题型3 方程应用 类型3 二次方程32题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型三二次方程（专题训练） 1．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公 报》显示，2020 年和2022 年全国居民人均可支配收入分别为32 万元和37 万元．设2020 年至2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】设2020 年至2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出 一元二次方程即可． 【详解】设2020 年至2022 年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 根据题意得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 2（2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400 棵，第三年共植 树625 棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】第一年共植树400 棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵， 再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为400 棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根 据题意列出方程： ．故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多 理解、练习增长率相关问题． 3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是 （ ） ． B． ． 或 D． 【答】 【分析】设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积，根据花草的种植面积为 ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取 其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为 ，则种植花草部分的面积等于长为 ，宽为 的矩形的面积， 依题意得： 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴小路宽为 ． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键． 4．如图，学校课外生物小组的试验地的形状是长35 米、宽20 米的矩形．为便于管理，要 在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600 平方米，则小道的宽为多少米？ 若设小道的宽为 米，则根据题意，列方程为（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【解析】 【分析】 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为 600 列出方程即可． 【详解】 解：如图，设小道的宽为 ， 则种植部分的长为 ，宽为 由题意得： ． 故选． 【点睛】 考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得 到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 5（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200 件，第三天揽件242 件，设该快 递店揽件日平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率） 2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200 件，第三天揽件242 件， ∴可列方程为： ，故选：． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点， 难度一般． 6（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8 万 元，第三个月的销售额为1152 万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意， 可列方程为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是 万元，第 三个月的销售额为 万元，即可得． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是 万元， 第三个月的销售额为 万元，∴ 故选． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的 销售额和第三个月的销售额． 7．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017 年至2019 年我国快递业 务收入由 亿元增加到 亿元．设我国2017 年至2019 年快递业务收入的年平均增 长率为 ．则可列方程为( ) ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm B． ． D． 【答】 【解析】 【分析】 设我国2017 年至2019 年快递业务收入的年平均增长率为 ，根据增长率的定义即可列出 一元二次方程． 【详解】 设我国2017 年至2019 年快递业务收入的年平均增长率为 ， 2017 ∵ 年至2019 年我国快递业务收入由 亿元增加到 亿元 即2019 年我国快递业务收入为 亿元， ∴可列方程： ， 故选． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． 8（2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十 钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批 椽，这批椽的价钱为6210 文．如果每株椽的运费是3 文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的 运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合 题意的方程是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量， 即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3 文，少拿一株椽后，剩下的椽的运 费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210， 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关键． 9．目前以 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019 年底有 用户2 万户，计 划到2021 年底全市 用户数累计达到872 万户．设全市 用户数年平均增长率为 ， 则 值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【解析】 【分析】 先用含x 的代数式表示出2020 年底、2021 年底 用户的数量，然后根据2019 年底到 2021 年底这三年的 用户数量之和=872 万户即得关于x 的方程，解方程即得答． 【详解】 解：设全市 用户数年平均增长率为 ，根据题意，得： ， 解这个方程，得： ， （不合题意，舍去）． x ∴的值为40%． 故选：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等 关系是解题的关键． 10（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144 人 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ） ．14 B．11 ．10 D．9 【答】B 【分析】 设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得 ，然后求解即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意可得： ， 解得： （舍去）， 故选B． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 11．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据 统计从2018 年到2020 年，我国快递业务量由507 亿件增加到8336 亿件，设我国从2018 年到2020 年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】 根据题意，业务量由507 亿件增加到8336 亿件，2020 年快递业务量为8336 亿件，逐年分 析即可列出方程． 【详解】 设从2018 年到2020 年快递业务量的年平均增长率为x， 2018 年我国快递业务量为：507 亿件， 2019 年我国快递业务量为： = 亿件， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 2020 年我国快递业务量为： + ， 根据题意，得： 故选． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 12（2021·福建中考真题）某市2018 年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是 金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020 年底森林覆盖率达到68%，如 果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】 设年平均增长率为x，根据2020 年底森林覆盖率＝2018 年底森林覆盖率乘 ，据此 即可列方程求解． 【详解】 解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方 程即可． 13（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年 前生产一吨药的成本是5000 元，现在生产一吨药的成本是4050 元．设生产成本的年平均 下降率为 ，下面所列方程正确的是（ ） ． B． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． D． 【答】 【分析】 根据题意找到对应的等量关系：2 年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相 关的数据带入计算即可 【详解】 设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得： 故选： 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系 14 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36 场，则参加 此次比赛的球队数是（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 【答】D 【解析】 【分析】 根据球赛问题模型列出方程即可求解． 【详解】 解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得： x（x 1 ﹣）＝36， 化简，得x2 x 72 ﹣﹣ ＝0， 解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去）， 答：参加此次比赛的球队数是9 队． 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 问题． 15．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业区今年六月份提供就业岗位 个，并按计 划逐月增长，预计八月份将提供岗位 个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均 增长率为 ，根据题意，可列方程为___________． 【答】 【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意列出一元二次 方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 ，根据题意得， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 16（2022·浙江杭州）某络学习平台2019 年的新注册用户数为100 万，2021 年的新注册用 户数为169 万，设新注册用户数的年平均增长率为x（ ），则 _________（用百分 数表示）． 【答】30% 【分析】由题意：2019 年的新注册用户数为100 万，2021 年的新注册用户数为169 万，即 可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（ ），则2020 年新注册用户数为 100（1+x）万，2021 年的新注册用户数为100（1+x）2 万户， 依题意得100（1+x）2=169， 解得：x1=03，x2=-23（不合题意舍去）， x=03=30% ∴ ，故答为：30%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键． 17．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到 年底，校绿化面积为 平方米．为美 化环境，该校计划 年底绿化面积达到 平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积 的年平均增长率为 ，则依题意列方程为__________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为 ，依题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为 ，则依题意列方程为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 18（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校 农场，该农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363 千克．设平均每年增产的百分 率为 ，则可列方程为________． 【答】 【分析】 此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如 果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300 千克增加到363 千克”， 即可得出方程． 【详解】 解：设平均每年增产的百分率为x； 第一年粮食的产量为：300（1+x）； 第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2； 依题意，可列方程：300（1+x）2＝363； 故答为：300（1+x）2＝363． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为， 变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为（1±x）2＝b． 19．（2021·四川宜宾市·中考真题）据统计，2021 年第一季度宜宾市实现地区生产总值约 652 亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960 亿元，设该市第二、三季度地区生产 总值平均增长率为x，则可列方程__________． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】 【分析】 根据题意，第一季度地区生产总值 平均增长率 第三季度地区生产总值，按照数量 关系列方程即可得解． 【详解】 解：根据题意，第一季度地区生产总值 平均增长率 第三季度地区生产总值 列方程得： ， 故答为： ． 【点睛】 本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键． 20．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方 程 的两个根，则 的值为______． 【答】8 或9 【分析】 分4 为等腰三角形的腰长和4 为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的 定义、根的判别式求解即可得． 【详解】 解：由题意，分以下两种情况： （1）当4 为等腰三角形的腰长时，则4 是关于 的方程 的一个根， 因此有 ， 解得 ， 则方程为 ，解得另一个根为 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）当4 为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根， 因此，根的判别式 ， 解得 ， 则方程为 ，解得方程的根为 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理； 综上， 的值为8 或9， 故答为：8 或9． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两 种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 21．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部 分资金用于购买书籍．已知2020 年该学校用于购买图书的费用为5000 元，2022 年用于购 买图书的费用是7200 元，求 年买书资金的平均增长率． 【答】 【分析】设 年买书资金的平均增长率为 ，根据2022 年买书资金 2020 年买书 资金 建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设 年买书资金的平均增长率为 ， 由题意得： ， 解得 或 （不符合题意，舍去）， 答： 年买书资金的平均增长率为 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 22（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019 年投入资金1000 万元， 2021 年投入资金1440 万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2021 年老旧小区改造的平均费用为每个80 万元．2022 年为提高老旧小区品质，每个小 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022 年最多可以改造多 少个老旧小区？ 【答】(1)20% (2)18 个 【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据2019 年投入资 金 2021 年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022 年的投入资金，然后2022 年改造老旧小区的 总费用要小于等于2022 年投入资金，列出不等式求解即可． 【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ， 根据题意得： ，解这个方程得， ， ， 经检验， 符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． (2)设该市在2022 年可以改造 个老旧小区， 由题意得： ，解得 ． ∵ 为正整数，∴最多可以改造18 个小区． 答：该市在2022 年最多可以改造18 个老旧小区． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的 等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 23．（2023·