专题02 平方根与立方根四种压轴题全攻略（教师版）

专题02 平方根与立方根四种压轴题全攻略 类型一、平方根的非负性 例1．如果实数、b 满足 ，求 的平方根． 【答】±2 【详解】解：∵实数、b 满足 ， ∴－1=0，b－3=0，∴=1，b=3，∴+b=1+3=4， + ∴b 的平方根为±2．故答为：±2． 例2．(2020·河北省初二期中)若 与 互为相反数，则 =_____． 【答】 【解析】 与 互为相反数 整理得： 则 故答为： ． 【变式训练1】若(2x 5) ﹣ 2+ ＝0，则2x+4y 的平方根是_____． 【答】±2 【详解】解：∵(2x 5) ﹣ 2+ ＝0，∴2x 5 ﹣＝0，4y+1＝0， 2 ∴x＝5，4y＝﹣1，∴2x+4y＝5 1 ﹣＝4， 2 ∴x+4y 的平方根为± ＝±2， 故答为：±2． 【变式训练2】若实数x，y 满足|x 3| ﹣ ＋ ＝0，则(x＋y)2的平方根为_______． 【答】±4 【详解】解：根据题意得x 3 ﹣＝0，y 1 ﹣＝0，解得：x＝3，y＝1， 则(x+y)2＝(3+1)2＝16， 所以(x+y)2的平方根为±4． 故填：±4． 【变式训练3】已知 ，求 的值． 【答】2022 【详解】解：∵ ，∴ ．∴ ， ∴原式化简为 ，∴ ， ∴ ， 故 ． 【变式训练4】已知 与 互为相反数，求 的平方根． 【答】 的平方根为±3． 【详解】∵ 与 互为相反数，∴ + =0， =27 ∴ ，b=36，∴ =3+6=9， ∴ 的平方根为±3． 类型二、探究性规律问题 例1．已知 ≈4858， ≈1536，则﹣ ≈( ) ．﹣4858 B．﹣4858 ．﹣1536 D．﹣1536 【答】 【详解】解：236000 是由236 小数点向右移动4 位得到，则﹣ ＝﹣4858； 故选：． 例2．(2019·全国初二课时练习)(1)已知 , ， ，则 ____； (2)已知 , ， ，则 ____； (3)从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左(或右)移动3 位，立方根的小数点则向_ __移动____位； (4)如果 ，则 ___， ____． 【答】(1)300；(2)004；(3)左(或右)，1；(4)10， 【解析】解：(1)已知 ， ， ，则 300； (2)已知 ， ， ，则 004； (3)从以上的结果可以看出，被开方数的小数点向左(或右)移动3 位，立方根的小数点则向 左(或右)移动1 位；(4)如果 ，则 10， ， 故答为：(1)300；(2)004；(3)左(或右)；1；(4)10； ． 【变式训练1】已知 ，若 ，则 ______； ________； _________；若 ，则 _______． 【答】 214000 214 【详解】解：∵ ，且 ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ 且 ，∴ ， 故答为：214000，±01463，-01289，214． 【变式训练2】根据下表回答问题： 16 161 162 163 164 165 166 167 168 256 25921 26244 26569 26896 27225 27556 27889 28224 (1)26569 的平方根是______； (2) ______， ______， ______； (3)设 的整数部分为 ，求 的立方根． 【答】(1)±163；(2)162；168，161；(2)-4 【详解】解：(1)由表格中数据可得：26569 的平方根是：±163；故答为：±163； (2) 162， ， 故答为：162；168；161 (3)∵ ，∴16＜ ＜17， =16 ∴ ，-4=-64，∴-4 的立方根为-4． 【变式训练3】根据如表回答下列问题 x 231 232 233 234 235 236 237 238 239 x2 53361 53824 54289 54756 55225 55696 56169 56644 57121 (1)56644 的平方根是 ； (2)﹣ ≈ ；(保留一位小数) (3)满足236＜ ＜237 的整数有 个． 【答】(1) ；(2)-237；(3)5 【详解】(1)由表中数据可得：56644 的平方根是：±238；故答为：±238； (2) 237 ∵ 2＝56169，∴ ≈237，∴﹣ ≈﹣237，故答为：﹣237； (3) 236 ∵ 2＝55696，2372＝56169，55696＜＜56169， =557，558，559，560，561， ∴满足236＜ ＜237 的整数有5 个，故答为：5． 类型三、平方根与立方根的综合应用 例1．(1)已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4，求 的值； (2)若 与 是同一个正数的平方根，求 的值． 【答】(1)9；(2) 或 【解析】解：(1)∵2-1 的平方根是±3，∴2-1=9，∴=5， ∵3+b-1 的算术平方根是4，∴3+b-1=16，∴3×5+b-1=16，∴b=2，∴+2b=5+2×2=9； (2)分类讨论：①当 与 不相等时，由一个正数的平方根有两个，它们互为相反 数可知： + =0 解得： ②当 与 相等时 = 解得 故答为： 或 【变式训练1】(1) 一个正数x 的平方根分别是2 3 与5 ，求的值； (2)一个正数 的平方根是 与 ，求 的值． 【答】(1)－2；(2) 【解析】(1) 一个正数x 的平方根分别是2 3 与5 ； (2) 一个正数 的平方根是 与 ， ． 【变式训练2】已知2﹣1 的平方根为±3，3+b﹣1 的算术平方根为4，求+2b 的平方根． 【答】±3 【解析】解：∵2﹣1 的平方根为±3，∴2﹣1＝9，解得，2＝10，＝5； ∵3+b﹣1 的算术平方根为4，∴3+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，解得b＝2， ∴+2b＝5+4＝9，∴+2b 的平方根为：±3． 【变式训练3】已知一个数 的算术平方根为 的平方根为 求这个数 【答】441 或49 【解析】∵x 的平方根是±(2－15)，算术平方根为+3，∴2－15= +3 或2－15= -(+3)，解得： =18 或=4，∴+3=21 或7，∴这个数为441 或49． 类型四、平方根与立方根的实际应用 例．如图，琦琦想用一块面积为900m2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为 800m2的纸片，使它的长宽之比为5：4，琦琦能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通 过计算说明． 【答】不能．理由见解析 【详解】不能．理由如下： 正方形纸片的边长为： ＝30(m)， 设裁出的纸片的长为5m，宽为4m， 则：5•4＝800，解得：＝2 ， 5 ∴＝10 ＞30，∴不能裁出符合要求的纸片． 【变式训练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9 和6， (1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？(直接写结果) (2)求图中阴影部分的面积． (3)若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y﹣ )x的值． 【答】(1)小正方形的边长在2 和3 之间；与整数2 比较接近；(2) ；(3)4 【详解】解：(1)∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为 ， 4 ∵＜6＜9，∴2＜ ＜3，∴小正方形的边长在2 和3 之间；与整数2 比较接近． (2)∵阴影部分的面积的和为一个长为 ，宽为(3﹣ )的矩形面积， ∴阴影部分的面积＝ ． (3)∵小正方形的边长为 ，∴x＝2，y＝ ， ∴原式＝ ，＝4 【变式训练2】材中的探究：如图，把两个边长为1 的小正方形沿对角线剪开，用所得到 的4 个直角三角形拼成一个面积为2 的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理 数对应点的方法(数轴的单位长度为1)． (1)阅读理解：图1 中大正方形的边长为________，图2 中点表示的数为________； (2)迁移应用： 请你参照上面的方法，把5 个小正方形按图3 位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正 方形． ①请在图3 中画出裁剪线，并在图3 中画出所拼得的大正方形的示意图． ②利用①中的成果，在图4 的数轴上分别标出表示数－05 以及 的点，并比较它 们的大小． 【答】(1) ；(2)①见解析；②见解析， 【详解】解：设正方形边长为， ∵2=2， ∴= ， 故答为： ， ； (2)解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示： ②设拼成的大正方形的边长为b， ∴b2=5， ∴b=± ， 在数轴上以-3 为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M 表示的 数为-3+ ，看图可知，表示-05 的点在M 点的右方， ∴比较大小： ． 【变式训练3】某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t()可以用公式 来估计，其 中d(km)是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到01) (2)如果一场雷雨持续了1，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到001km) 【答】(1)05；(2)965km 【详解】(1) ． 这场雷雨大约能持续05． (2) 课后作业 1．已知，b，为三角形的三边，则 =___． 【答】2b 【详解】解析：∵、b、为三角形的三边， -b- ∴ ＜0，-+b＞0 ∴ 2．(1)若一个数的平方根是2+2 和3 7 ﹣，求这个数； (2)已知x 为实数，且 ，求x2+x 3 ﹣的平方根． 【答】(1)16；(2)±3 【详解】(1)由题意可得： 2+2+3 7 ﹣＝0 ＝1 2+2 ∵ ＝4 3 7 ﹣＝﹣4 (±4) ∴ 2＝16 ∴这个数是16； (2)由题意可得： ， ∴x 3 ﹣＝2x+1， ∴x＝﹣4， ∴x2+x 3 ﹣＝16 4 3 ﹣﹣＝9， ∴x2+x 3 ﹣的平方根是±3． 3．已知 与 互为相反数，求 的平方根． 【答】 【解析】 【详解】 解：∵ 与 互为相反数， ∴ + =0， 2 ∴x+y=2，x-y=-3， 解方程组 ，得 ， ∴ ，∴ 的平方根是 ． 4．若实数 、 满足 ，求 的平方根． 【答】 【详解】解： ， ，解得 ， 则 ． 5．如图甲，这是由个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为 ． (1)当魔方体积 时，求出这个魔方的棱长； (2)①图甲中阴影部分是一个正方形 ，求出阴影部分正方形 的边长； ②把正方形 放置在数轴上，如图乙所示，使得点 与数重合，求点 在数轴上表 示的数是多少． 【答】(1)魔方的棱长为4m；(2)①阴影部分正方形BD 的边长为 ；② 【详解】解：(1)当魔方体积V＝64m3时， (1) 4 ∵ 3＝64，∴ ， 所以这个魔方的棱长为4m； (2)①因为魔方的棱长为4m； 所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2(m)， 所以阴影部分正方形BD 的边长为 (m)， S 正方形BD＝ ＝8(m2)，答：阴影部分正方形BD 的边长为 ； ②点D 到原点的距离为： ， 又因为点D 在原点的左侧，所以点D 所表示的数为 ， 故答为： ．