专题9.2 一元一次不等式【七大题型】（解析版）

专题92 一元一次不等式【七大题型】 【人版】 【题型1 一元一次不等式的概念】.........................................................................................................................1 【题型2 一元一次不等式的解法】.........................................................................................................................3 【题型3 一元一次不等式的整数解问题】............................................................................................................. 6 【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】.........................................................................................................8 【题型5 一元一次不等式的最值问题】............................................................................................................... 11 【题型6 含绝对值的一元一次不等式】............................................................................................................... 13 【题型7 方程与不等式的综合求参数范围】.......................................................................................................15 【知识点 一元一次不等式】 （1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的 不等式叫做一元一次不等式能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称 不等式的解 （2）解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1 【题型1 一元一次不等式的概念】 【例1】（2022·安徽·灵璧县黄湾中学八年级阶段练习）下列不等式中是一元一次不等式的 是( ) ①2x-1＞1；②3+1 2x＜0；③x≤24；④1 x ＜5；⑤1＞-2；⑥x 3 -1＜0 ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】 【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确； （2）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确； （3）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确； (4) 1 x 是分式，故此不等式不是一元一次不等式，故本小题错误； (5) 此不等式不含未知数,不是一元一次不等式，故本小题错误； (6)) 符合一元一次不等式的定义，故本小题正确； 1 故选: 【点睛】本题考查的是一元一次不等式，熟知含有一个未知数，未知数的次数是1 的不等 式，叫做一元一次不等式． 【变式1-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）请写出一个解集是x＜1 的一元一次不等式：______． 【答】x-1＜0（答不唯一） 【分析】根据一元一次不等式的求解逆用，把1 进行移项就可以得到一个；也可以对原不 等式进行其它变形，所以答不唯一． 【详解】移项，得 x-1＜0（答不唯一）． 【点睛】本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好． 【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）当时k ______时，不等式(k−2)x|k|−1+2>0 是 一元一次不等式 【答】-2 【详解】根据用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0， 左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式，可由系数不为0，得k-2≠0，解得k≠2，由未 知数的次数为1，得|k|-1=1，解得k=±2，因此可得k=-2 故答为-2 【变式1-3】（2022·山东·聊城市茌平区振兴街道中学八年级阶段练习）若不等式3（x﹣ 1）≤mx2+x 3 ﹣是关于x 的一元一次不等式，求m、的取值． 【答】m=0， ≠3． 【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出 m、的取值 【详解】解∵不等式3（x 1 ﹣）≤mx2+x 3 ﹣是关于x 的一元一次不等式， ∴二次项系数为零，一次项系数不为零， 又∵3（x 1 ﹣）≤mx2+x 3 ﹣化简为: mx2+(-3)x≥0 ∴解得：m=0，﹣3≠0． 故m=0，≠3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为 1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键 【题型2 一元一次不等式的解法】 【例2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已知2 x−1 3 +1≥x−5−3 x 2 ，则代 1 数式|2−x|−|x+3|最大值与最小值的差是________． 【答】104 11 【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要 改变．在去绝对值符号时注意：当为正时，||=；当为0 时，||=0；当为负时，||=-． 【详解】解：2 x−1 3 +1≥x−5−3 x 2 ， 去分母得：2（2 x−1）+6≥6 x−3（5−3 x ）， 去括号得：4 x−2+6≥6 x−15+9 x， 移项得：4 x−6 x−9 x ≥−15+2−6， 合并同类项得：−11x ≥−19， 解不等式组得：x ≤19 11； （1）当−3≤x≤19 11时，|2−x|−|x+3|=2−x−(x+3)=2−x−x−3=−1−2 x， 当x = 19 11时有最小值−49 11 ， 当x =−3时有最大值5； （2）当x＜−3时，|2−x|−|x+3|=2−x+(x+3)=2−x+x+3=5， ∴当x＜−3时|2−x|−|x+3|的值恒等于5（最大值）； ∴最大值与最小值的差是5−( −49 11 )=5+ 49 11 = 104 11 故答为：104 11 【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等 式的求解步骤，绝对值的性质． 【变式2-1】（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）不等式5x-1≤2x+5 的解 集在数轴上表示正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】不等式移项合并，把x 系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式移项合并得：3x≤6， 解得：x≤2， 1 表示在数轴上，如图所示： ， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算 法则是解本题的关键． 【变式2-2】（2022·山东淄博·七年级期末）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)5 x−9<2 x−3 (2)2 x 3 −6 x−1 6 ≤1 【答】(1)x<2，见解析 (2)x ≥−5 2，见解析 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （1） 解：5 x−9<2 x−3， 5x-2x<-3+9， 3x<6， x<2； 解集在数轴上表示为： （2） 解：2 x 3 −6 x−1 6 ≤1， 4x-(6x-1)≤6， 4x-6x+1≤6， 4x-6x≤6-1， -2x≤5， x≥−5 2． 解集在数轴上表示为： 1 【点睛】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解 题的关键． 【变式2-3】（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）下面是小征同学求不等式4 x−1 3 - 1 2(3x-2)≥5 12解集并在数轴上表示解集的解答过程： 第一步：1 3(4x-1)-1 2(3x-2)≥5 12； 第二步：1 3×4x-1 3×1 ≥5 12； 第三步：16x-4-18x+12≥5； 第四步：-2x≥-3； 第五步： ． (1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整； (2)第二步变形的依据是 ； (3)第三步变形的目的是 ． 【答】(1)见解析 (2)乘法分配律 (3)去分母 【分析】（1）根据不等式的解法解答； （2）根据乘法分配律解答； （3）根据不等式的性质求解即可． （1） 第一步：1 3(4x-1)-1 2(3x-2)≥5 12； 第二步：1 3×4x-1 3×1-1 2×3x+1 2×2≥5 12； 第三步：16x-4-18x+12≥5； 第四步：-2x≥-3； 第五步：x≤3 2． 1 在数轴上表示解集： （2） 第二步变形的依据是乘法分配律， 故答为：乘法分配律； （3） 第三步变形的目的是去分母， 故答为：去分母． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键， 尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时不等号要改变． 【题型3 一元一次不等式的整数解问题】 【例3】（2022·贵州黔西·七年级期末）若不等式3( x+1)−2⩽4( x−3)+1的最小整数解 是方程1 2 x−m=5的解，则m的值为（ ） ．1 B．−11 ．3 2 D．−23 2 【答】 【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后 把x＝12 代入方程中进行计算即可解答． 【详解】解：3( x+1)−2⩽4( x−3)+1， 3 x+3−2⩽4 x−12+1， 3 x−4 x⩽−12+1−3+2， −x⩽−12， x⩾12， ∴该不等式的最小整数解为12， ∴把x=12代入方程1 2 x−m=5中， 1 2 ×12−m=5， 6−m=5， m=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算 1 是解题的关键． 【变式3-1】（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）不等式3 4 x<1的非负整数解是（ ） ．0 B．1 ．0 和1 D．1 和2 【答】 【分析】求出不等式的解集，，然后找出整数解，即可求解． 【详解】解：∵3 4 x<1， ∴x< 4 3 ， ∴不等式3 4 x<1的非负整数解是：0 和1． 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决的关键是正确解 出不等式的解集，然后根据限制条件进行解答． 【变式3-2】（2022·湖南衡阳·七年级期末）满足不等式2n−5<5−2n的正整数有_______ ____、___________． 【答】 1 2 【分析】根据一元一次不等式的解法求出n的范围，进而求出满足条件的正整数即可． 【详解】解：2n−5<5−2n， 移项得2n+2n<5+5， 合并同类项得4 n<10， 系数化为1 得n<2.5， ∵ n取正整数， ∴n=1或2， 故答为：1、2． 【点睛】本题考查求一元一次不等式的正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决 问题的关键． 【变式3-3】（2022·山东枣庄·八年级期中）对于任意实数、b，定义一种运算： a※b=ab−a+b−2．例如，2※5=2×5−2+5−2=11．请根据上述的定义解决问题： 若不等式3※ x<4，则不等式的正整数解是______． 【答】1，2 【分析】根据题中的新定义运算列出不等式并求解． 【详解】解：∵a※b=ab−a+b−2 ∴3※ x=3 x−3+x−2 1 ∵3※ x<4 ∴3 x−3+x−2<4 4 x<9 x< 9 4 ∴该不等式的正整数解为：1，2． 故答为：1，2． 【点睛】本题主要考查了新定义运算以及解一元一次不等式，熟练掌握新定义运算和解一 元一次不等式是解答本题的关键． 【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】 【例4】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知关于x 的不等式a−a 5 x< x 5 −1． (1)当＝2022 时，求此不等式解集． (2)为何值，该不等式有解，并求出其解集． 【答】(1)x>5 (2)当a≠−1时，原不等式有解，当a>−1时，原不等式的解集为x>5；当a←1时，原不等 式的解集为x<5． 【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可； （2）同（1）将原不等式化为x (a+1) 5 >a+1，据此求解即可． （1） 解：∵a−a 5 x< x 5 −1， ∴x 5 + ax 5 >a+1， ∴x (a+1) 5 >a+1， ∵a=2022， ∴a+1>0， ∴x 5 >1， ∴x>5； （2） 解：由题意得原不等式可以化成x (a+1) 5 >a+1， 1 ∴当a+1≠0，即a≠−1时，原不等式有解， 当a+1>0，即a>−1时，原不等式的解集为x>5； 当a+1<0，即a←1时，原不等式的解集为x<5． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． 【变式4-1】（2022·吉林吉林·七年级期末）关于x 的不等式2 x−a≥1的解集如图所示，则 的值为（ ） ．3 B．2 ．1 D．-1 【答】 【分析】先求出不等式的解集为x ≥a+1 2 ，再根据数轴可得x ≥1，从而可得a+1 2 =1，解 方程即可得． 【详解】解：解关于x的不等式2 x−a≥1得：x ≥a+1 2 ， 由数轴可知，这个不等式的解集为x ≥1， 则a+1 2 =1， 解得a=1， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式 的解法是解题关键． 【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知 的解集中的最大整数为3，则 的取值范围是________． （2）已知 的解集中最小整数为-2，则的取值范围是________． 【答】 【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答． （2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答． 【详解】解：（1）∵ 的解集中的最大整数为3， ∴ ， 故答为： （2）∵ 的解集中最小整数为-2， ∴ ， 故答为： ． 1 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键． 【变式4-3】（2022·湖北随州·七年级期末）已知关于x 的不等式1−x 3 < mx 3 −m． （1）当m=1时，求该不等式的解集； （2）若该不等式有解，求m 应满足的条件，并求出不等式的解集 【答】（1）x>3；（2）当m≠−1时，原不等式有解；当m>−1时，原不等式的解集为 x>3；当m←1时，原不等式的解集为x<3． 【分析】（1）当m=1时，通过求解不等式，即可得到答； （2）对不等式进行去分母、移项、合并同类项后，根据一元一次不等式的性质，结合m 的不同取值范围，即可完成求解． 【详解】（1）当m=1时，1−x 3 < x 3 −1 ∴x>3； （2）去分母得：3−x<mx−3m ∴(m+1)x>3(m+1) ∴当m≠−1时，原不等式有解 当m>−1时，即m−1>0，原不等式的解集为x>3； 当m←1时，即m−1<0，原不等式的解集为x<3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的知识；解题的关键是 熟练掌握一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的性质，从而完成求解． 【题型5 一元一次不等式的最值问题】 【例5】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组¿的解满足 x+ y>1，则满足条件的k的最小整数是______． 【答】3 【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出k 的范围，确定出k 的最小整 数解即可． 【详解】解：¿， ①+②，得：3x+3y=3k－3， 则x+y=k－1， ∵x+y＞1， ∴k－1＞1， 解得：k＞2， 则满足条件的k 的最小整数为3， 故答为：3． 1 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算 法则是解本题的关键． 【变式5-1】（2022·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）八年级期中）一元一次 不等式x+1 2 >x+ 2 3的最大整数解为_____________； 【答】-1 【分析】先化简不等式，再求解即可． 【详解】解：x+1 2 >x+ 2 3， 3 x+3>6 x+4 −3 x>1 x←1 3， 则最大整数解为：-1． 故答为：-1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整 数解 【变式5-2】（2022·江苏省兴化市大垛中心校七年级期末）已知关于x的方程3k−5 x=−9 的解是非负数，则k的最小值为________． 【答】−3 【分析】把k当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出k的 范围即可． 【详解】解：方程3k−5 x=−9， 解得：x=3k+9 5 ， ∵关于x的方程3k−5 x=−9的解是非负数， ∴3k+9 5 ≥0， 解得：k ≥−3， ∴k的最小值为−3． 故答为：−3． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键． 【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）若不等式 中的最大值是m，不等式 中的最小值为，则不等式 的解集是________． 1 【答】 【分析】解不等式2x-1≤13 得到x 的范围，就可以求出m 的值；同理可以求出的值，这样 所求的不等式就是已知的，就可以解不等式． 【详解】解：解不等式 ， 解得 ， 则 ． 解不等式 ， 解得 ， 则 ． ∴不等式 为： ， 解得： ． 故答为： 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用不等式的最值求相关系数，正确的理解不等 式的解是本题的关键． 【题型6 含绝对值的一元一次不等式】 【例6】（2022·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式 a≥|