专题11.3 三角形的外角【十大题型】（解析版）

专题113 三角形的外角【十大题型】 【人版】 【题型1 三角形的外角】.........................................................................................................................................1 【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】.................................................................................................. 3 【题型3 三角形的外角性质（求角）】................................................................................................................. 5 【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】.....................................................................................................7 【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】.....................................................................................................9 【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】.......................................................................................................11 【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】.......................................................................................................13 【题型8 三角形的外角性质（折叠问题）】.......................................................................................................16 【题型9 三角形的外角性质（内外角平分线模型）】.......................................................................................19 【题型10 三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】..............................................................................23 【知识点1 三角形的外角】 三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 【题型1 三角形的外角】 【例1】（2022•海沧区期末）如图，在△B 中，点D，E 分别是边B，B 上的点，连接E 和 DE，则下列是△BDE 的外角的是（ ） ．∠ED B．∠E ．∠DE D．∠BE 【分析】根据三角形外角的定义可判断求解． 【解答】解：由题意得，∠DE，∠DE 是△BDE 的外角． 故选：． 【变式1-1】（2022•思明区校级期末）如图，四边形BD 的对角线，BD 交于点，E 是B 边 上一点，连接E，E，则下列角中是△E 的外角的是（ ） ．∠EB B．∠D ．∠E D．∠E 1 【分析】根据三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角解答即可． 【解答】解：△E 的外角是∠E， 故选：D． 【变式1-2】如图，有 8 个三角形，∠1 是 △ BD 的外角，∠DB 是 △ DE 的外角． 【分析】根据三角形的定义数出三角形的个数，由外角的定义找出三角形的外角． 【解答】解：图中的三角形有：△BD，△DE，△BE，△BD，△DE，△BE，△B，△D，共8 个三角形． 1 ∠是△BD 的外角，∠DB 是△DE 的外角． 故空中填：8，△BD，△DE． 【变式1-3】（2022•江北区校级月考）如图，在∠1、∠2、∠3 和∠4 这四个角中，属于△B 外 角的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断． 【解答】解：属于△B 外角的有∠4 共1 个． 故选：． 【知识点2 三角形的外角性质】 ①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角 形的一个外角大 于和它不相邻的任何一个内角． 【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】 【例2】（2022•通川区期末）如图，∠、∠1、∠2 的大小关系是（ ） 1 ．∠＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠ ．∠＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠＞∠1 【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答． 【解答】解：∵∠1 是三角形的一个外角，∴∠1＞∠， 又∵∠2 是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1， 2 ∠＞∠1＞∠． 故选：B． 【变式2-1】（2022•临淄区期中）点P 是△B 内任意一点，则∠P 与∠B 的大小关系是（ ） ．∠P＞∠B B．∠P＝∠B ．∠P＜∠B D．不能确定 【分析】作出图形，延长P 与B 相交于点D，然后根据三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角解答． 【解答】解：如图，延长P 与B 相交于点D， 由三角形的外角性质得，∠PD＞∠B，∠P＞∠PD， 所以，∠P＞∠B． 故选：． 【变式2-2】（2022 春•兴隆县期末）如图所示，下列结论正确的是（ ） ．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 ．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B 【分析】根据三角形的外角的性质即可判断． 【解答】解：如图， 1 在△EF 中，∠1＞∠2， 在△BE 中，∠2＞∠B， 1 ∴∠＞∠2＞∠B． 故选：D． 【变式2-3】（2022•双流区期末）如图，在△B 中，∠1 是它的一个外角，E 为边上一点，延 长B 到D，连接DE．则下列结论正确的是（ ） ．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 ．∠1＝∠2+ 3 ∠ D．∠3＝∠ 【分析】根据三角形的外角性质得出∠2＞∠D，∠1＞∠2，∠1＝∠+ 2 ∠，∠2＝∠3+∠D， 再逐个判断即可． 【解答】解：．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2， 1 ∴∠＞∠D，故本选项符合题意； B．∠2＞∠D，故本选项不符合题意； ．∠1＝∠2+∠＝∠D+ 3+ ∠ ∠，∠2+ 3 ∠＝∠D+ 3+ 3 ∠ ∠＝2 3+ ∠ ∠D， 又∵∠3 和∠不一定相等， 1 ∴∠和∠2+ 3 ∠不一定相等，故本选项不符合题意； D．∠3 和∠不一定相等，故本选项不符合题意； 故选：． 【题型3 三角形的外角性质（求角）】 【例3】（2022•石阡县模拟）如图，已知△B 的外角∠D＝120°，∠＝80°，则∠B 的度数是（ ） 1 ．30° B．40° ．50° D．60° 【分析】根据三角形外角的性质可直接求解． 【解答】解：∵∠D＝∠B+∠，∠D＝120°，∠＝80°， ∴∠B＝∠D﹣∠＝120° 80° ﹣ ＝40°， 故选：B． 【变式3-1】（2022•梁子湖区期末）三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角 的比为（ ） ．1：3：6 B．6：3：1 ．9：7：4 D．3：5：2 【分析】由三角形中，三个内角的比为1：3：6，根据三角形的外角的性质，即可求得 它的三个外角的比． 【解答】解：∵三角形中，三个内角的比为1：3：6， ∴它的三个外角的比为：（3+6）：（1+6）：（1+3）＝9：7：4． 故选：． 【变式3-2】（2022 春•光明区期末）某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BD＝ 110°，∠D＝30°，那么∠的度数是（ ） ．50° B．60° ．70° D．80° 【分析】延长D 交B 于E，根据三角形外角的性质可求得∠EB 的度数，再利用三角形外 角的性质可求解． 【解答】解：延长D 交B 于E， ∵∠BD＝∠B+∠EB，∠BD＝110°，∠B＝20°， ∴∠EB＝110° 20° ﹣ ＝90°， 1 ∵∠EB＝∠+∠D，∠D＝30°， ∴∠＝90° 30° ﹣ ＝60°， 故选：B． 【变式3-3】（2022 春•江阴市期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠＝60°，∠B＝ 40°，∠＝30°，则∠D+∠E 等于（ ） ．100° B．110° ．120° D．130° 【分析】设E 交B 于G，交D 于F，根据三角形的外角性质求出∠F，再根据对顶角的性 质可求得∠DFE 的度数，利用三角形的内角和定理求出∠D+∠E 即可． 【解答】解：如图， ∵∠＝60°，∠B＝40°， ∴∠BGF＝∠+∠F＝∠+∠B＝100°， ∵∠＝30°， ∴∠F＝100° 30° ﹣ ＝70°， ∴∠EFD＝∠F＝70°， ∵∠E+∠D+∠EFD＝180°， ∴∠D+∠E＝180° 70° ﹣ ＝110°， 故选：B． 【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】 【例4】（2022•沈阳模拟）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，D 平分∠B 交B 边于点D，若∠＝ 26°，则∠DB 的度数是（ ） 1 ．61° B．64° ．71° D．109° 【分析】根据角平分线的定义可得∠D＝45°，根据三角形外角的性质可得∠DB＝ ∠D+∠，即可求出∠DB 的度数． 【解答】解：∵∠B＝90°，D 平分∠B， ∴∠D＝45°， ∵∠＝26°， ∴∠DB＝∠D+∠＝45°+26°＝71°， 故选：． 【变式4-1】（2022 春•宜兴市校级月考）如图，在△B 中，在B 上存在一点D，使得∠D＝ ∠B，角平分线E 交D 于点F．△B 的外角∠BG 的平分线所在直线M 与B 的延长线交于点 M，若∠M＝35°，则∠FE ＝ 55° ． 【分析】由平角的性质和角平分线的定义可求∠E＝90°，由外角的性质可求解． 【解答】证明：∵、、G 三点共线 E、为角平分线， ∴∠E＝90°， 又∵∠G＝∠M， ∴∠M+∠EF＝90°， ∵∠EF＝∠EB+∠B，∠FE＝∠E+∠D，∠D＝∠B， ∴∠EF＝∠FE， ∴∠M+∠FE＝90°． ∴∠FE＝90°﹣∠M＝90° 35° ﹣ ＝55°． 故答为：55°． 【变式4-2】（2022 春•邗江区期中）如图，∠BD，∠D 的角平分线交于点P，若∠＝50°， ∠D＝10°，则∠P 的度数为（ ） ．15° B．20° ．25° D．30° 【分析】利用角平分线的性质计算． 1 【解答】解：延长D，与B 交于点E． ∵∠D 是△E 的外角，∠＝50°， ∴∠D＝∠+∠E＝50°+∠E． ∵∠E 是△BDE 的外角， ∴∠E＝∠BD+∠D＝∠BD+10°， ∴∠D＝50°+∠E＝50°+∠BD+10°， 整理得∠D﹣∠BD＝60°． 设与BP 相交于，则∠B＝∠P， ∴∠P+ ∠D＝∠+ ∠BD， 即∠P＝50°﹣ （∠D﹣∠BD）＝20°． 故选：B． 【变式4-3】（2022•武冈市期末）如图，已知P 是三角形B 内一点，∠BP＝120°，∠＝ 70°，BD 是∠BP 的角平分线，E 是∠P 的角平分线，BD 与E 交于点F，则∠BF 等于（ ） ．100° B．90° ．85° D．95° 【分析】利用三角形的内角和定理求得∠B+∠B，由∠BP＝120°，可得∠PB+∠PB，利用 角平分线的性质可得∠FBP+∠FP，易得∠FB+∠FB，由三角形的内角和定理可得结果． 【解答】解：∵∠＝70°， ∴∠B+∠B＝110°， ∵∠BP＝120°， ∴∠PB+∠PB＝180°﹣∠BP＝60°， ∴∠BP+∠P＝110° 60° ﹣ ＝50°， ∵BD 是∠BP 的平分线，E 是∠P 的平分线， 1 ∴∠FBP+∠FP＝25°， ∴∠FB+∠FB＝∠PB+∠PB+∠FBP+∠FP＝60°+25°＝85°， ∠BF＝180°﹣（∠FB+∠FB）＝180° 85° ﹣ ＝95°． 故选：D． 【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】 【例5】（2022•赤峰）如图，点D 在B 的延长线上，DE⊥B 于点E，交于点F．若∠＝ 35°，∠D＝15°，则∠B 的度数为（ ） ．65° B．70° ．75° D．85° 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【解答】解：∵DE⊥B，∠＝35° ∴∠FE＝∠FD＝55°， ∴∠B＝∠D+∠FD＝15°+55°＝70°． 故选：B． 【变式5-1】（2022 春•鄂州校级期中）如图，BD，E 是△B 的两条高，且交于点， 问：（1）∠1 和∠2 大小如何？ （2）若∠＝50°，∠B＝70°，求∠3 和∠4 度数． 【分析】（1）∠4 即是△EB 的外角，也是△D 的外角，根据外角的性质即可得到∠1＝ ∠2． （2）根据三角形内角和定理求出∠3 与∠2 的度数，然后利用外角的性质求出∠4． 【解答】解：∵∠BE＝∠D＝90°， 4 ∴∠＝∠BE+ 1 ∠＝∠D+ 2 ∠， 1 ∴∠＝∠2； （2）∵∠3＝180°﹣∠BE﹣∠B＝180° 90° 70° ﹣ ﹣ ＝20°， 1 2 ∠＝180°﹣∠﹣∠E＝180° 90° 50° ﹣ ﹣ ＝40°， 4 ∴∠＝∠D+ 2 ∠＝90°+40°＝130°． 【变式5-2】（2022 春•普陀区期末）如图，已知△B 中，BD、E 分别是边、B 上的高，BD 与E 交于点，如果设∠B＝°，那么用含的代数式表示∠B 的度数是（ ） ．45°+° B．90° ° ﹣ ．90°+° D．180° ° ﹣ 【分析】由垂直的定义得到∠DB＝∠BD＝90°，再根据三角形内角和定理得∠BD＝180° ﹣∠DB﹣∠＝90° ° ﹣，然后根据三角形的外角性质有∠B＝∠EBD+∠BE，计算即可得到 ∠B 的度数． 【解答】解：∵BD、E 分别是边，B 上的高， ∴∠DB＝∠BD＝90°， 又∵∠B＝°， ∴∠BD＝180°﹣∠DB﹣∠＝180° 90° ° ﹣ ﹣＝90° ° ﹣， ∴∠B＝∠EBD+∠BE＝90° °+90° ﹣ ＝180° ° ﹣． 故选：D． 【变式5-3】（2022 春•腾冲县期末）已知：如图所示，∠B＝66°，∠B＝54°，BE 是边上的 高，F 是B 边上的高，是BE 和F 的交点，求：∠BE，∠F 和∠B 的度数． 【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠＝60°．又因为BE 是边上的高，所以∠EB＝ 90°，所以∠BE＝30°．同理，∠F＝30 度，又因为∠B 是△E 的一个外角，所以∠B＝ 120°． 【解答】解：∵∠B＝66°，∠B＝54°， ∴∠＝180°﹣∠B﹣∠B＝180° 66° 54° ﹣ ﹣ ＝60°． 又∵BE 是边上的高，所以∠EB＝90°， ∴∠BE＝180°﹣∠B﹣∠EB＝180° 90° 60° ﹣ ﹣ ＝30°． 同理，∠F＝30°， 1 ∴∠B＝∠BE+∠F＝90°+30°＝120°． 【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】 【例6】（2022 春•宿城区期末）将一副直角三角板如图放置，∠＝30°，∠F＝45°．若边B 经过点D，则∠EDB＝ 75 °． 【分析】由三角形内角和定理可求解∠B 的度数，利用三角形外角的性质可求解∠BDF 的度数，进而可求解． 【解答】解：∵∠B＝90°，∠＝30°， ∴∠B＝90° 30° ﹣ ＝60°， ∵∠B＝∠F+∠BDF，∠F＝45°， ∴∠BDF＝∠B﹣∠F＝60° 45° ﹣ ＝15°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90° 15° ﹣ ＝75°， 故答为75． 【变式6-1】（2022•亭湖区校级一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α 的大小 为（ ） ．105° B．75° ．65° D．55° 【分析】根据三角形的外角性质解答即可． 【解答】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：B． 【变式6-2】（2022•丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α 等于（ ） 1 ．105° B．115° ．120° D．135° 【分析】根据三角板上角的度数的特点及三角形内角与外角的关系解答． 【解答】解：如图， 由题意得：∠BG＝90°， ∵∠G＝30°， ∴∠BFG＝180°﹣∠BG﹣∠G＝60°， ∴∠F＝∠BFG＝60°， α ∵∠是△F 的外角，∠＝45°， α ∴∠＝∠+∠F＝105°， 故选：． 【变式6-3】（2022•安徽二模）一副三角板如图放置，则∠1+ 2 ∠的度数为（ ） ．30° B．45° ．60° D．75° 【分析】延长BE 交于D，根据三角形的外角性质计算，得到答． 【解答】解：延长BE 交于D， ∵∠BE 是△DE 的外角， 2+ ∴∠ ∠DE＝∠BE＝90°， 同理：∠1+∠＝∠DE， 2+ 1+ ∴∠ ∠ ∠＝90°， 1+ 2 ∴∠ ∠＝45°， 故选：B． 1 【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】 【例7】（2022•沙湾区模拟）如图，直线∥b，则∠1＝（ ） ．100° B．110° ．125° D．135° 【分析】依据∠1＝55°+45°，即可得到∠1 的度数． 【解答】解：根据三角形外角的性质得∠1＝55°+45°＝100°． 故选：． 【变式7-1】（2022 春•东西湖区校级月考）如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是 （ ） ．α+β+γ B．α+β γ ﹣ ．β+γ α ﹣ D．α β+γ ﹣ 【分析】本题考查三角形内角与外角的关系，根据平行线的性质得知，内错角相等，同 旁内角互补，可以计算出α+β γ ﹣的值为180°． 【解答】解：由题可知α＝180° β+γ ﹣ ，所以有180° α+γ+180° β ﹣ ﹣＝180°，即α+β γ ﹣＝ 180°．故选B． 【变式7-2】（2022•泸州）如图，直线∥b，直线分别交，b 于点，，点B 在直线b 上， B⊥，若∠1＝130°，则∠2 的度数是（ ） ．30° B．40° ．50° D．70° 【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠D，然后利用B⊥得到∠B＝90°，最后利用角 的和差关系求解． 【解答】解：如图所示， 1 ∵直线∥b， 1 ∴∠＝∠D， 1 ∵∠＝130°， ∴∠D＝