精品解析：广东省广州中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1 页/共25 页 （北京）股份有限公司 广州中学2022 学年第一学期期中考试 高二数学试卷 命题人：王丹 审题人：耿晓沙 一、单项选择题：每小题5 分，共40 分． 1. 直线 的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案. 【详解】由直线方程知：直线方向向量有 及它的平行向量均可作为其方向向量. 故选：D 2. 如图，在四面体OABC 中， ， ， .点M 在OA 上，且 , 为BC 中点， 则 等于（ ） A. B. C. D. 第2 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到. 【详解】连接 , 是 的中点， , , . 故选：B 3. 两平行直线 和 间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程变形，再根据两平行直线间的距离公式计算可得； 【详解】解：直线 即为 ，所以两平行直线 和 间的距离 ； 故选：A 4. 已知直线： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一 第3 页/共25 页 （北京）股份有限公司 条切线，切点为 ，则 A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：直线 l 过圆心 ，所以 ，所以切线长 ，选C. 考点：切线长 5. 如图，已知棱长为 的正方体 ， 分别为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，求出 和 的坐标，利用 空间向量夹角公式即可求解. 第4 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【详解】 如图分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 、 、 、 ， 所以 ， ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 ， 故选：A 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法 （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条 件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方 向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 6. 如图，己知二面角 的棱上有两个点A，B，线段 与 分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直与棱l．若 ，平面 与平面 的夹角为（ ） 第5 页/共25 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过 在面 内作 ，过 作 ， 交于 ，进而确定平面 与平面 的夹角 为 ，结合已知及题图确定二面角的大小. 【详解】过 在面 内作 ，过 作 ， 交于 ， 由 且 ，故 且 ，又 ， ， ， 所以平面 与平面 的夹角为 ，且 为矩形，即 ， 由 ，则 ，又 ， 面 ，则 面 ， 面 ，故 ， 又 ，则 ， 在直角△ 中 ， 在△ 中， ， 第6 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所以，如图，锐二面角的大小为 . 故选：C 7. 已知直线 和以 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出 所过的定点，结合直线与线段相交，应用斜率两点式求出斜率k 的范围. 【详解】由题设， 恒过点 ，则 ， ， 又 在y 轴上， 在y 轴两侧，故直线 的斜率 . 故选：D 8. 在正方体 中，E 是侧面 内的动点，且 平面 ，则直线 与直 线AB 所成角的正弦值的最小值是 A. B. 第7 页/共25 页 （北京）股份有限公司 C . D. 【答案】B 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线 与直线AB 所成角的正弦值的最小值． 【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 中棱长为1， 设 0， ， ， ， 1， ， 1， ， 0， ， 1， ， ， 1， ， 1， ， 设平面 的法向量 y， ， 第8 页/共25 页 （北京）股份有限公司 则 ，取 ， 得 ， 平面 ， ，解得 ， ， ， 设直线 与直线AB 所成角为 ， 1， ， ， ， ， ． 直线 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是 ． 故选B． 【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 函数与方程思想，是中档题． 二、多项选择题：每小题5 分，共20 分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角 取值范围是 第9 页/共25 页 （北京）股份有限公司 B. 若直线的斜率为 ，则该直线的倾斜角为 C. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误. 【详解】A：直线倾斜角 范围为 ，正确； B：当直线斜率为 ，则该直线的倾斜角为 内正切值为 的角，错误； C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确； D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误. 故选：AC 10. 已知直线 ，动直线 ，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在 ，使得 的倾斜角为90° B. 对任意的 ， 与 都有公共点 C. 对任意的 ， 与 都不重合 D. 对任意的 ， 与 都不垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】A 令 即可判断正误；B 由 过定点 ，再由定点与 的关系判断正误；C 令 即 可判断正误；D 利用直线垂直的判定判断 值的存在性即可. 【详解】A：当 时， ，符合倾斜角为90°，错误； B： 过定点 ，而 也在 上，对任意的 第10 页/共25 页 （北京）股份有限公司 ， 与 都有公共点，正确； C：当 时， ，显然与 重合，错误； D：要使 与 都垂直则 ，显然不存在这样的 值，正确. 故选：BD 11. 已知 ，圆 ，则以下选项正确的有（ ） A. 圆C 上到B 的距离为2 的点有两个 B. 若过A 的直线被圆C 所截得的弦为 ，则 的最小值为 C. 若过A 的直线被圆C 所截得的弦为 ，则弦 的中点的轨迹方程是 D. 若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A 由定点到圆心距离及圆的半径判断；B 首先判断 在圆 内，再根据所截弦长最短知直线与 垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C 由题意 的轨迹是以 为直径的圆，即可得圆的方程；D 根据切线性质判断 、 和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可. 【详解】由题设，圆心 为 且半径 ，则 ，故 ， 所以圆C 上到B 的距离为2 的点有一个，A 错误； 由 ，即 在圆 内，故过A 的直线被圆C 所截得的弦长最小，只需直线与 垂直，故直 线为 ，此时 ，B 正确； 第11 页/共25 页 （北京）股份有限公司 若过A 的直线被圆C 所截得的弦 的中点为 ，则 ， 故 的轨迹是以 为直径的圆，所以轨迹方程为 ，C 正确； 若D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，结合切线的性质知： 、 和两个切点所成的四边形为正方 形， 所以 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，即 ，而 ， 故该圆上点到 的最小值为 ，D 正确. 故选：BCD 12. 如图，正方体 的棱长为4，动点P，Q 分别在线段 ， 上，则下列命题正确 的是（ ） A. 直线 与平面 所成的角等于 B. 点C 到平面 的距离为 C. 异面直线 和 所成的角为 D. 线段 长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证 面 ，进而确定直线 与平面 所成的角、C 到平面 的距离，由 ，异面直线 和 所成角即为 与 第12 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所成角 求大小，过 作 于 ，再过 作 于 ，利用线面垂直及勾股定 理求 的最小值. 【详解】正方体中 面 ， 面 ，故 ，又 ， 由 ， 面 ，故 面 ， 而 面 ，故直线 与平面 所成的 角 ，A 正确； C 到平面 的距离为 ，B 正确； 因为 ，故异面直线 和 所成角即为 与 所成角 ， 而△ 为等边三角形，故 ，C 错误； 过 作 于 ，再过 作 于 ， 面 面 ，面 面 ， 面 ，故 面 ， 面 ，则 ，又 ， 面 ， 所以 面 ，易知： 即为异面直线 ， 上两点的距离， 令 ，则 ， ， 第13 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所以 ， 当 时， ，D 正确. 故选：ABD 三、填空题：每小题5 分，共20 分． 13. 若平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且 ，则 __ ____． 【答案】 【解析】 【 分析】由 ，得 ，利用向量坐标平行计算公式代入计算. 【详解】由 ，得 ，所以 ，解得 ， ，∴ ． 故答案为： 14. 已知直线 ，直线 ，若 ，则实数 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由 由 有 ，即可求 ，然后验证 、 是否重合. 【详解】∵ ，有 ， ∴ ，解得 或 ， 当 时， ， ，即 、 为同一条直线； 第14 页/共25 页 （北京）股份有限公司 当 时， ， ，即 ； ∴ ， 故答案为： 15. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，高为1，则点D 到平面ACD1的距离是_____． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用等体积法，根据 可得. 【详解】因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱， ， ，所以 ，记AC 中点为O，则 ， 所以 ，记三棱锥 的高为h， 因为 ，所以 ，解得 . 故答案为： . 第15 页/共25 页 （北京）股份有限公司 16. 数学家欧拉 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一 条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知 的顶点 、 ，其欧拉线的方程为 ，则 的外接圆方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出线段 的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出 的外接圆圆心坐标，并求出外 接圆的半径，由此可得出 的外接圆方程. 【详解】直线 的斜率为 ，线段 的中点为 ， 所以，线段 的垂直平分线的斜率为 ， 则线段 的垂直平分线方程为 ，即 ， 联立 ，解得 ，即 的外心为 ， 所以， 的外接圆的半径为 ， 第16 页/共25 页 （北京）股份有限公司 因此， 的外接圆方程为 . 故答案为： . 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与 圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该 有三个独立等式． 四、解答题：本题包括6 小题．共70 分． 17. 三角形的三个顶点是 ， ， ． （1）求 边上的高所在直线的方程； （2）求 边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）先根据斜率公式得 ，由于 边上的高与 所在直线垂直且过 ，故根据 点斜式求解即可； （2）由题知 中点为 ，故 再根据点斜式求解即可. 【详解】（1） 边所在直线的斜率 因为 所在直线的斜率与BC 高线的斜率乘积为 ， 第17 页/共25 页 （北京）股份有限公司 所以 高线的斜率为 ，又因为 高线所在的直线过 所以 高线所在的直线方程为 ，即 （2）设 中点为 ，则中点 ，又 所以 边上的中线 所在的直线方程为： ，即： 【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为 ，考 查运算求解能力，是基础题. 18. 已知圆 ： 与圆 ： . （1）若圆 与圆 外切，求实数m 的值; （2）在(1)的条件下，若直线l 过点(2，1)，且与圆 的相交弦长为 ，求直线l 的方程. 【答案】（1）m=5 （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得； （2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离 公式可得. 【小问1 详解】 圆 ： ，则 ，半径r1=1， 由圆 ： ，得 ， 则 ，半径 .∵圆 与圆 外切， ∴ ，∴ ，解得m=5. 【小问2 详解】 由(1)得m=5，圆 的方程为 ， 第18 页/共25 页 （北京）股份有限公司 则 ，r2=2.由题意可得圆心 到直线l 的距离 ， 当直线l 斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意; 当直线l 斜率为k 时，则直线方程为 ， 化为一般形式为 ，则圆心(3，0)到直线l 的距离 ， 解得k=0，得直线方程为y=1. 综上，直线l 的方程为 或 . 19. 如图，在棱长为4 的正方体 中，E，F 分别是AB，BC 上的动点，且 ． （1）求证： ； （2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 的夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2） . 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，令 且 ，应用向量法求证 垂直即 可； （2）由三棱锥体积最大，只需△ 面积最大求出参数a，再标出相关点的坐标，求平面 与平面 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. 第19 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【小问1 详解】 如下图，构建空间直角坐标系 ，令 且 ， 所以 ， ， ， ， 则 ， ，故 ， 所以 ，即 . 【小问2 详解】 由（1），三棱锥 体积取最大，即△ 面积 最大， 所以，当 时 ，故 为AB，BC 上的中点， 所以 ， ， ，故 ， 若 为面 的法向量，则 ，令 ，故 ， 又面 的法向量为 ， 所以 ，由图，平面 与平面 的夹角正切值为 . 20. （1）求过点 且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程； （2）设直线l 的方程为 ，若 ，直线l 与x，y 轴分别交于M，N 两点， 第20 页/共25 页 （北京）股份有限公司 O 为坐标原点，求 面积取最小值时，直线l 的方程． 【答案】（1）x＋y－1＝0 或3x＋4y＝0；（2）x＋y－2＝0 【解析】 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，当直线不过原点时设截距式方程，代入点 可得； （2）求出M，N 两点坐标，利用坐标表示出 面积，分离常数后使用基本不等式可得. 【详解】（1）当直线不过原点时，设l 的 方程为 ＋ ＝1， ∵点 在直线上，∴ ＋ ＝1， 解得 ，所以直线方程为x＋y－1＝0； 当直线过原点时，直线斜率 ，∴直线的方程为 ，即3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0 或3x＋4y＝0. （2）∵ ，∴M ， ， ∴ ＝ ＝ ≥2， 当且仅当a＋1＝ ，即a＝0 时等号成立． 故所求直线l 的方程为x＋y－2＝0. 21. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， 分别为 和 的中 点， 为棱 上的点， ． 第21 页/共25 页 （北京）股份有限公司 （1）证明： （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的余弦值最大？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 时，面 与面 所成的二面角的余弦值最大 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质可知 ，结合 可证得 平面 ，由 和线面垂直性质可证得结论； （2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果. 【小问1 详解】 三棱柱 为直三棱柱， 平面 ，又 平面 ， ，又 ， 平面 ， ， 平面 ，又 平面 ， ； 四边形 为正方形， ， . 【小问2 详解】 以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示的空间直角坐标系， 第22 页/共25 页 （北京）股份有限公司 则 ， ，设 ，则 ，则 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，令 ，解得： ， ， ； 又平面 的一个法向量 ， ， 则当 时， ， 即当 时，面 与面 所成的二面角的余弦值最大. 22. 已知圆 的圆心在射线 上，截直线 所得的弦长为6，且与直线 相切． （1）求圆 的方程； （2）已知点 ，在直线 上是否存在点 （异于点 ），使得对圆 上的任一点 ，都有 第23 页/共25 页 （北京）股份有限公司 为定值 ？若存在，请求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在, 为 , 【解析】 【分析】（1）由题,设圆心为 ,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出 ,进而得到圆的方程； （2）假设存在满足条件的点和定值,设 为 , 为 ,利用两点间距离公式得到 ,再根据 在圆 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】（1） 圆 的圆心在射线 上, 设圆心为 ,圆心到直线 的距离为 , 又 圆 与直线 相切, , 圆 截直线 所得的弦长为6, ,则 ,即 , ,解得 或 （舍） ,圆心为 , 圆 为 （2）存在, 为 , , 假设存在直线 上点 （异于点 ）,使得对圆 上的任一点 ,都有 为定值 , 第24 页/共25 页 （北京）股份有限公司 由题,设 为 , 且 , , 设 为 ,则 , , 则 , 整理可得 , 在 圆 上, ,即 , , ,解得 ,此时 为 【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形 结合能力 第25 页/共25 页 （北京）股份有限公司