高考数学答题技巧题型11 4类三角函数选填解题技巧（图象与性质、异名伸缩平移、最值与值域、ω的取值范围）（解析版）Word（17页）

题型11 4 类三角函数选填解题技巧 （三角函数图象与性质、异名伸缩平移、最值与值域、ω 的取值范 围） 技法01 三角函数图象与性质的解题技巧 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 技法01 三角函数图象与性质的解题技巧 技法02 三角函数异名伸缩平移的解题技巧 技法03 三角函数最值与值域的解题技巧 技法04 三角函数ω 的取值范围解题技巧 在高考中经常考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于利用整体思想快速求解，有时也可以用到函数 图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0，对称轴处是否取得最值等都是解 题突破口. 由 ，解得 ， 取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ， 故选：A. 例1-2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）（多选）已知函数 ，则（ ） A． 的最小值为 B． 的图象关于点 对称 C．直线 是 图象的一条对称轴 D． 在区间 上单调递减 由题意得 ， 故 的最小值为 ，A 正确； 将 代入 中，得 ， 即 的图象关于点 对称，B 错误； 将 代入 中，得 ， 即此时 取到最小值，即直线 是 图象的一条对称轴，C 正确； 当 时， ，由于 在 上单调递减， 故 在区间 上单调递减，D 正确， 故选：ACD 1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）（多选）已知函数 ，则下列描述正确的是（ ） A．函数 的最小正周期为 B． 是函数 图象的一个对称轴 C． 是函数 图象的一个对称中心 D．若函数 的图象向左平移 个单位长度可得函数 的图象，则 为奇函数 【答案】ACD 【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】函数 的最小正周期 ，故A 正确； ，所以 关于 对称，故B 错误； ，所以 是函数 图象的一个对称中心，故C 正确； 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 ， 则 ，所以 为奇函数，故D 正确； 故选：ACD 2．（2023·全国·模拟预测）（多选）将函数 的图象向左平移 个单位长 度得到函数 的图象，且 ，则下列结论中正确的是（ ） A． 为奇函数 B．当 时， 的值域是 C． 的图象关于点 对称 D． 在 上单调递增 【答案】BD 【分析】根据三角函数的平移变换求出 的表达式，然后依次判断各个选项即可. 【详解】因为 ， 所以 ． 由 ，得 ， ， 则 ，又 ，所以 ， 所以 ． 对于A： ，所以 不是奇函数，A 错误； 对于B：当 时， ， 则 ，B 正确； 对于C：因为 ， 所以 的图象不关于点 对称， C 错误； 对于D：当 时， ， 根据正弦函数的图象与性质可知， 在 上单调递增，D 正确． 故选：BD 3．（2023·广东汕头·校考一模）（多选）已知函数 的最小正周期是 ，把 它图象向右平移 个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ） A．函数 的图象关于直线 对称B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 在区间 上单调递减 D．函数 在 上有3 个零点 【答案】AC 【分析】根据周期及奇函数的性质求出 ，再利用正弦函数性质逐项判断即可. 【详解】因为函数 的最小正周期是 ，所以 ， 则 ， 把它图象向右平移 个单位后得到的图象所对应的函数为 ， 因为 为奇函数，所以 ， ，即 ， ， 因为 ，所以 ， ，所以 ， 对于A， ，所以函数 的图象关于直线 对称，故A 正确； 对于B， ， 所以函数 的图象不关于点 对称，故B 错误； 对于C，当 时， ， 函数 在 上单调递减， 所以函数 在区间 上单调递减，故C 正确； 对于D，由 ，得 ，即 ， 令 ，解得 ，又 ，所以 或 ， 所以函数 在 上有2 个零点，分别为 ， ，故D 错误. 故选：AC. 4．（2023·山西吕梁·统考二模）（多选）若函数 （ ）的最小正周期 为 ，则（ ） A． B． 在 上单调递减 C． 在 内有5 个零点 D． 在 上的值域为 【答案】BC 【分析】先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，根据其最小正周期求出ω 的值，从而确定函数解析式， 代值计算即可判断A；根据正弦型函数的单调性可判断B；根据正弦函数图象即可判断CD. 【详解】 ． 因为函数的最小正周期为 ，所以 ，故 . 对于A， ，故A 错误； 对于B，当 时， ，此时 单调递减，故B 正确； 对于C， ， ∴ ， ， 当 时，满足要求的有 ， ， ， ， ，共有5 个零点，故C 正确； 对于D，当 时， ，则 ，故 ，∴D 错 误． 故选：BC 技法02 三角函数异名伸缩平移的解题技巧 知识迁移 通常用sin x=cos(x−π 2)进行正弦化余弦，用cos x=sin(x+ π 2)进行余弦化正弦 例2-1．（2022·四川模拟）若要得到函数 的图象，只需将函数 的图 象（ ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 在三角函数的伸缩平移变换中，同名三角函数的伸缩平移变换相对简单，异名三角函数的伸缩平移变换需 要先转化为同名三角函数，然后在进行伸缩平移变化，是高考中的高频考点，需强化练习. 我们可以对平移前 进行变换， ， 从而转化为 的变换； 我们同样也对平移后 进行变换， ，从而转化为 的变换，进而求解变换过程 【答案】D 例2-2．（2022·江苏·模拟）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象 （ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位 【详解】 ， 设平移了 个单位，得到 ，则 ，解得： ， 即向右平移了 个单位. 【答案】B 1．（全国·高考真题）为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ） A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位 【答案】A 【分析】设出向左平移 个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案. 【详解】 ， 将函数 向左平移 个长度单位，得到 ， 故 ，解得 ， 即向左平移 个长度单位. 故选：A 2．（天津·高考真题）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点的 A．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度 C．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度 D．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度 【答案】A 【详解】令 ，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） 时，函数为 ，若图象再向左平行移动 个单位长度，则函数为 ，于是选A. 3．（全国·高考真题）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象 A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【答案】B 【分析】由三角函数的诱导公式可得 ，再结合三角函数图 像的平移变换即可得解. 【详解】解：由 ， 即为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象向右平移 个单位长度， 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题. 4．（全国·高考真题）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得 到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度， 得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度， 得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度， 得到曲线C2 【答案】D 【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把 得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ） 的图象，即曲线C2， 故选D． 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以 也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函 数 ；函数 是偶函数 ；函数 是奇函数 ；函数 是偶函数 . 技法03 三角函数最值与值域的解题技巧 例3-1．（2019·全国·高考真题）函数 的最小值为_________． 【详解】 ， ， 当 时， ， 故函数 的最小值为 ． 例3-2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ） A． 的最大值为3，最小值为1 B． 的最大值为3，最小值为-1 C． 的最大值为 ，最小值为 D． 的最大值为 ，最小值为 在三角函数及三角恒等变换的学习中，经常会遇到求解三角函数型的值域问题，解决问题的关于在于整体 思想或换元思想，本内容在高考中也是重要考点. 【详解】因为函数 ， 设 ， ， 则 ， 所以 ， ， 当 时， ；当 时， . 故选：C 1.（全国·高考真题）函数 的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】试题分析：因为 ，而 ，所以当 时， 取得最大值5，选B. 【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当 时，函数 取得最大值. 2.（全国·高考真题）函数f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为 A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由诱导公式可得 ， 则 , 函数 的最大值为 . 所以选A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 3.（全国·高考真题）函数 （ ）的最大值是 ． 【答案】1 【详解】化简三角函数的解析式， 可得 ， 由 ，可得 ， 当 时，函数 取得最大值1． 4.（全国·高考真题）函数 的最小值为（ ） A．2 B．0 C． D．6 【答案】B 【分析】设 ，则 ，结合二次函数性质求其最小值即可. 【详解】因为 ，设 ，则 ，由二次函数性质 可得当 上单调递减，所以当 ， 取最小值，最小值为0，故当 时，函数 取最小值，最小值为0， 故选：B. 5.（2023 春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）函数 的最小值 为（ ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得 ， ， ，根据二次函数的性质求出 的最小值即得答案. 【详解】解：因为 ， 设 ， ， 则 ， ， 由二次函数性质可知当 时， 单调递减， 所以当 时， 取得最小值0， 故 的最小值为0． 故选：B. 技法04 三角函数ω 的取值范围解题技巧 例4-1．（2023·山西·高三校考）已知函数 ，若 在区间 上有且仅 有4 个零点和1 个极大值点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 先用辅助角公式把函数名统一，即 ，此时我们可以换元作图，令 ，由 ，则 ，则 ， ，作图如下： 在近几年的高考中,三角函数中参数ω 的取值范围问题常以小题的形式呈现，解题过程渗透了数学运算、逻 辑推理等核心素养，因而有一定的难度．我们知道ω 影响三角函数的周期，进而影响同一周期中函数的单 调性、对称轴、对称中心、最值、零点等．解决此类问题最为直接的方法是通过整体换元将问题转化为正 弦、余弦、正切函数问题,再通过图像的性质列出相关约束条件．由此可知掌握正弦、余弦、正切函数的相 关性质是关键． 有4 个零点和1 个极大值点，即右端点 ，解得 ， 故 的取值范围是 . 故选：D. 例4-2．（2023 秋·四川模拟）已知函数 ，若 在 上无零点， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， 所以若 ，则 ， 即 ， 则 ，又 ，解得 ， 又 解得 ， 当 时， ； 当 时，因为 ，所以可得 ． 所以 ． 故选：B 1．（2023·山西吕梁·统考三模）（多选）已知函数 ，满足 ， ，且在 上单调，则 的取值可能为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【分析】由 ，知函数 的图象关于直线 对称，结合 可知 是函数 的零点，进而得到 ， ，由 在 上单调，可得 ，进而 ，分类讨 论验证单调性即可判断. 【详解】由 ，知函数 的图象关于直线 对称， 又 ，即 是函数 的零点， 则 ， ， 即 ， . 由 在 上单调， 则 ，即 ， 所以 . 当 时，由 ， ，得 ， ， 又 ，所以 ，此时当 时， ， 所以 在 上单调递增，故 符合题意； 当 时，由 ， ，得 ， ， 又 ，所以 ，此时当 时， ， 所以 在 上单调递增，故 符合题意； 当 时，由 ， ，得 ， ， 又 ，所以 ，此时当 时， ， 所以 在 上不单调，故 不符合题意. 综上所述， 或3. 故选：AB. 2．（2022·全国·统考高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ， 要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示： 则 ，解得 ，即 ． 故选：C． 3．（2022·全国·统考高考真题）记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得 解； 【详解】解： 因为 ，（ ， ） 所以最小正周期 ，因为 ， 又 ，所以 ，即 ， 又 为 的零点，所以 ，解得 ， 因为 ，所以当 时 ； 故答案为： 4．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义 设函数 ，可以 使 在 上单调递减的 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段写出函数 解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答. 【详解】依题意， ， 函数 的递减区间是 ， ， ， 于是 或 ， ， 即 ， ，解得 ，由 ，得 ，无解； 或 ， ，解得 ，由 ，得 ，则 或 ， 当 时， ，当 时， ，选项C 满足，ABD 不满足. 故选：C