专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（原卷版）

专题19 相似三角形重要模型之（双）字型与（双）8 字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）字模型和（双）8（X）字模型． 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线， 有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是 屡见不鲜的。 模型1 “”字模型 【模型解读与图示】 “”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 1）“”字模型 条件：如图1，DE∥B；结论：△DE∽△B⇔＝＝ 2）反“”字模型 条件：如图2，∠ED＝∠B；结论：△DE∽△B⇔＝＝ 3）同向双“”字模型 条件：如图3，EF∥B；结论：△EF∽△B，△EG∽△BD，△GF∽△D⇔ 例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形 中，点E，F，G，分别是 ， ， ， 上的点，且 ，若菱形的面积等于24， ，则 ． 例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形 中，点D、E 分别在边 、 上， ， ， ， ．(1)求证： ；(2)若 的平分线交 于点F，交 于点G， 求 ． 例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在 中，点F、G 在 上，点E、分别在 、 上，四 边形 是矩形， 是 的高． ，那么 的长为____________． 例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在 中，D，E，F 分别为 上的点， 交 于点G，求证： ． (2)如图2，在（1）的条件下，连接 ．若 ，求 的值． (3)如图3，在 中， 与 交于点，E 为 上一点， 交 于点G， 交 于点F．若 平分 ，求 的长． 例5 （2023•安庆一模）如图，在△B 中，点D、E、F 分别在边B、B、上，且DE∥，DF∥B．（1）若点D 是边B 的中点，且BE＝F，求证：DE＝DF；（2）若D⊥B 于D，且BD＝D，求证：四边形EDF 是菱形； （3）若E＝F＝1，求 + 的值． 模型2 “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“8”字模型 条件：如图1，B∥D；结论：△B∽△D⇔＝＝ 2）反“8”字模型 条件：如图2，∠＝∠D；结论：△B∽△D⇔＝＝ 3）平行双“8”字模型 条件：如图3，B∥D；结论： 4）斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△D∽△B，△B∽△D⇔∠3＝∠4 例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形 中，E 为 的中点，连接 交 于点F．若 ，则 的面积为___________． 例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图， ， ， 分别交 于点 G，，则下列结论中错误的是（ ） ． B． ． D． 例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形 中， 是对角线 的 中点，联结 并延长交边 或边 于E．（1）当点E 在边 上时，①求证： ；②若 ，求 的值；（2）若 ，求 的长． 例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点，记 的面 积为 ， 的面积为 ．（1）问题解决：如图①，若B//D，求证： （2）探索推广：如图②，若 与 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请 说明理由．（3）拓展应用：如图③，在 上取一点E，使 ，过点E 作 交 于点F， 点为 的中点， 交 于点G，且 ，若 ，求 值． 模型3 “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 图1 图2 图3 1）一“”一“8”模型 条件：如图1，DE∥B；结论：△DE∽△B，△DEF∽△BF⇔ 2）两“”一“8”模型 条件：如图2，DE∥F∥B；结论： 3）四“”一“8”模型 条件：如图3，DE∥F∥B, ；结论：F=G 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为 边 上任一点， 交 于点E，连接 相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） ． B． ． D． 例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图， 与 交于点， ，E 为 延长线上一点，过点E 作 ，交 的延长线于 点F．（1）求证 ；（2）若 ，求 的长． 例3 （2022·重庆九年级期中）如图，D 与B 相交于点E，点F 在BD 上，且B∥EF∥D， 求证：＋＝ 例4．（2022•安庆模拟）在四边形BD 中，对角线、BD 相交于点． （1）如图①，若四边形BD 为矩形，过点作E⊥B，求证：E＝ D． （2）如图②，若B∥D，过点作EF∥B 分别交B、D 于点E、F．求证： ＝2． （3）如图③，若平分∠B，D、E 分别为、B 上的点，DE 交于点M，作M∥B 交于一点，若D＝8，E＝6， 直接写出线段M 长度． 课后专项训练 1 （2021·山东淄博·中考真题）如图， 相交于点 ，且 ，点 在同一条直线上． 已知 ，则 之间满足的数量关系式是（ ） ． B． ． D． 2．（2023 秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于 点E， ， ， ， ，则对角线 与 的长分别是（ ） ． ， B． ， ． ， D． ， 3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在 骨架设计中，两条侧翼的长度设计 ，风筝顶角 的度数为 ，在 上取D， E 两处，使得 ，并作一条骨架 ．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B， 两点间的距离大约是（ ）（参考数据： ） ．41 B．57 ．82 D．143 4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10m，用一个交叉卡钳（两条尺长和BD 相等）可 测量零件的内孔直径B．如果：=B：D=3，且量得D=3m，则零件的厚度x 为（ ） ． B． ． D． 5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△B 中，点D、E 分别是B、的中点，若S△DE＝2，则S△B＝_____． 6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在 中，点 在 上，点 分别在 、 上，四边形 是矩形， ， 是 的高， ， ，那么 的长为 ． 7（2023·广东深圳·校考三模）如图，在 中， ，D 是 上一点，点E 在 上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ． 8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图， 中，点E、F 分别在边B、上， ．若 ， ， ，则 ______． 9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，且 ， 与 相 交于点 ，若 的面积是，则 的面积是______． 10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△B 的重心，D，E，F 分别为B，，B 的中点，具有性质： G：GD＝BG：GE＝G：GF＝2：1．已知△FG 的面积为3，则△B 的面积为 _____． 11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽度， 如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点 间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，如 图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ； （ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程： 由测量知， ， ， ， ， ∴ ，又∵①___________， ∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ ②___________ ． 故小水池的最大宽度为___________ ． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得 用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5 次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何 量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的 长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4 次（测量的几何量能求出 ， 且测量的次数最少，才能得满分）． 12．（2023 秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践 问题情境：如图1，在 中， ， ， ，点 是 上一点，将 沿直线 折叠，点 落在 上的点 ，连接 ． 独立思考(1)如图，求 的值； 问题拓展 如图 ，点 是图1 中B 上一动点，连接 ，交 于点 ． (2)当点 是 的中点时，求证： ；(3)当点 是 的中点时，请你直接写出 的值． 13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个动点，延长 至点 ，使 ，连接 交射线 于点 ． (1)如图1，当点 在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接 ．设 ，若 ，求四边形 的面积． 14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形BD 是平行四边形，在边B 的延长线上截取BE＝ B，点F 在E 的延长线上，E 和DF 交于点M，B 和DF 交于点，联结BD． （1）求证：△BD∽△M；（2）如果D2＝B•F，求证：M•B＝DM•． 15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形 中，点F，E，G 分别在 上， ， ，求证： 尝试应用：如图 2， 是 的中线，点E 在 上，直线 交 于点G，直线 交 于点F， 若 ，求 的值． 迁移拓展：如图3，在等边 中，点D 在 上，点E 在 上，若 ， ，直接 写出 的值．（用含m 的式子表示） 16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为的正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重 合），射线 与射线 交于点 ．(1)若 ，求 的长．(2)求证： ． (3)以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长． 17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形BD 中，B＝6，B＝4，点M、分别在B、D 上，且M⊥M， 点E 为D 的中点，连接BE 交M 于点F． (1)当F 为BE 的中点时，求证：M＝E；(2)若 ＝2，求 的值；(3)若M∥BE，求 的值． 18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E 分别在△B 的边B、上，连接DE，已知线段D＝，DB ＝b，E＝，E＝d，则S△DE，S△B和，b，，d 之间会有怎样的数量关系呢？ 问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若 DE∥B，则∠DE＝∠B，且∠＝∠，所以△DE∽△B，可得比例式： 而根据相似三角形面积之比等于相 似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出： ． （2）如图3，若∠DE＝∠，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾： 两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以 解决．如图4，D 在△B 的边上，做⊥B 于，可得： ．借用这个结论，请你解决最 初的问题． 延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△B 的边B、反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B＝b，E＝，＝ d，则 ．（2）如图6，E 在△B 的边上，D 在B 反向延长线上，连接DE，已知线段D＝，B＝ b，E＝，＝d， ． 结论应用：如图7，在平行四边形BD 中，G 是B 边上的中点，延长G 到E，连接DE 交B 的延长线于F，若 B＝5，G＝4，E＝2，▱BD 的面积为30，则△EF 的面积是 ． 19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事 情：如图，在 中， ，点 和点 分别是斜边 上的动点，并且满足 ，分别过点 和点 作 边的垂线，垂足分别为点 和点 ，那么 的值是一个定值． 问题：若 时， 值为___________ ； 【操作探究】如图 ，在 中， ； 爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于 任意一个直角三角形，当 时， 的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图 进行证明，并用含 和 的式子表示 的值． 【解决问题】如图，在菱形 中， 若 、 分别是边 、 上的动点，且 ，作 ，垂足分别为 、 ，则 的值为__________ ． 20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1）， 中， ， 是 的中点，延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ，探究 的值． (1)先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ， 延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的值（用含 的式子表示）． 21．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，已知矩形 ，点E 在 延长线上，点F 在 延长线上， 过点F 作 交 的延长线于点，连结 交 于点G， ． (1)求证： ．(2)当 ， 时，求 的长．