专题27.3 相似三角形的判定【十大题型】（解析版）

专题273 相似三角形的判定【十大题型】 【人版】 【题型1 相似三角形的判定条件】.........................................................................................................................2 【题型2 格点中的相似三角形】.............................................................................................................................5 【题型3 相似三角形的证明】.................................................................................................................................7 【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】....................................................................................12 【题型5 相似三角形在坐标系中的运用】........................................................................................................... 18 【题型6 确定相似三角形的对数】.......................................................................................................................23 【题型7 相似三角形中的多结论问题】............................................................................................................... 27 【题型8 相似三角形与动点的综合】...................................................................................................................31 【题型9 相似与最值】........................................................................................................................................... 34 【题型10 旋转型相似】.......................................................................................................................................... 39 【知识点1 相似三角形的判定】 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相 似． 如图，如果 ， ，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么 这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相 似． 如图，如果 ，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且 对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两 个三角形相似．如图，如果 ， ， 则 ． 【题型1 相似三角形的判定条件】 【例1】（2022 秋•汉寿县期末）如图，若点P 为△B 的边B 上一点（B＞），下列条件不能 1 判定△B∽△P 的是（ ） ．∠B＝∠P B．∠B＝∠P ．AC AB = AP AC D．PC CB = AC AB 【分析】欲证△P∽△B，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠＝∠， 此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【解答】解：、∠B＝∠P，因为∠＝∠，所以△B∽△P，不符合题意； B、∠B＝∠P，因为∠＝∠，所以△B∽△P，不符合题意； 、AC AB = AP AC ，因为∠＝∠，所以△B∽△P，不符合题意； D、PC CB = AC AB ，因为∠＝∠，而P 和B 的夹角为∠，所以不能判定△B∽△P，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2022 春•泰安期末）如图，△B，B＝12，＝15，D 为B 上一点，且D＝8，在 上取一点E，使以、D、E 为顶点的三角形与B 相似，则E 等于（ ） ．32 5 或15 2 B．10 或15 2 ．32 5 或10 D．以上答都不对 【分析】分情况讨论 【解答】解：∵△B 与△DE 相似， ∴AD AB = AE AC 或AD AC = AE AB ， ∵D＝8，B＝12，＝15， ∴8 12= AE 15 或8 15= AE 12 ， 解得：E＝10 或64． 故选：． 【变式1-2】（2022 秋•合肥期末）如图，D 是Rt△B 斜边B 上的中线，过点作E⊥D 交B 的 1 延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△EB 与△D 相似的是（ ） ．∠B＝2∠ B．点B 是DE 的中点 ．E•D＝•B D．CE CA = BE AD 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：∵E⊥D， ∴∠ED＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠BE＝∠D＝90°﹣∠BD， ∵D 是Rt△B 斜边B 上的中线， ∴D＝DB＝D， ∴∠D＝∠， ∴∠BE＝∠D＝∠， ∵∠B＝2∠，∠B+∠＝90°， ∴∠＝∠BE＝∠D＝30°，∠B＝60°， ∴∠E＝∠B﹣∠BE＝30°， ∴∠BE＝∠D＝∠E＝∠， ∴△EB∽△D， ∴不符合题意， ∵点B 是DE 的中点， ∴BE＝B， ∴∠BE＝∠E， ∴∠BE＝∠E＝∠D＝∠， ∴△EB∽△D， ∴B 不符合题意， ∵E•D＝•B， ∴CE CA = CB CD ， ∵∠BE＝∠D， ∴△EB∽△D， ∴不符合题意． 1 由CE CA = BE AD ，由于∠E 和∠不能判断相等，故不能判断△EB 与△D 相似， ∴D 符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（2022 秋•通州区期末）王华在学习相似三角形时，在北京市义务育科书九年 级上册第31 页遇到这样一道题，如图1，在△B 中，P 是边B 上的一点，连接P，要使 △P∽△B，还需要补充的一个条件是 ∠ P ＝∠ B （或∠ P ＝∠ B ） ，或 2 ＝ P • B ． 请回答： （1）王华补充的条件是 ∠ P ＝∠ B （或∠ P ＝∠ B ） ，或 2 ＝ P • B ． （2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题： 如图2，在△B 中，∠＝30°，2＝B2+B•B．求∠的度数． 【分析】（1）由∠＝∠，当∠P＝∠B，或∠P＝∠B；或AC AB = AP AC 时，△P∽△B； （2）延长B 到点D，使BD＝B，连接D，由已知条件得出证出AC AD = AB AC ，由∠＝∠， 证出△B∽△D，得出对应角相等∠B＝∠D，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理 得出∠B+∠BD+∠D+∠＝180°，得出∠B＝50°即可． 【解答】解：∵∠＝∠， ∴当∠P＝∠B，或∠P＝∠B； 或AC AB = AP AC ，即2＝P•B 时，△P∽△B； 故答为：∠P＝∠B（或∠P＝∠B），或2＝P•B； （1）王华补充的条件是：∠P＝∠B（或∠P＝∠B）；或2＝P•B；理由如下： ∵∠＝∠， ∴当∠P＝∠B，或∠P＝∠B； 或AC AB = AP AC ，即2＝P•B 时，△P∽△B； 故答为：∠P＝∠B（或∠P＝∠B），或2＝P•B； （2）延长B 到点D，使BD＝B，连接D，如图所示： ∵2＝B2+B•B＝B（B+B）＝B（B+BD）＝B•D， 1 ∴AC AD = AB AC ， 又∵∠＝∠，∴△B∽△D， ∴∠B＝∠D， ∵B＝BD， ∴∠BD＝∠D， 在△D 中，∠B+∠BD+∠D+∠＝180°， 3 ∴∠B+30°＝180°， ∴∠B＝50°． 【题型2 格点中的相似三角形】 【例2】（2022 春•文登区期末）如图，在正方形格中有5 个格点三角形，分别是：①△B， ②△D，③△DE，④△EF，⑤△G，其中与⑤相似的三角形是（ ） ．①③ B．①④ ．②④ D．①③④ 【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断． 【解答】解：由图形知，⑤中∠G＝135°， 而①②③④中，只有①∠B＝135°和③∠DE＝135°， 再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③， 故选：． 【变式2-1】（2022 秋•雄县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 （阴影部分）与△B 相似的是（ ） 1 ． B． ． D． 【分析】利用△B 中，∠B＝135°，¿ ❑ √2，B＝2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对 应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【解答】解：在△B 中，∠B＝135°，¿ ❑ √2，B＝2， 在B、、D 选项中的三角形都没有135°，而在选项中，三角形的钝角为135°，它的两边 分别为1 和❑ √2， 因为2 ❑ √2= ❑ √2 1 ，所以选项中的三角形与△B 相似． 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•青田县期末）如图，四个三角形的顶点都在方格子的格点上，下列 两个三角形中相似的是（ ） ．①④ B．①③ ．②③ D．②④ 【分析】可分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【解答】解：第一个三角形的边长分别为：❑ √10，❑ √5，5； 第二个三角形的边长分别为：❑ √5，2❑ √2，❑ √17； 第三个三角形的边长分别为：2，❑ √2，❑ √10； 第四个三角形的边长分别为：3，❑ √2，❑ √5； 对应边成比例的是①和③． 故选：B． 【变式2-3】（2022 秋•法库县期末）如图，在5×6 的方格纸中，画有格点△EFG，下列选 项中的格点，与E，G 两点构成的三角形中和△EFG 相似的是（ ） ．点 B．点B ．点 D．点D 1 【分析】根据格图形可得所给△EFG 是两直角边分别为1，2 的直角三角形，然后利用相 似三角形的判定方法选择答即可． 【解答】解：观察图形可得△EFG 中，直角边的比为FG EF =1 2， 观察各选项，EG DG = ❑ √5 2❑ √5=1 2，只有D 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：D． 【题型3 相似三角形的证明】 【例3】（2022•淳安县一模）如图，在△B 中，D、E 分别是边、B 的中点，F 是B 延长线 上一点，∠F＝∠B． （1）若B＝10，求FD 的长； （2）若＝B，求证：△DE∽△DFE． 【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥B 以及DE 的长，再证明∠DE＝∠F 即可； （2）根据等腰三角形的性质得到∠＝∠B，进而求出∠DE＝∠F 并结合∠ED＝∠DEF 即可 证明△DE∽△DFE． 【解答】解：（1）∵D、E 分别是、B 的中点， ∴DE∥B，DE¿ 1 2B＝5， ∵DE∥B， ∴∠DE＝∠B，而∠F＝∠B， ∴∠DE＝∠F， ∴DF＝DE＝5； （2）∵＝B， ∴∠＝∠B， ∵∠DE＝∠，∠ED＝∠B， ∴∠DE＝∠B， ∵∠B＝∠F， ∴∠DE＝∠F， ∵∠ED＝∠DEF， ∴△DE∽△DFE． 1 【变式3-1】（2022 秋•临安区期末）如图，点B、D、E 在一条直线上，BE 交于点F， AB AD = AC AE ，且∠BD＝∠E． （1）求证：△B∽△DE； （2）求证：△EF∽△BF． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质定理得到∠＝∠E，结合图形，证明即可． 【解答】（1）∵∠BD＝∠E ∴∠BD+∠D＝∠E+∠D 即∠B＝∠DE 在△B 和△DE 中 AB AD = AC AE ，∠B＝∠DE， ∴△B∽△DE； （2）∵△B∽△DE， ∴∠＝∠E、 在△EF 和△BF 中，∠＝∠E，∠FE＝∠BF， ∴△EF∽△BF． 【变式3-2】（2022 秋•下城区期末）已知：如图，为△B 内一点，'，B'，'分别是，B，上的 点，且'：'＝B'：BB'＝1：2，'：'＝2：1，且B＝6． （1）求证：△'B'∽△B； （2）以，B'，'为顶点的三角形是否可能与△B 相似？如果可能，求的长；如果不可能， 请说明理由． 1 【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明； （2）要使以，B'，'为顶点的三角形与△B 相似，只要满足OB' OC =OC ' OB ，想办法构建方 程即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵′：′＝B′：BB′＝1：2， ′ ∴：＝B′：B＝1：3， ′ ∵∠B′＝∠B， ' ∴△B'∽△B； （2）解：可能相似．理由如下： ' ∵：'＝B'：BB'＝1：2，B＝6， ∴B′＝2， ' ∵：'＝2：1，∠B＝∠′B′，设′＝x，′＝2x，＝3x， 要使以，B'，'为顶点的三角形与△B 相似， 只要满足OB' OC =OC ' OB ， ∴2 3 x =2 x 6 ， ∴x＝±❑ √2 ∵x＞0， ∴x¿ ❑ √2 ∴＝3❑ √2． 【变式3-3】（2022 春•仪征市校级期末）如图，△B、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形， ∠B＝∠PDE＝90°． （1）若将△DEP 的顶点P 放在B 上（如图1），PD、PE 分别与、B 相交于点F、G．求 证：△PBG∽△FP； （2）若使△DEP 的顶点P 与顶点重合（如图2），PD、PE 与B 相交于点F、G．试问 △PBG 与△FP 还相似吗？为什么？ 1 【分析】（1）如图1，先根据等腰直角三角形的性质得∠B＝∠＝∠DPE＝45°，再利用 平角定义得到∠BPG+∠PF＝135°，利用三角形内角和定理得到∠BPG+∠BGP＝135°，根 据等量代换得∠BGP＝∠PF，加上∠B＝∠，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相 似即可得到结论； （2）如图2，由于∠B＝∠＝∠DPE＝45°，利用三角形外角性质得∠BGP＝∠+∠PG＝45° +∠G，而∠PF＝45°+∠G，所以∠GB＝∠PF，加上∠B＝∠，于是可判断△PBG∽△FP． 【解答】（1）证明：如图1， ∵△B、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠＝∠DPE＝45°， ∴∠BPG+∠PF＝135°， 在△BPG 中，∵∠B＝45°， ∴∠BPG+∠BGP＝135°， ∴∠BGP＝∠PF， ∵∠B＝∠， ∴△PBG∽△FP； （2）解：△PBG 与△FP 相似．理由如下： 如图2，∵△B、△DEP 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠＝∠DPE＝45°， ∵∠BGP＝∠+∠PG＝45°+∠G， ∠PF＝∠FPG+∠G＝45°+∠G， ∴∠GB＝∠PF， ∵∠B＝∠， ∴△PBG∽△FP． 1 【题型4 利用相似三角形的判定探究线段之间的关系】 【例4】（2022 秋•上城区期末）四边形BD 中，点E 在边B 上，连接DE，E． （1）若∠＝∠B＝∠DE＝50°，找出图中的相似三角形，并说明理由； （2）若四边形BD 为矩形，B＝5，B＝2，且图中的三个三角形都相似，求E 的长． （3）若∠＝∠B＝90°，D＜B，图中的三个三角形都相似，请判断E 和BE 的数量关系并 说明理由． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理推出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可； （3）分为两种情况，化成图形，再根据相似三角形的性质求出即可． 【解答】解：（1）△DE∽△EB， 理由是：∵∠＝∠DE＝50°， ∴∠DE+∠DE＝180°﹣∠＝130°，∠DE+∠EB＝180°﹣∠DE＝130°， ∴∠DE＝∠EB， ∵∠＝∠B， ∴△DE∽△EB； （2） 设E＝x，则BE＝5﹣x， ∵∠DE＜90°，∠EB＜90°， ∴∠DE＝90°， ∴△DE∽△EB， 1 ∴AD AE = BE BC ， 即2 x =5−x 2 ， 解得：x＝1 或4， 即E＝1 或4； （3）E＝BE 或BE＝2E， 理由是：① 当∠＝∠B＝∠DE＝90°时，∠DE≠∠EB，可得∠DE＝∠BE， 所以△DE∽△DE∽△EB， ∴DE EC = AD AE ，DE EC = AE BC = AD BE ， ∴AD EB = AD AE ，即BE＝E； ② 当∠DE≠90°时， ∵△DE∽△BE，∠DE＝∠EB， ∴DE EC = AE BE = AD BC ＜1， ∴DE＜E，则∠DE＞∠ED，∠DE＝90°， ∵∠DE≠∠EB， ∴∠DE＝∠DE＝∠EB＝60°， ∴AE DE = DE EC = BE CE =1 2， 1 ∴BE＝2E． 【变式4-1】（2022 秋•德清县期末）如图，将矩形BD 沿M 折叠，使点D 落在B 边上的点 E 处，若△EM 与△EM 相似，则B 和B 的数量关系为 B ¿ ❑ √3 2 B ． 【分析】利用折叠的性质∠ME＝∠D＝90°，∠DM＝∠EM，ME＝MD，则∠＝∠ME，根据 三角形相似的判定方法，当∠EM＝∠EM 时，△EM 与△EM 相似，则E∥M，不合题意舍去； 当∠EM＝∠ME 时，△EM 与△EM 相似，∠ME＝∠EM，此时∠DM＝∠EM＝∠ME＝60°，利 用含30 度的直角三角形三边的关系得到MD¿ ❑ √3 3 D＝EM，M¿ ❑ √3 6 D，则D¿ ❑ √3 2 D，从 而得到B 和B 的数量关系． 【解答】解：∵矩形BD 沿M 折叠，使点D 落在B 边上的点E 处， ∴∠ME＝∠D＝90°，∠DM＝∠EM，ME＝MD， ∴∠＝∠ME， 当∠EM＝∠EM 时，△EM 与△EM 相似，则E∥M，不合题意舍去； 当∠EM＝∠ME 时，△EM 与△EM 相似，∠ME＝∠EM，此时∠DM＝∠EM＝∠ME＝60°， 在Rt△DM 中，MD¿