， ∵平移线段 至线段 ，∴ ， ， ，∴ ， ∵ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴点 ∵ ，∴ ∵ 解之： ，∴点 10． 如图，在平面直角坐标系中，已知长方形BD 的顶点坐标：(-4，-4)，B(12，6)，D(-8， 2)，则点坐标为______． 【答】(8，12) 【详解】解：设点的坐标为(x，y)， 根据矩形的性质，、BD 的中点为矩形的中心， 所以， = ， = ， 解得x=8，y=12， 所以，点的坐标为(8，12)． 故答为：(8，12)． 11．在平面直角坐标系xy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点(0，4)， 点B 是x 轴正半轴上的整点，记△B 内部(不包括边界)的整点个数为m，当m＝3 时，则点B 的横坐标是_____． 【答】3 或4 【详解】解：如图 当点B 为(3,0)，(4,0)记 内部(不包括边界)的整点为(1，1)，(1，2)，(2，1)共三个点， 故当 时，则点 的横坐标可能是3，4 故填3，4 12．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知△B 是等腰直角三角形，且∠B＝90°，若点 的坐标(3，1)，则点B 的坐标为______． 【答】(2，4)或(4，﹣2) 【详解】如图，当点B 在第一象限时，过作⊥x 轴于，过B 作BD⊥于D，则=1，=3， 易得△BD (S) ≌△ ， =BD=1 ∴ ，D==3， B(2 ∴ ，4)； 当点B'在第四象限时，过作E y ⊥轴于E，过B'作B'F E ⊥于F，则E=1，E=3， 易得△E B'F(S) ≌△ ， F=E=1 ∴ ，B'F=E=3， B'(4 ∴ ，-2)， 故答为(2，4)或(4，-2)． 13．已知 都在y 轴上，若 是线段 的中点，且 ， ，若 ，求 的值． 【答】14． 【详解】解：∵ 在y 轴上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是线段 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 14．如图，在长方形 中， 为平面直角坐标系的原点，点 的坐标为 ，点 的 坐标为 且 、 满足 ，点 在第一象限内，点 从原点出发，以每 秒2 个单位长度的速度沿着 的线路移动． (1)点 的坐标为___________；当点 移动5 秒时，点 的坐标为___________； (2)在移动过程中，当点 到 轴的距离为4 个单位长度时，求点 移动的时间； (3)在 的线路移动过程中，是否存在点 使 的面积是20，若存在直接写出点 移动的时间；若不存在，请说明理由． 【答】(1)(8，12)，(0，10)；(2)2 秒或14 秒；(3)存在，t=25s 或 【详解】解：(1) ∵，b 满足 ，∴=8，b=12，∴点B(8，12)； 当点P 移动5 秒时，其运动路程为5×2=10，∴P=10，则点P 坐标为(0,10)， 故答为：(8，12)、(0,10)； (2)由题意可得，第一种情况，当点P 在上时， 点P 移动的时间是：4÷2＝2 秒， 第二种情况，当点P 在B 上时． 点P 移动的时间是：(12+8+8)÷2＝14 秒， 所以在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为4 个单位长度时，点P 移动的时间是2 秒或14 秒． (3)如图1 所示： ∵△BP 的面积=20， ∴ P•B=20，即 ×8×P=20．解得：P=5．∴此时t=25s 如图2 所示； ∵△BP 的面积=20， ∴ PB•=20，即 ×12×PB=20．解得：BP= ．∴P= ．∴此时t= ， 综上所述，满足条件的时间t=25s 或 15．如图1，以直角 的直角顶点 为原点，以 ， 所在直线为 轴和 轴建立 平面直角坐标系，点 ， ，并且满足 ． (1)直接写出点 ，点 的坐标； (2)如图1，坐标轴上有两动点 ， 同时出发，点 从点 出发沿 轴负方向以每秒2 个单 位长度的速度匀速运动，点 从点 出发沿 轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速运动， 当点 到达点 整个运动随之结束；线段 的中点 的坐标是 ，设运动时间为 秒．是否存在，使得 与 的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，说 明理由； (3)如图2，在(2)的条件下，若 ，点 是第二象限中一点，并且 平分 ，点 是线段 上一动点，连接 交 于点 ，当点 在 上运动的过程中， 探究 ， ， 之间的数量关系，直接写出结论． 【答】(1)(0，6)，(8，0)；(2)存在t=24 时，使得△DP 与△DQ 的面积相等；(3)∠DG+∠E=∠ 【详解】解：(1)∵ ， - ∴b+2=0，b-8=0， =6 ∴ ，b=8， (0 ∴ ，6)，(8，0)， 故答为(0，6)，(8，0)； (2)由(1)知，(0，6)，(8，0)， =6 ∴ ，B=8， 由运动知，Q=t，P=2t， ∴P=8-2t， ∵D(4，3)， ∴S△DQ= Q×|xD|= t×4=2t， S△DP= P×|yD|= (8-2t)×3=12-3t， ∵△DP 与△DQ 的面积相等， 2 ∴t=12-3t， ∴t=24， ∴存在t=24 时，使得△DP 与△DQ 的面积相等； (3)∴∠GD+∠E=∠， 理由如下： ∵x 轴⊥y 轴， = ∴∠∠D+∠D=90°， + =90° ∴∠∠ ， 又∵∠D=∠D， = ∴∠∠D， ∵y 轴平分∠GD， ∴∠G=∠D， ∴∠G=∠， ∴G∥， 如图，过点作F∥G 交x 轴于F， ∴F∥， ∴∠F=∠E， 同理∠F=∠GD， ∵G∥F， ∴∠DG=∠F， ∴∠DG+∠E=∠F+∠F， 即∠DG+∠E=∠．