专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（解析版）

专题19 相似三角形重要模型之（双）字型与（双）8 字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双）8（X）字模型． 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线， 有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是 屡见不鲜的。 模型1 “”字模型 【模型解读与图示】 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 1）“”字模型 条件：如图1，DE∥B；结论：△DE∽△B⇔＝＝ 2）反“”字模型 条件：如图2，∠ED＝∠B；结论：△DE∽△B⇔＝＝ 3）同向双“”字模型 条件：如图3，EF∥B；结论：△EF∽△B，△EG∽△BD，△GF∽△D⇔ 例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形 中，点E，F，G，分别是 ， ， ， 上的点，且 ，若菱形的面积等于24， ，则 ． 【答】6 【分析】连接 ，交 于点，由题意易得 ， ， ， ，则有 ， 然后可得 ，设 ，则有 ，进而根据相似三角形的性质可进 行求解． 【详解】解：连接 ，交 于点，如图所示： ∵四边形 是菱形， ，∴ ， ， ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，同理可得 ， 设 ，则有 ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ， 同理可得 ，即 ，∴ ，∴ ；故答为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质 与判定是解题的关键． 例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形 中，点D、E 分别在边 、 上， ， ， ， ．(1)求证： ；(2)若 的平分线交 于点F，交 于点G， 求 ． 【答】(1)见解析(2) 【分析】（1）证明 ， ，可得 ，结合 ，从而可得结论； （2）由（1）可得 ，可得 ，证明 ，可得 ，再利 用相似三角形的性质可得答． 【详解】（1）解：∵ ， ， ， ， ∴ ， ．∴ ， ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ． （2）由（1）可得 ，∴ ，又∵ 平分 ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键． 例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在 中，点F、G 在 上，点E、分别在 、 上，四 边形 是矩形， 是 的高． ，那么 的长为____________． 【答】 ##48 【分析】通过四边形EFG 为矩形推出 ，因此△E 与△B 两个三角形相似，将M 视为△E 的高，可得出 ，再将数据代入即可得出答． 【详解】∵四边形EFG 是矩形，∴ ，∴ ， ∵M 和D 分别是△E 和△B 的高， ∴ ，∴ ， ∵ ，代入可得： ，解得 ， ∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在 中，D，E，F 分别为 上的点， 交 于点G，求证： ． (2)如图2，在（1）的条件下，连接 ．若 ，求 的值． (3)如图3，在 中， 与 交于点，E 为 上一点， 交 于点G， 交 于点F．若 平分 ，求 的长． 【答】(1)证明见详解(2) (3) 【分析】（1）利用 ，证明 ，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得 ， ，得出 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长 交 于点M，连接 ，作 ，垂足为．构造出 等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出 、 的值，即可得出 的长． (1)解：∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ．∵ ，∴ ． (2)解：由（1）得 ，∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ． (3)解：如图，延长 交 于点M，连接 ，作 ，垂足为． 在 中， ．∵ ，∴由（1）得 ， ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ 平分 ，∴ ，∴ ． ∴．在 中， ． ∵ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识， 遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 例5 （2023•安庆一模）如图，在△B 中，点D、E、F 分别在边B、B、上，且DE∥，DF∥B．（1）若点D 是边B 的中点，且BE＝F，求证：DE＝DF；（2）若D⊥B 于D，且BD＝D，求证：四边形EDF 是菱形； （3）若E＝F＝1，求 + 的值． 【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE 是△B 的中位线，进而可得DE＝F，同理 可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形EDF 是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一 性质可得∠BD＝∠D，然后利用平行线的性质可得∠ED＝∠D，从而可得∠BD＝∠ED，进而可得E＝ED，即 可解答；（3）根据字模型相似三角形可知△BED∽△B，△DF∽△B，从而可得 ＝ ， ＝ ，然后把 两个式子相加进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：∵点D 是边B 的中点，DE∥， ∴点E 是B 的中点，∴DE 是△B 的中位线，∴DE＝ ， ∵点D 是边B 的中点，DF∥B，∴点F 是的中点， ∴F＝ ，∴DE＝F，同理可得：DF＝BE，∵BE＝F，∴DE＝DF； （2）证明：∵DE∥，DF∥B，∴四边形EDF 是平行四边形， ∵D⊥B，BD＝D，∴D 是B 的垂直平分线， ∴B＝，∴∠BD＝∠D，∵DE∥，∴∠ED＝∠D， ∴∠BD＝∠ED，∴E＝ED，∴四边形EDF 是菱形； （3）∵DE∥，∴∠EDB＝∠， ∵∠B＝∠B，∴△BED∽△B，∴ ＝ ，∵DF∥B，∴∠B＝∠FD， ∵∠＝∠，∴△DF∽△B，∴ ＝ ，∴ + ＝ + ＝ ＝1， ∵四边形EDF 是平行四边形，∴DE＝F，DF＝E， ∵E＝F＝1，∴DE＝DF＝1，∴ + ＝1，∴ + 的值为1． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式 的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及字模型相似三角形的关键． 模型2 “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“8”字模型 条件：如图1，B∥D；结论：△B∽△D⇔＝＝ 2）反“8”字模型 条件：如图2，∠＝∠D；结论：△B∽△D⇔＝＝ 3）平行双“8”字模型 条件：如图3，B∥D；结论： 4）斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△D∽△B，△B∽△D⇔∠3＝∠4 例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形 中，E 为 的中点，连接 交 于点F．若 ，则 的面积为___________． 【答】3 【分析】由正方形的性质可知 ， ，则有 ，然后可得 ，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， ∵E 为 的中点，∴ ， ∴ ， ，∴ ，∴ ；故答为3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的 性质与判定是解题的关键． 例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图， ， ， 分别交 于点 G，，则下列结论中错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵B D ∥∴ ，∴选项正确，不符合题目要求； ∵E DF ∥ ，∴∠GE=∠D，∠EG=∠D，∴△EG∽△D，∴ ，∴ ， ∵B D ∥，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴B 选项正确，不符合题目要求； ∵B D ∥，E DF ∥ ，∴四边形EDF 是平行四边形，∴F=DE， ∵E DF ∥ ∴ ，∴ ； ∴选项正确，不符合题目要求； ∵E DF ∥ ，∴△BF∽△BG，∴ ， ∵B＞F，∴ ∴D 选项不正确，符合题目要求． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式 是解此题的关键． 例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形 中， 是对角线 的 中点，联结 并延长交边 或边 于E． （1）当点E 在边 上时，①求证： ；②若 ，求 的值； （2）若 ，求 的长． 【答】（1）①见解析；② ；（2） 或 【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导， ，由此可得 ； ②若 ，那么在 中，由 ．可得 ，作 于．设 ，那么 ．根据 所对直角边是斜边的一半可知 ，由此可得 的值． （2）①当点E 在 上时，可得四边形 是矩形，设 ，在 和 中，根据 ，列方程 求解即可． ②当点E 在 上时，设 ，由 ，得 ，所以 ，所以 ；由 得 ，所以 ，解出x 的值即可． 【详解】（1）①由 ，得 ． 由 ，得 ． 因为 是 斜边上的中线，所以 ．所以 ． 所以 ．所以 ． ②若 ，那么在 中，由 ．可得 ． 作 于．设 ，那么 ． 在 中， ，所以 ． 所以 ．所以 ． （2）①如图5，当点E 在 上时，由 是 的中点，可得 ， 所以四边形 是平行四边形．又因为 ，所以四边形 是矩形， 设 ，已知 ，所以 ．已知 ，所以 ． 在 和 中，根据 ，列方程 ． 解得 ，或 （ 舍去负值）． ②如图6，当点E 在 上时，设 ，已知 ，所以 ． 设 ，已知 ，那么 ． 一方面，由 ，得 ，所以 ，所以 ， 另一方面，由 是公共角，得 ． 所以 ，所以 ． 等量代换，得 ．由 ，得 ． 将 代入 ，整理，得 ． 解得 ，或 （舍去负值）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的 关系列方程是解题的关键． 例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点，记 的面 积为 ， 的面积为 ．（1）问题解决：如图①，若B//D，求证： （2）探索推广：如图②，若 与 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请 说明理由．（3）拓展应用：如图③，在 上取一点E，使 ，过点E 作 交 于点F， 点为 的中点， 交 于点G，且 ，若 ，求 值． 【答】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3） 【分析】（1）如图所示，过点D 作E⊥于E，过点B 作BF⊥于F，求出 ，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）如图所示，过点作 交B 于M，取BM 中点，连接，先证明△EF≌△D，得到D=F，证明 △EF∽△M，得到 ，设 ，则 ，证明△GF∽△， 推出 ， ，则 ，由（2）结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点D 作E⊥于E，过点B 作BF⊥于F， ∴ ，∴ ， ， ∵∠DE=∠BF，∴ ；∴ ； （2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作E⊥于E，过点B 作BF⊥于F， ∴ ，∴ ， ， ∵∠DE=∠BF，∴ ；∴ ； （3）如图所示，过点作 交B 于M，取BM 中点，连接， ∵ ，∴∠D=∠FE，∠D=∠EF， 又∵E=，∴△EF≌△D（S），∴D=F， ∵ ，∴△EF∽△M，∴ ， 设 ，则 ， ∵是B 的中点，是BM 的中点，∴是△BM 的中位线， ∴ ，∴△GF∽△，∴ ， ∵G=2G，∴ ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， 由（2）可知 ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中 位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 模型3 “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 图1 图2 图3 1）一“”一“8”模型 条件：如图1，DE∥B；结论：△DE∽△B，△DEF∽△BF⇔ 2）两“”一“8”模型 条件：如图2，DE∥F∥B；结论： 3）四“”一“8”模型 条件：如图3，DE∥F∥B, ；结论：F=G 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为 边 上任一点， 交 于点E，连接 相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断，根据相似三角形的性质即可判断B、、D． 【详解】解：∵ ， ∴ ，△DEF∽△BF，△DE∽△B，故不符合题意； ∴ ， ，故B 不符合题意，符合题意； ∴ ，故D 不符合题意；故选． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与 判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图， 与 交于点， ，E 为 延长线上 一点，过点E 作 ，交 的延长线于点F． （1）求证 ；（2）若 ，求 的长． 【答】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）直接利用“S”判定两三角形全等即可； （2）先分别求出BE 和D 的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：（1）∵ ， 又∵ ，∴ ； （2）∵ ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 的长为 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等， 解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的 几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等． 例3 （2022·重庆九年级期中）如图，D 与B 相交于点E，点F 在BD 上，且B∥EF∥D， 求证：＋＝ 证明：∵B∥EF，∴△DEF∽△DB，∴＝ 又∵EF∥D，∴△BEF∽△BD∴＝ ∴＋＝＋＝＝1∴＋＝ 例4．（2022•安庆模拟）在四边形BD 中，对角线、BD 相交于点． （1）如图①，若四边形BD 为矩形，过点作E⊥B，求证：E＝ D． （2）如图②，若B∥D，过点作EF∥B 分别交B、D 于点E、F．求证： ＝2． （3）如图③，若平分∠B，D、E 分别为、B 上的点，DE 交于点M，作M∥B 交于一点，若D＝8，E＝6， 直接写出线段M 长度． 【分析】（1）由E⊥B，D⊥B，可知E∥D，且B＝D，可得结论； （2）由△DF∽△DB，得 ，同理 ， ， ，利用等式的性质将比例式相加，从 而得出结论；（3 ）作DF∥B 交于点F ，连接EF ，可知△DF 是等腰三角形，得D ＝DF ＝8 ，由 △DMF∽△EM，可得EM＝ ，由△DM∽△DE，得 ，从而得出答． 【解答】（1）证明：∵四边形BD 是矩形，∴是中点，B⊥B， ∵E⊥B，∴E∥B，∴E 是B 中点，∴E＝ ； （2）证明：∵EF∥B，∴△DF∽△DB，∴ ， 同理 ， ， ，∴ ＝ ， ∴ ，即 ； （3）解：作DF∥B 交于点F，连接EF， ∵平分∠B，∴∠＝∠B，∵DF∥B，∴∠DF＝∠B＝∠， ∴△DF 是等腰三角形，∴D＝DF＝8，∵DF∥E，∴△DMF∽△EM， ∴ ，∴EM＝ ，∴ ， ∵M∥E，∴△DM∽△DE，∴ ，∴ ，∴M＝ ． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质， 对比例式进行恒等变形是解题的关键． 课后专项训练 1 （2021·山东淄博·中考真题）如图， 相交于点 ，且 ，点 在同一条直线上． 已知 ，则 之间满足的数量关系式是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由题意易得 ， ，则有 ， ，然后可得 ， 进而问题可求解． 【详解】解：∵ ，∴ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，即 ；故选． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2023 秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于 点E， ， ， ， ，则对角线 与 的长分别是（ ） ． ， B． ， ． ， D． ， 【答】D 【分析】过点B 作 交 于点，证明 ，可求得 ， ，根据勾股定 理求出 的长，进而可求出 的长，再根据勾股定理求出 的长，进而求出 的长． 【详解】过点B 作 交 于点，如图所示： ∵ ， ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ， ，∵ ，∴ ，∴ ． 在 中， ，即 ，解得： ，∴ ． ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ．故选D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，勾股 定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE 的长度． 3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在 骨架设计中，两条侧翼的长度设计 ，风筝顶角 的度数为 ，在 上取D， E 两处，使得 ，并作一条骨架 ．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B， 两点间的距离大约是（ ）（参考数据： ） ．41 B．57 ．82 D．143 【答】 【分析】设 与 交于点 ，连接 ，交 于点 ，根据已知易证 ，然后利用相似 三角形的性质可得 ，从而可得 ，进而可得 ，再利用等腰三角形的三线 合一性质可得 ， ，最后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的 长，即可解答． 【详解】解：设 与 交于点 ，连接 ，交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 两点间的距离大约是 ，故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添 加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10m，用一个交叉卡钳（两条尺长和BD 相等）可 测量零件的内孔直径B．如果：=B：D=3，且量得D=3m，则零件的厚度x 为（