专题30 解直角三角形模型之12345模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题30 解直角三角形模型之12345 模型 初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、 特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的 “12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下， “12345”模型的独特魅力。 .................................................................................................................................................1 模型1“12345”模型及衍生模型.................................................................................................................... 1 ...........................................................................................................................................................3 ...............................................................................................................................................13 模型1“12345”模型及衍生模型 （19 年北京市中考）如图所示的格是正方形格，则∠PB+∠PB＝ °（点，B，P 是格交点）。 该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。 如图，即：∠PB+∠PB=∠BPQ=45°。 上面的∠PB 和∠PB 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看： t∠PB= ，t∠PB= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。 12345 基础模型 模型还可变式为 ； 变式1： ；变式2： 。 证明：（基础模型）如图，作矩形BD，且B=D=3，D=B=4，在B 上取一点E 使得BE=1，在D 上取一点F 使得DF=2，根据矩形性质得：E=3，F=1，故t∠DF= ，t∠BE= ，t∠FE= ， 易证：△BE △ ≌ EF，∴∠BE=∠EF，E=EF， ∵∠BE+∠EB=90°，∴∠EF+∠EB=90°，∴∠EF=90°，∴∠EF=45° 图1 证明：（模型变式1）如图，作矩形BD，且B=D=，D=B=+b，在B 上取一点E 使得BE=，在D 上取一点 F 使得DF=b-，根据矩形性质得：E=b，F=， 故t∠DF= ，t∠BE= ，t∠FE= ， 易证：△BE △ ≌ EF，∴∠BE=∠EF，E=EF， ∵∠BE+∠EB=90°，∴∠EF+∠EB=90°，∴∠EF=90°，∴∠EF=45° 模型变式2 可借鉴变式1 证明方法，自行证明即可。 注意：下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。 （1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GF；（3）∠DF+45°＝∠E；（4）∠α+∠β＝135°； （5）∠α+∠β＝90°； （6）∠DB+∠DB＝∠B； （6）∠DB+∠DB＝∠B； 上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助格图或构造图形自行进行证明。 切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来 解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的， 但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。 例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D 是上一点，连接 BD．若 ， ，则D 的长为（ ） ． B．3 ． D．2 例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形BD 中，B=8，G 是B 的中点．将△BG 沿G 对折至△FG， 延长GF 交D 于点E，则DE 的长是（ ） ． B．2 ． D．3 例3．（23-24 八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，E 是 上一点，且 ，则 的长度是（ ） ．32 B．34 ．36 D．4 例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，点 是线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长为 ． 例5（2023 成都市九年级期中）如图，在矩形BD 中，B=2，B=4，点E、F 分别在B、D 上，若E=√5 ， ∠EF=45°，则F 的长为 例6．（23-24 九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 两点，已知点 ，点 为线段 的中点，连结 ，若 ，则 的值为 ． 例7（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形BD 的边长为 6，E 为B 的中点，将△BE 沿直线E 折 叠后，点B 落在点F 处，F 交对角线BD 于点G，则FG 的长是________． G F E B C A D 8．（2024 九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片 的边 斜着向 边对折，使点 落 在 上，记为 ，折痕为 ；再将 边斜向下对折，使点 落在 边上，记为 ，折痕为 ， ， ．则矩形纸片 的面积为 ． B′ D′ F E B D 例9（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形 中， ，以点B 为圆心，适当长为半 径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射 线 ，过点作 的垂线分别交 于点M，，则 的长为（ ） ． B． ． D．4 例10（2023 呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ． 1．（23-24 广东汕头·模拟预测）如图，正方形 中， ， 是 的中点．将 沿 对折 至 ，延长 交 于点 ，则 的长是（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 2．（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形BD 的边长为9，点E，F 分别在边B，D 上，若E 是B 中点， 且∠EF=45°，则F 的长为（ ） ．12 B．3 ．3 D．3 3．（23-24 九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ， 是边 上一点，且 ，则 的长度是（ ） ．8 B．74 ．7 D．68 4．（23-24 九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x 轴， y 轴于，B 两点，已知点（3，0）．点P 为线段B 的中点，连接P，P，若∠P＝45°，则m 的值是 ． 5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图3，在矩形 中，点E，F 分别在边 ， 上，将矩形 沿 ， 折叠，点B 落在点M 处，点D 落在点G 处，点，M，G 恰好在同一直线上，若 ， ， ，则线段 的长为 ． 6．（2024·广东·模拟预测）在正方形BD 中，边长为6，BE=2E，连接DE，在D、B 上分别存在点G、F， 连接GF 交DE 于点，且∠GD=45°，求线段FG=_________． 7（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝6，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF＝ 45°，BE＝2，则DF 的长为_________． 7（23-24 九年级·江苏无锡·期末）如图，在正方形BD 中，P 是B 的中点，把△PB 沿着P 翻折得到△PE，过 作F⊥DE 于F，若F=2，则DF= ． F E B D 8（2017 无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，、B、、D 都在格 点处，B 与D 相交于，则t∠BD 的值等于__________． 9（2016 甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片B 放入平面直角坐标系中，使、分别落在x 轴、y 轴上，连 接B，将纸片B 沿B 折叠，使点落在点’位置，B= ，t∠B= ，则点’的坐标为____________． 10（2023 广东九年级期中）如图，折叠边长为4m 的正方形纸片BD，折痕是DM，点落在点E 处，分别延 长ME，DE 交B 于点F，G，若点M 是B 边的中点，则FG＝_________m． 11．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形BD 的边长为 ，对角线、BD 交于点，点E 在B 上，且E=2BE，过B 点作BF⊥E 于点F，连接F，则线段F 的长度为 G E M F B D 12．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，点落 在 处，若 的延长线恰好过点，则 的值为 ． 13．（23-24 九年级·天津河西·期末）正方形BD 的边长B＝2，E 是B 的中点，F 是B 的中点，F 分别与 DE，BD 相交于点M，，则M 的长为 ． 14．（23-24 八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4 的图像与x 轴、 y 轴分别交于点、B，将直线B 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点，则直线B 的函数表达式为 ． 15．（23·24·深圳·模拟预测）如图，已知点的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点在反比例函数y 的图象上．作射线B，再将射线B 绕点按逆时针方向旋转 ，交y 轴于点，则△B 面积为 ． 16．（2023 年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题： 阅读材料：如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若 ，则 ． 证明：设 ，∵ ，∴ ， 易证 ∴ ，∴ ∴ ， 若 时，当 ，则 ． 同理：若 时，当 ，则 ． 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺 时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，已知 ． (1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出 的值；(3)求直线 的解析式．