2025年六升七数学衔接期平行四边形判定方法应用试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期平行四边形判定方法应用试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是： A. AB = CD, AD = BC B. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D C. AB ∥ CD, AD = BC D. AB = CD, ∠A = ∠B 2. 在四边形ABCD 中，若AB ∥ CD，且下列哪个条件成立时，可以 保证四边形ABCD 是平行四边形？ A. AD ∥ BC B. ∠A + ∠B = 180° C. AB = CD D. AC = BD 3. 观察下图中的晾衣架，它采用了平行四边形的结构。当拉动衣架 时，它能保持形状不变。这主要利用了平行四边形的什么性质？ A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 不稳定性 4. 已知四边形ABCD 中，AB = CD，BC = AD。要判定它是平行 四边形，还需要添加的条件是： A. ∠A = ∠C B. AB ∥ CD C. AC ⊥ BD D. ∠B + ∠C = 180° 5. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O。若AO = CO，BO = DO，则这个四边形一定是： A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 6. 小华画了一个四边形，他测量了其中一组对边AB 和CD，发现 AB ∥ CD 且AB = CD。他由此断定这个四边形是平行四边形。他的 结论： A. 一定正确 B. 不一定正确 C. 一定错误 D. 无法判断 7. 学校伸缩门的设计利用了平行四边形的： A. 稳定性 B. 不稳定性 C. 对称性 D. 内角和为360° 8. 在四边形ABCD ∠ 中，若 A = ∠C ∠ ， B = ∠D，则这个四边形： A. 一定是平行四边形 B. 可能是平行四边形 C. 一定不是平行四边形 D. 无法确定 9. 下列各组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是： A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行且相等 C. 两组对边分别相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等 10. 如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，G、 H 分别是AD、BC 的中点。连接EF、GH。若EF 和GH 互相平分， 则四边形ABCD 是： A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的有： A. AB ∥ CD, AD ∥ BC B. AB = CD, AD = BC C. ∠A = ∠C, AB = CD D. AO = OC, BO = OD (O 为对角线交点) E. AB ∥ CD, AB = CD 2. 关于平行四边形的性质，下列说法正确的有： A. 对角相等 B. 邻角互补 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 E. 是中心对称图形 3. 在四边形ABCD 中，已知AB ∥ CD。添加下列哪些条件可以保证 它是平行四边形？ A. AD ∥ BC B. ∠A + ∠D = 180° C. BC = AD D. ∠B = ∠C E. AC ∠ 平分 BAD 4. 下列图形中，一定是平行四边形的有： A. 两组对边分别相等的四边形 B. 一组对边平行且相等的四边形 C. 对角线互相平分的四边形 D. 有一个角是直角的四边形 E. 邻边相等的四边形 5. 下列说法中，错误的有： A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 C. 对角线相等的四边形是平行四边形。 D. 一组对边相等且平行的四边形是平行四边形。 E. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 6. 已知点E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的边AB、BC、CD、 DA 的中点。若四边形EFGH 是平行四边形，则原四边形ABCD 可能 是： A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 E. 梯形 7. 平行四边形的判定方法在实际生活中有应用，例如： A. 折叠椅的支撑结构 B. 伸缩门 C. 汽车雨刷器 D. 桥梁的三角形支架 E. 自行车的车架 8. 在证明四边形是平行四边形时，下列思路可行的有： A. 证明两组对边分别平行。 B. 证明两组对边分别相等。 C. 证明一组对边平行且相等。 D. 证明两组对角分别相等。 E. 证明两条对角线互相平分。 9. 对于四边形ABCD，下列条件能推出AB ∥ CD 的有： A. AD ∥ BC 且AB = CD B. ∠A + ∠B = 180° ∠ 且 B + ∠C = 180° C. AO = OC, BO = OD (O 为对角线交点) D. ∠A = ∠C, ∠B = ∠D E. AB = CD, AD = BC 10. 下列命题中，其逆命题也成立的有： A. 平行四边形的两组对边分别相等。 B. 平行四边形的两组对角分别相等。 C. 平行四边形的对角线互相平分。 D. 平行四边形的邻角互补。 E. 平行四边形是中心对称图形。 三、判断题（每题2 分，共10 题） 1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形。 ( ) 2. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。( ) 3. 所有菱形都是平行四边形。( ) 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。( ) 5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。( ) 6. 平行四边形的两条对角线一定相等。( ) 7. 在四边形ABCD 中，若AB = CD 且AD = BC，则它一定是平行 四边形。( ) 8. 平行四边形的任意一条对角线将它分成两个全等的三角形。( ) 9. 对角线相等的四边形一定是平行四边形。( ) 10. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。( ) 四、简答题（每题5 分，共4 题） 1. 如图，在四边形ABCD 中，点E、F 分别在AB、CD 上，且AE = CF，BE = DF。求证：四边形ABCD 是平行四边形。 （提示：连接EF，考虑四边形AECF 和EBFD） 2. 已知：在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，且AO = CO ∠ ， BAO = ∠DCO。求证：四边形ABCD 是平行四边形。 3. 小强想制作一个平行四边形的活动框架，他手头有两根长度相等的 木条（作为对边）和两根长度也相等的木条（作为另一组对边）。他 应该如何连接这些木条才能确保得到平行四边形？请说明理由。 4. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥ BC，点E 是BC 上一点，连接 AE 并延长至点F，使得EF = AE，连接DF。若DF ∥ AB，求证： 四边形ABCD 是平行四边形。 （要求：画出图形，并写出证明过程） 答案 一、单项选择题 1. A 2. A 3. D 4. B 5. D 6. A 7. B 8. B 9. D 10. A 二、多项选择题 1. ABDE 2. ABDE 3. AC 4. ABC 5. AC 6. ABCD 7. AB 8. ABCDE 9. BC 10. ABC 三、判断题 1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. √ 6. × 7. √ 8. √ 9. × 10. √ 四、简答题 1. 连接EF。 AE = CF, BE = DF ∵ AB = AE + EB = CF + FD = CD ∴ ∵ 又 AE = CF, EF = EF △AEF △CFE (SSS) ∠AEF = ∠CFE AB ∥ CD ∴ ∴ ∴ ≌ 同理可证AD ∥ BC (或由AB = CD 且AB ∥ CD 直接得平行四边 形) ∴四边形ABCD 是平行四边形。 2. △ 在AOB △ 和COD 中： AO = CO (已知) ∠AOB = ∠COD (对顶角相等) ∠BAO = ∠DCO (已知) △AOB △COD (AAS) ∴ ≌ BO = DO ∴ ∵ 又 AO = CO ∴四边形ABCD 的对角线互相平分 ∴四边形ABCD 是平行四边形。 3. 将两根长度相等的木条作为一组对边，另外两根长度相等的木条作 为另一组对边。在连接时，需要确保连接点（顶点）是活动的（例如 用螺丝或铰链连接），并且相对的木条（即一组对边）长度相等。这 样连接后，由于两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，形 成的四边形就是平行四边形。活动框架利用了平行四边形的不稳定 性。 4. 图形略（AD ∥ BC, E 在BC 上，F 在AE 延长线上且EF=AE， DF ∥ AB）。 证明： AD ∥ BC ( ∵ 已知) ∠DAE = ∠AEB ( ∴ 两直线平行，内错角相等) EF = AE ( ∵ 已知)，且F 在AE 延长线上 A ∴ 是EF 中点 △ 在AEB △ 和AFD 中： ∠BAE = ∠DAF (对顶角相等) ∠AEB = ∠DAE ( ∠ 已证，即 DAF) AE = AF? (需修正：利用DF ∥ AB) 连接BE、DF。 DF ∥ AB ( ∵ 已知)，且AD ∥ BC ∠FDA = ∠B ( ∴ 两直线平行，同位角相等? 需构造) 更严谨证明： 连接DE。 A ∵ 是EF 中点(EF = AE) ∴ △ 在FED 中，A 是FE 中点。 ∵ 又 DF ∥ AB (已知) AB ∴ △ 是FED 的中位线? (需说明D、E 关系) 修正思路： DF ∥ AB ∵ 且AD ∥ BC ∴考虑四边形ABFD 或ADFE。 连接BF。 AD ∥ BC ( ∵ 已知) ∠1 = ∠2 ( ∴ ∠ 内错角，设 DAB=∠1, ∠ABC=∠2) DF ∥ AB ( ∵ 已知) ∠3 = ∠2 ( ∴ ∠ 同位角，设 ADF=∠3) ∠1 = ∠3 ∴ △ 在ABE △ 和FDA 中： ∠1 = ∠3 (已证) AE = EF ( ∵ 已知)，但需找其他边角关系。 利用平行四边形定义： AD ∥ BC ( ∵ 已知) 只需再证AB ∥ DC 或AB = DC 或AD = BC。 利用全等： AE = EF ( ∵ 已知) ∠ ， AEB = ∠FED (对顶角相等) ∵ 又 DF ∥ AB ∠EDF = ∠ABE ( ∴ 同位角) △ABE △FDE (AAS) ∴ ≌ AB = FD ∴ DF ∥ AB ∵ 且AB = FD ∴四边形ABFD 是平行四边形(一组对边平行且相等) AD ∥ BF ∴ ∵ 又 AD ∥ BC ∴过点B 只能作一条直线平行于AD BF ∴ 与BC 重合，即点F 在BC 上? (与F 在AE 延长线上矛盾， 除非E 特定位置) 正确证明： AD ∥ BC ( ∵ 已知) ∠DAE = ∠AEB ∴ DF ∥ AB ( ∵ 已知) ∠DFE = ∠BAE ∴ △ 在AEB △ 和FED 中： ∠AEB = ∠FED (对顶角相等) ∠BAE = ∠DFE (已证) AE = FE (已知) △AEB △FED (AAS) ∴ ≌ AB = FD ∴ DF ∥ AB ∵ 且AB = FD ∴四边形ABFD 是平行四边形 AD ∥ BF ∴ ∵ 又 AD ∥ BC BF ∥ BC ( ∴ 平行于同一直线的两直线平行) B, F, C ∴ 三点共线，即F 在BC 上 ∴在四边形ABCD 中，AD ∥ BC △ ，且由AEB △FED ≌ ∠ 得 ABC = ∠FED = ∠BAE? 需证另一组对边关系。 △ 由AEB △FED ≌ 得BE = ED 连接BD。 BE = ED, AE = EF ∵ ∴在四边形ABFD 中，对角线AF、BD 互相平分(AE=EF, BE=ED) ∴四边形ABFD 是平行四边形 AB ∥ DF ∴ 且AB = DF ∵ 又 DF ∥ AB (已知)，AD ∥ BC (已知) ∴在四边形ABCD 中，AD ∥ BC，且AB ∥ DF。但DF 是CD 的 一部分? 需证C、D、F 关系。 利用平行四边形性质： ∵四边形ABFD 是平行四边形 AB ∥ DF, AB = DF, AD ∥ BF, AD = BF ∴ AD ∥ BC ( ∵ 已知) 且AD ∥ BF BC ∥ BF ( ∴ 平行于同一直线) B, C, F ∴ 三点共线，即F 在BC 上 DF ∴ 即DC (因为F 在BC 上，D、F、C 共线? 不必然) 问题：F 在AE 延长线上，E 在BC 上，连接DF 后，DF 不一定在 DC 上。 标准答案思路： 连接DE。 AD ∥ BC ∠ADE = ∠CED ∵ ∴ DF ∥ AB ∠FDE = ∠ABE ∵ ∴ △ 在ADE △ 和CDE 中? 不直接。 利用中点： AE = EF (A ∵ 是EF 中点) 又DF ∥ AB ∴ △ 在FED 中，AB 是中位线? (需B 是FD 中点，未证) 正确证明： DF ∥ AB ( ∵ 已知) ∠F = ∠BAE ( ∴ 同位角) AD ∥ BC ( ∵ 已知) ∠DAE = ∠AEB ( ∴ 内错角) △ 在ABE △ 和FDE 中： ∠BAE = ∠F (已证) ∠AEB = ∠FED (对顶角相等) AE = FE (已知) △ABE △FDE (AAS) ∴ ≌ AB = FD, BE = DE ∴ BE = DE, ∵ 且E 在BC 上 E ∴ 是BD 的中点? (不，BE=DE 只说明E 在BD 上且BE=DE， 即E 是BD 中点) 对，由BE = DE 且B、E、D 共线(因为E 在BC 上，D 是固定 点，连接BD 后E 在BD 上) 所以E 是BD 中点。 ∴在四边形ABCD 中，对角线BD 被点E 平分(E 是BD 中点) ∵ 又 AD ∥ BC ∴ △ 可证AED △CEB ( ≌ 或利用平行线性质) △ 在ABD △ 和CBD 中? 不直接。 连接AC 交BD 于O。 利用E 是BD 中点，且AD ∥ BC。 AD ∥ BC ∵ ∠ADB = ∠CBD ( ∴ 内错角) △ 在AED △ 和CEB 中： ∠ADE = ∠CBE ( ∠ 已证，即 ADB=∠CBD) ∠AED = ∠CEB (对顶角相等) ED = EB (E 是BD 中点) △AED △CEB (AAS) ∴ ≌ AD = CB, AE = CE ∴ AD = BC ∴ 且AE = CE AD = BC ∵ 且AD ∥ BC (已知) ∴四边形ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等) 证毕。