专题30 解直角三角形模型之12345模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题30 解直角三角形模型之12345 模型 初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、 特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的 “12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下， “12345”模型的独特魅力。 .................................................................................................................................................1 模型1“12345”模型及衍生模型.................................................................................................................... 1 ...........................................................................................................................................................3 ...............................................................................................................................................13 模型1“12345”模型及衍生模型 （19 年北京市中考）如图所示的格是正方形格，则∠PB+∠PB＝ °（点，B，P 是格交点）。 该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。 如图，即：∠PB+∠PB=∠BPQ=45°。 上面的∠PB 和∠PB 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看： t∠PB= ，t∠PB= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。 12345 基础模型 模型还可变式为 ； 变式1： ；变式2： 。 证明：（基础模型）如图，作矩形BD，且B=D=3，D=B=4，在B 上取一点E 使得BE=1，在D 上取一点F 使得DF=2，根据矩形性质得：E=3，F=1，故t∠DF= ，t∠BE= ，t∠FE= ， 易证：△BE △ ≌ EF，∴∠BE=∠EF，E=EF， ∵∠BE+∠EB=90°，∴∠EF+∠EB=90°，∴∠EF=90°，∴∠EF=45° 图1 证明：（模型变式1）如图，作矩形BD，且B=D=，D=B=+b，在B 上取一点E 使得BE=，在D 上取一点 F 使得DF=b-，根据矩形性质得：E=b，F=， 故t∠DF= ，t∠BE= ，t∠FE= ， 易证：△BE △ ≌ EF，∴∠BE=∠EF，E=EF， ∵∠BE+∠EB=90°，∴∠EF+∠EB=90°，∴∠EF=90°，∴∠EF=45° 模型变式2 可借鉴变式1 证明方法，自行证明即可。 注意：下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。 （1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GF；（3）∠DF+45°＝∠E；（4）∠α+∠β＝135°； （5）∠α+∠β＝90°； （6）∠DB+∠DB＝∠B； （6）∠DB+∠DB＝∠B； 上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助格图或构造图形自行进行证明。 切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来 解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的， 但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。 例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D 是上一点，连接 BD．若 ， ，则D 的长为（ ） ． B．3 ． D．2 【答】 【分析】法1：先根据 ， ，再由12345 模型知：∠BD＝45°，从而可求出D． 法2：先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点D 作 于点E，依据三 角函数值可得 从而得 ，再由 得E=2，DE=1，由勾股定理得 D= ，从而可求出D． 【详解】法1：∵ ， ，∴根据12345 模型知：∠BD＝45°， ∵ ，∴三角形BD 为等腰直角三角形，∵ ，∴D= 法2：在 中， ， ，∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D 作 于点E，如图， ∵ ， ，∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ , 在 中, ∴ ∵ ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形BD 中，B=8，G 是B 的中点．将△BG 沿G 对折至△FG， 延长GF 交D 于点E，则DE 的长是（ ） ． B．2 ． D．3 【答】 【分析】法1：连接E，由折叠的性质可得F=B=D，BG=GF，易证Rt△DE≌Rt△FE，得到DE=EF，设 DE=x，在Rt△EG 中利用勾股定理建立方程求解．法2：先求出∠GE=45°，再利用12345 模型的变式，求 解即可。 【详解】解：法1：如图所示，连接E，∵四边形BD 为正方形， ∴B=B=D=D=8，∠B=∠=∠D=90° ∵G 为B 的中点∴BG=G=4 由折叠的性质可得F=B=8，BG=GF=4，在Rt△DE 和Rt△FE 中， ∵E=E，F=D=8，∴Rt△DE≌Rt△FE（L）∴DE=EF 设DE=EF=x，则E=8-x 在Rt△EG 中，G2+E2=GE2，即 解得 故选：． 法2：由法1 知：Rt△DE≌Rt△FE，∴∠DE=∠FE，由翻折知：∠BG=∠FG， ∠ ∵ DB=90° ，∴∠GE=45°，∵B=8，G 是B 的中点，∴ ， 由12345 模型变式知： ，∵D=8，∴DE ，故选：． 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解 题的关键． 例3．（23-24 八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，E 是 上一点，且 ，则 的长度是（ ） ．32 B．34 ．36 D．4 【答】B 【分析】法1：过点作F⊥D，交D 延长线于F，利用12345 模型变式求解即可。 法2：如图，过点作F⊥D，交D 延长线于F，G⊥D，交B 延长线于G，可证明四边形BF 是正方形，可得 DF 的长，根据角的和差关系可得∠DF=∠GB，利用S 可证明△DF △ ≌GB，可得D=G，BG=DF，根据 ∠DE=45°可知∠EG=∠DE=45°，利用SS 可证明△DE △ ≌GE，可得DE=GE，根据S 正方形BF=S△ED+2S△GE 列 方程可求出E 的长，进而求出GE 的长即可得答． 【详解】法1：如图，过点作F⊥D，交D 延长线于F， ∵ ， ， ，∴四边形BF 是正方形，DF=1，F=4，∴ ， 由12345 模型变式(即： )知： ∵B=4，∴BE ，E ，∵F=4，DF=1，∴D=3，∴DE ，故选：B． 法2：如图，过点作F⊥D，交D 延长线于F，G⊥D，交B 延长线于G， ∵ ， ， ，∴四边形BF 是正方形，DF=1， ∠ ∵ DF+∠BD=90°，∠GB+∠BD=90°，∴∠DF=∠GB， 在△DF 和△GB 中， ，∴△DF △ ≌GB，∴G=D，BG=DF=1， ∠ ∵ DE=45°，G⊥D，∴∠EG=∠DE=45°， 在△DE 和△GE 中， ，∴△DE △ ≌GE， ∴S△GE=S△DE，DE=GE，∴S 正方形BF=S△ED+2S△GE， ∴ E·D+2× GE·B=B2，即 ×3E+4（5-E）=42，解得：E=16，∴DE=GE=5-E=34．故选：B． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题 关键． 例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，点 是线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】．法1：过点作//FM，交D 于点，先求出∠E=45°，再用12345 模型的变式，求解即可。 法2：连接 交 于，过点F 作 于，由正方形的性质得 ， ， ， ，由勾股定理得 ，再证明 ，得 ，从而求得 ， ，继而求得 ， ， ，然后证明 ，得 ，即 ，从而求得 ，继 而求得 ，最后证明 ，得∴ ，即 ，从而可求得 ． 【详解】法1：过点作//FM，交D 于点， ∵正方形 ，∴ ，∴四边形FM 为平行四边形。∵ ，∴ ∵点 ， 分别为 ， 的中点， ，∴BE=F=M=2，∴ ， ∵ ，由12345 模型变式知： ，∵D=4，∴ ，∴ ， 法2：连接 交 于，过点F 作 于，如图， ∵正方形 ，∴ ， ， ， ， ∴ ，∵点 ， 分别为 ， 的中点， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，故答为： ． 【点睛】本题词考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似 三角形判定与性质是解题的关键． 例5（2023 成都市九年级期中）如图，在矩形BD 中，B=2，B=4，点E、F 分别在B、D 上，若E=√5 ， ∠EF=45°，则F 的长为 【答】 【解析】根据B=2，E=√5 ，∠B=90°得到：BE=2，可得t∠BE= ， ∠ ∵ FE＝45°，∠BD＝90°，∴∠BE+∠DF＝45°， 根据12345 模型知：t∠DF= ，∴DF= ， 再根据勾股定理求得：F= ，故答为： 例6．（23-24 九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 两点，已知点 ，点 为线段 的中点，连结 ，若 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】法1：由12345 模型求解；法2：构造相似三角形 ，对 的取值分析进行讨论， 在 时，点 在 轴的负半轴，而此时， ，不合题意；故 ．由相似比求得边 的相应关系． 【详解】法1：∵一次函数 的图像分别交x、y 轴于点、B。 ∴（m，0）B（0，m），=m，B=m，∴∠B=45°， ∵∠P=∠B，∴∠P=45°，设∠P=α，∠P=β， ∵∠α+∠β+∠P＝90°，∠P＝45°，∴∠α+∠β＝45°， ∵点P 为线段B 的中点，∴P（0， ），P= ，可得tα= ， 根据12345 模型知：tβ= ，∴3=P，∵（2,0）∴P=6，∴B==12，m=12． 法2：作 ，连接 ．则 ， ,如图， 由 可得 ．∴ ， ∴ ． 当 时， ， 所以，此时 ，故不合题意．∴ ． ∵ ，∴ ，即 ，∴ ， ∵点 为线段 的中点，∴ ， ∴ ，即 解得 ． 故答是： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形． 例7（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形BD 的边长为 6，E 为B 的中点，将△BE 沿直线E 折 叠后，点B 落在点F 处，F 交对角线BD 于点G，则FG 的长是________． G F E B C A D 【答】 【解析】∵E 为B 的中点，B=6，∴BE=3，可得t∠BE= ，由翻折知：t∠FE= ， 根据12345 模型知：t∠GD= ，过点G 作G⊥D，∵BD 是正方形，∴D=G 设=4x，则G=D=3x，G=5x，D=7x，故B=F=7x，GF=2x。 ∵B=6，∴7x=6，x= ，G= ，故答为： 。 8．（2024 九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片 的边 斜着向 边对折，使点 落 在 上，记为 ，折痕为 ；再将 边斜向下对折，使点 落在 边上，记为 ，折痕为 ， ， ．则矩形纸片 的面积为 ． 【答】 【分析】根据折叠性质和勾股定理求得 和 的长，或者利用相似三角形的判定与性质求出相应线段长， 再由勾股定理解方程，然后根据矩形的面积公式代值求解即可得到答． 【详解】解：方法1：由题意，B＝B'，D＝'D，∠BE＝∠B'E，∠DF＝∠D'F． ∠ ∵ BD＝90°，∴∠EF＝∠B'E＋∠D'F＝45°． ∵BE＝ ，∴t∠BE＝ ，由12345 模型变式知∴t∠D'F＝ ，t∠B'B＝ ． ∵D∥B，∴∠FB'D'＝∠B'B，∴t∠FB'D'＝ ， ∴DF＝D'F＝ BD’＝ ，∴D＝D'＝2D'F＝3， B′ D′ F E B D ∴B＝B'＝B'D'＋D'＝2＋3＝5，∴S 矩形BD ＝B·D＝5×3＝15． 解：方法2：设 ，则 ，由题意可得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得 或 ， 当 时， ， ， 时不符合题意，舍去； 当 时， ， ， 矩形纸片 的面积为 ，故答为： ； 方法3：设 ，则 ， ， ，由题意可得△ ， ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理可得 ， 即 ，解得 ， （舍去）， 矩形纸片 的面积为 ，故答： ． 【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键 是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用翻折的性质和矩形的面积公式解答． 例9（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形 中， ，以点B 为圆心，适当长为半 径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射 线 ，过点作 的垂线分别交 于点M，，则 的长为（ ） ． B． ． D．4 【答】 【简证】易知 ，故 【详解】解：如图，设 与 交于点，与 交于点R，作 于点Q， α α α 矩形 中， ， ， ． 由作图过程可知， 平分 ， 四边形 是矩形， ， 又 ， ，在 和 中， ， ， ， ，设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ，即 ， 解得 ， ． ． ， ． ， ， ， ，即 ，解得 ． 例10（2023 呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ， ． 【答】 2 【简证】易知 ， ，接下来对△ME 分析，如图易知 ，过M 作E 的垂线段，设EM=5x，则 ， ，则 2 5x 12x-2 4x 3x H E A M 【常规法思路】如图，证明 ，得到 ，勾股定理求出 的长，等积法求出 的 长，证明 ，相似比求出 的长，证明 ，求出 的长，证明 ，求出 的长，再利用勾股定理求出 的长． 【常规法】解：∵正方形 的边长为 ，点 是 的中点， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， 故点 作 ，则： ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 1．（23-24 广东汕头·模拟预测）如图，正方形 中， ， 是 的中点．将 沿 对折 至 ，延长 交 于点 ，则 的长是（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 【答】 【分析】法1：连接E，根据正方形与轴对称的性质证明Rt△FE≌Rt△DE，得出EF＝DE，设DE＝FE＝ x，在Rt△EG 中应用勾股定理求出x，进而求解．法2：先求出∠GE=45°，再利用12345 模型的变式，求解 即可。 【详解】如图，连接E，由题意知，B＝D＝F，∠D＝∠B＝∠FE＝90°， 在Rt△FE 和Rt△DE 中， ，∴Rt△FE≌Rt△DE（L），∴EF＝DE， 设DE＝FE＝x，则E＝6﹣x，∵G 为B 中点，B＝6，∴G＝3， 在Rt△EG 中，由勾股定理，得： ，解得，x＝2，即DE＝2，∴GE＝3+2＝5，故选． 法2：由法1 知：Rt△FE≌Rt△DE，∴∠DE=∠FE，EF＝DE，由翻折知：∠BG=∠FG，GF＝GB， ∠ ∵ DB=90° ，∴∠GE=45°，∵B=6，G 是B 的中点，∴BG=3， ， 由12345 模型变式知： ，∵D=6，∴DE=2，GE＝3+2＝5，故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明 Rt△FE≌Rt△DE 是解题的关键． 2．（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形BD 的边长为9，点E，F 分别在边B，D 上，若E 是B 中点， 且∠EF=45°，则F 的长为（ ） ．12 B．3 ．3 D．3 【答】 【分析】法1：利用12345 模型的变式，求解即可。 法2：将△DF 逆时针旋转 到△BM 的位置，易证△EF 与△EM 全等，设 ，表示出EF，F 长度，解 直角三角形即可求解 ，再通过勾股定理求算F． 【详解】法1：∵B=8，E 是B 中点，∴BE=4，∴ ， ∠ ∵ EF=45°，由12345 模型变式知： ， ∵D=9，∴DF=3，∴ ，故选：． 法2：将△DF 逆时针旋转 到△BM ∠ ∵ EF=45°，四边形BD 是正方形∴ ∴△EF≌△EM∴ 设 ，E 是B 中点∴ ∴ 在直角三角形EF 中： 解得： ∴ 故答选：． 【点睛】本题考查正方形与旋转、勾股定理综合．转化相关的线段建立等量关系是解题关键． 3．（23-24 九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ， 是边 上一点，且 ，则 的长度是（ ） ．8 B．74 ．7 D．68 【答】D 【分析】法1：利用12345 模型的变式，求解即可。 法2：本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作 于 ，延长 至 ，使 ，证明四边形 为正方形，得出 ， ， ，证明 以及 ，得出 ，设 ，则 ， 再由勾股定理计算即可得出答． 【详解】法1：如图，过点作F⊥D，交D 延长线于F， ∵ ， ， ，∴四边形BF 是正方形，DF=2，F=8，∴ ， 由12345 模型变式(即： )知： ∵B=8，∴BE ，E ，∵F=8，DF=2，∴D=6，∴DE ，故选：D． 法2：解：如图，作 于 ，延长 至 ，使 ， ∵ ， ，∴四边形 为正方形，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，∵ ， ， ， ∴ ，∴ ， ，∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ， 在 中， ，∴