专题9.3 一元一次不等式组【九大题型】（解析版）

专题93 一元一次不等式组【九大题型】 【人版】 【题型1 一元一次不等式组的概念】.....................................................................................................................1 【题型2 解一元一次不等式组】.............................................................................................................................3 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】............................................................................................................. 6 【题型4 根据一元一次不等式组的解集求参数值】..............................................................................................8 【题型5 根据不等式组的解集求参数范围】.......................................................................................................10 【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】...............................................................................................13 【题型7 利用整数解求字母取值范围】............................................................................................................... 16 【题型8 根据程序框图列不等式组】...................................................................................................................18 【题型9 不等式组中的新定义问题】...................................................................................................................21 【知识点 一元一次不等式组】 定义：由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组 组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解当它们没有公共部分时，我 们称这个不等式组无解 【题型1 一元一次不等式组的概念】 【例1】（2022·全国·七年级单元测试）下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） (1)¿ (2)¿(3)¿(4)¿ ．(3) B．(4) ．(1)、(3) D．(2)、(4) 【答】 【详解】根据一元一次不等式组的概念，可知（1）、（2）、（4）是一元一次不等式组， （3）中含有两个未知数，且最高次数为2，故不是一元一次不等式组 故选 【变式1-1】（2022·全国·七年级单元测试）写出解集是－1＜x≤3 的一个不等式组：______ __． 【答】¿（答不唯一） 【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小 大中间找”可知只要写2 个一元一次不等式x≤，x＞b，其中＞b 即可． 【详解】根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ¿．注意答不唯一． 1 故答为¿此题答不唯一． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的 简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）若mx－8≤4－2x 是关于x 的一元一次不等式， 则m 的取值是______． 【答】m≠－2 【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m 的求值． 【详解】mx－8≤4－2x， mx＋2x≤4＋8， (m＋2)x≤12， ∴m＋2≠0， 解得m≠－2， 故答为m≠－2． 【点睛】此题主要考察不等式的定义． 【变式1-3】（2022·河南郑州·八年级期末）小明、小林和小华三人在一起讨论一个一元一 次不等式组： 小明：它的所有解都为非负数； 小林：其中一个不等式的解集为x ≤4； 小华：其中有一个不等式在求解过程中需要改变不等号的方向． 请你写出一个同时符合上述3个条件的不等式组：_______________________． 【答】¿（不唯一） 【分析】根据一元一次不等式组的解的概念和不等式的基本性质求解可得． 【详解】解：符合上述3 个条件的不等式组可以是¿（不唯一）, 故答为：¿ 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解的 概念和不等式的基本性质 【题型2 解一元一次不等式组】 【例2】（2022·山东烟台·七年级期末）（1）解不等式组：{ 5 x−2>3( x+1) 1 2 x−1≤7−3 2 x （2）解不等式组：{ x+5<4 3 x+1 2 ≥2 x−1 1 【答】（1）5 2 <x ≤4；（2）x←1 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集即可得解； （2）分别求出每个不等式的解集即可得解． 【详解】（1）解：¿ 由①得：x>2.5 由②得：x⩽4 则不等式组的解集为5 2 <x ≤4 （2）解：¿ 由x+5<4，得x←1 由3 x+1 2 ≥2 x−1，得x ≤3 ∴原不等式组的解集为x←1． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤以及注意事项是解题的 关键． 【变式2-1】（2022·云南保山·七年级期末）若关于x 的不等式组¿无解，则m 的取值范围 是______． 【答】m≥4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组无解列出关于m 的不等式求解即 可． 【详解】解：由3x-3＜2x,得：x＜3， 由3x-m＞5，得：x＞m+5 3 ， ∵不等式组¿无解， ∴m+5 3 ≥3， 解得m≥4， 故答为：m≥4． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间 找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式2-2】（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）按要求完成下列各小题． (1)解方程组：¿ (2)解不等式组：¿，并在如图所示的数轴上表示不等式组的解集． 1 【答】(1)¿ (2)3＜x≤4，见解析 【分析】（1）利用加减消元法，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． （1） 解：¿ ①×2 得：6x+2y＝4③， ②+③得： 7x＝7， 解得：x＝1， 把x＝1 代入②得： 1 2 ﹣y＝3， 解得：y＝﹣1， ∴原方程组的解为：¿； （2） 解：¿， 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x≤4， ∴原不等式组的解集为：3＜x≤4， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，在数轴上表示不等式的解 集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式2-3】（2022·湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习）解不等式组¿，请按下列步 骤完成解答： (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； 1 (4)原不等式组的解集为 ． 【答】(1)x ≤3 (2)x>1 (3)见解析 (4)1<x ≤3 【分析】（1）按照一元一次不等式的解法即可得； （2）按照一元一次不等式的解法即可得； （3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得； （4）结合数轴，找出两个不等式解集的公共部分即可得不等式组的解集． （1） 解：x−7≤2−2 x①， 移项，得x+2 x ≤2+7， 合并同类项，得3 x ≤9， 系数化为1，得x ≤3， 即解不等式①，得x ≤3， 故答为：x ≤3． （2） 解：3 (x+1)<5 x+1②， 去括号，得3 x+3<5 x+1， 移项，得3 x−5 x←3+1， 合并同类项，得−2 x←2， 系数化为1，得x>1， 即解不等式②，得x>1， 故答为：x>1． （3） 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下： （4） 解：由数轴可知，原不等式组的解集为1<x ≤3， 故答为：1<x ≤3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 1 【题型3 求一元一次不等式组的整数解】 【例3】（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）不等式组{ 2 x−5<0 x+1 2 ≥1 所有整数解的和是_ _____． 【答】3 【分析】根据一元一次不等式的解法求出不等式组的解集，再求满足条件的整数解求和即 可． 【详解】解：{ 2 x−5<0① x+1 2 ≥1② 由①得x< 5 2， 由②得x ≥1， ∴不等式组的解集为1≤x< 5 2， ∴不等式组的整数解为1和2， ∴不等式组所有整数解得和为1+2=3， 故答为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解的和，熟练掌握一元一次不等式的解法，运 用“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的原则求不等式组的解集 是解决问题的关键． 【变式3-1】（2022·广西百色·七年级期末）不等式组¿的自然数解为_____． 【答】0，1 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据x 是自然数即可求解． 【详解】解：¿， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x＞-1． 所以原不等式组的解集为-1＜x＜2， 又x 为自然数， 故x=0，1． 故答为：0，1． 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理 解和掌握，能根据不等式组的解集确定特殊解是解此题的关键． 【变式3-2】（2022·辽宁辽阳·八年级期末）使不等式组¿成立的x的整数解的个数有______ 1 ___个． 【答】4 【分析】正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们的解集的交集，即为不等式组的 解集，再把解集中包含的整数写出即可． 【详解】解：¿ 解不等式①得，x＞−5 2． 解不等式②得，x ≤1． ∴原不等式组的解集是：−5 2 ＜x≤1． ∴原不等式组的整数解是： -2，-1，0，1．有4 个． 故答为：4 【点睛】本题考查了不等式组的解法，不等式组的整数解．先分别解两个不等式，求出它 们的解集，再求两个不等式解集的公共部分不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小 取小，大小小大取中间，大大小小无解． 【变式3-3】（2022·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）不等式组¿的最大整数 解是_____． 【答】0 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答即可． 【详解】解不等式5x-5＜0 得x＜1， 解不等式3x≥0 得x≥0， 所以不等式组的解集是0≤x＜1， 所以最大整数解是0， 故答为：0． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组 的解集是解此题的关键． 【题型4 根据一元一次不等式组的解集求参数值】 【例4】（2022·山东菏泽·八年级期末）已知不等式组¿的解集是−3<x<2，则(a−1) (b+1) 是（ ） ．4 B．－4 ．7 D．－7 【答】B 【分析】先解不等式组中每一个不等式，再根据不等式组的解集求出、b 的值，再代入计 算即可． 【详解】解：¿， 1 解①得：x< a+1 2 ， 解②得：x>2b+3， ∵¿的解集是−3<x<2， ∴a+1 2 =2，2b+3=-3， 解得：=3，b=-3， ∴(a−1) (b+1)=(3-1)(-3+1)=-4， 故选：B． 【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，熟练掌握不等式组的解集 和解不等式组是解题的关键． 【变式4-1】（2022·安徽宿州·八年级期末）关于x的不等式组¿的解集为−3<x<3，则a， b的值分别是多少？ 【答】a，b的值分别是-3 和3． 【分析】求出不等式组¿的解集，结合题意，即可列出关于，b 的二元一次方程组，再解出， b 的值即可． 【详解】解：¿ 解不等式①，得：x>2a+b， 解不等式②，得：x<2b+a． ∵关于x的不等式组¿的解集为−3<x<3， ∴¿， 解得：¿． 故a，b的值分别是-3 和3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组的应用．掌握求一元一次不等式 组的方法和步骤是解题关键． 【变式4-2】（2022·内蒙古·满洲里市第三中学七年级期末）已知不等式组¿的解集为 −1＜x＜2，则(m+n) 2013=¿（ ） ．2013 B．-2013 ．-1 D．1 【答】D 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、的方程，然后求 出m、，最后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：解不等式x＋2＞m＋得：x＞m＋−2， 解不等式x−1＜m−1 得：x＜m， ∵不等式组的解集为−1＜x＜2， 1 ∴m+n−2=−1，m=2， ∴n=−1， ∴m＋＝1， ∴(m+n) 2013=1 2013=1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集列出关于m、的方程 是解题的关键． 【变式4-3】（2022·河南·鹿邑县基础育研究室七年级期末）已知关于x的不等式组¿的整数 解是−1，0，1，2，若m、n为整数，则n−m的值为______． 【答】5 或6 【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、的取值范围，结合m、为整数 可以确定m、的值，代入计算可得． 【详解】解：解不等式2x﹣m≥0，得：x≥1 2m， 解不等式x﹣＜0，得：x＜， ∵不等式组的整数解是﹣1，0，1，2， 2 ∴﹣＜1 2m≤ 1 ﹣，2<≤3， 即﹣4＜m≤ 2 ﹣，2<≤3， ∵m，为整数， ∴＝3，m＝﹣3 或m＝﹣2， 当m＝﹣3 时，﹣m＝3﹣（﹣3）＝6； 当m＝﹣2 时，﹣m＝3﹣（﹣2）＝5； 综上，﹣m 的值为5 或6， 故选：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础， 熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关 键． 【题型5 根据不等式组的解集求参数范围】 【例5】（2022·四川·宜宾市叙州区龙文学校七年级期中）如果不等式组¿的整数解仅为1， 2，3，那么适合这个不等式组的整数、b 的组合情况(a,b)共有（ ）种． ．12 B．7 ．9 D．16 【答】 【分析】首先解不等式组¿，则不等式组的解集即可利用，b 表示，根据不等式组的整数解 1 仅为1，2，3 即可确定，b 的范围，即可确定，b 的整数解，即可求解． 【详解】解：¿ 由①得：x ≥a 4 ， 由②得：x< b 3 ， ∴ 不等式组的解集为：a 4 ≤x< b 3 , ∵不等式组¿的整数解仅为1、2、3， 在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图， 根据数轴可得：0＜a 4 ≤1，3＜b 3 ≤4． ∴由0＜a 4 ≤1，得0＜≤4， =1 ∴ ，2，3，4，共4 个． 由3＜b 3 ≤4 得9＜b≤12， ∴b=10，11，12．共3 个． ∴适合这个不等式组的整数，b 的有序数对（，b）共有4×3=12（对）． 故选：． 【点睛】考查了一元一次不等式组的整数解，注意各个不等式的解集的公式部分就是这个 不等式组的解集．但本题是要求整数解的，所以要找出在这范围内的整数．由数轴确定范 围时能否取等号是解题的关键和易错点． 【变式5-1】（2022·贵州黔西·七年级期末）若关于x 的不等式组¿的解集表示在数轴上如图 所示．则的取值范围是（ ） ．a>4 B．a⩾4 ．a>6 D．a⩾6 【答】 【分析】分别求出每一个不等式的解集．再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找， 大大小小找不到”结合数轴即得出关于的不等式，解出，即可选择． 【详解】解：¿ 解不等式①，得x ≤3， 解不等式②，得x ≥a−3． 1 由数轴知a−3>3， 解得：a>6， 故选． 【点睛】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数．掌握求不等式组解集的方法“同大 取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键． 【变式5-2】（2022·山东泰安·七年级期末）关于x 的不等式组{ 2 x−3≥1 −x 4 +1≤a−1 2 的解集是 x ≥2，则的取值范围是______． 【答】a≥2 【分析】首先解出两个不等式的解集，根据题目该不等式组的解集是x ≥2，列出关于的不 等式，即可求解． 【详解】解：∵2 x−3≥1 ∴x ≥2 ∵−x 4 +1≤a−1 2 ∴x ≥6−2a 又∵解集为x ≥2 则6−2a≤2 即a≥2 故答为：a≥2 【点睛】本题考查了解不等式组，不等式组解集的情况确定参数范围，熟练掌握不等式组 的解集的确定是解题的关键．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小 小找不到，从而确定不等式组的解集． 【变式5-3】（2022·湖北·武汉外国语学校美加分校七年级阶段练习）已知关于x的不等式 组−1<2 x+b<1的解都能使0<x<2成立，则b满足的条件是_________． 【答】-3≤b≤-1 【分析】根据不等式的性质得出x 的解集，进而解答即可． 【详解】解：∵-1＜2x+b＜1 ∴−1−b 2 <x< 1−b 2 ， ∵关于x 的不等式组-1＜2x+b＜1 的解满足0＜x＜2， ∴¿， 解得：-3≤b≤-1， 故答为：-3≤b≤-1． 1 【点睛】此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x 的解集． 【题型6 方程组的解构造不等式组求字母范围】 【例6】（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组¿的 解关于x，y满足x<0，y ≤2，则