专题25 相似模型之母子型（共边共角）模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题25 相似模型之母子型（共边共角）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入 理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 .................................................................................................................................................1 模型1“母子型”模型（共边共角模型）......................................................................................................1 ............................................................................................................................................... 11 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中， 恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定 这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠=∠BD； 结论：△BD∽△B，B2＝D· 证明：∵∠=∠BD，∠DB=∠B，∴△DB∽△B，∴ ，∴B2＝D· 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠B=90，D⊥B； 结论：△D∽△B∽△BD；2＝D·B，B2＝BD·B，D2＝D·DB 证明：∵∠B=90，D⊥B，∴∠+∠D=90°，∠+∠B=90°，∴∠B=∠D， ∠ ∵ =∠，∴△D∽△B，∴ ，∴2＝D·B 同理可证：B2＝BD·B，D2＝D·DB 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠E，B=； 结论：△BD∽△E； 证明：∵B=，∴∠B=∠B，∴∠DB=∠E，∵∠D=∠E，∴△BD∽△E 4）共边模型 条件：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ； 证明：∵对角线 平分 ，∴∠BD=∠B， ∵ ，∴△DB∽△DB，∴ ，∴ 例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形 中， 为对角线， ， ， ，则 长为（ ） ． B．3 ．9 D． 【答】 【分析】根据平行四边形 ，得到 ，继而得到 ，结合 得到 ，结合 证明 ，列出比例式解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似的性质是解 题的关键． 【详解】∵平行四边形 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得 ， 故 ，故选． 例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点 是线段 上一点 ，若满足 ，则称点 是 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学 学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”． (1)应用：如图1，若点 是线段 的黄金分割点 ，若 ，则 的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形 为“黄金三角形”， ， ， 为 的平分线． 求证：点 是 的黄金分割点．(3)如图3 中， ， ， 平分 交 于F，取 的中点E，连接 并延长交 的延长线于M． ，请你直接写出 的长为__________． 【答】(1) (2)证明见解析(3) 【分析】（1）设 ，则 ，根据黄金分割的含义可得： ，即 ，再解 方程即可；（2）证明 ，推出 ，推出 ，可得结论． （3）如图，连接 ，同理可得： ， ，可得 ， 证明 ， ， ，可得 是 的黄金分割点，且 ， 可得 ，设 ，再解方程可得答 【详解】（1）解：∵点 是线段 的黄金分割点 ， ， 设 ，则 ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，解得： （负根舍去），∴ ； （2）证明：∵ ， ， ∴ ， 又∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 即 ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴D 点是 的黄金分割点． （3）如图，连接 ，同理可得： ， ， ∴ ，∵ 为 的中点， ，∴ ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， 同理可得 是 的黄金分割点，且 ， ∴ ，设 ，∴ ，整理得： ， 解得： （负根舍去），∴ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，黄金分割点的含义，相似三角形的 判定与性质，一元二次方程的解法,熟记黄金分割的含义是解本题的关键 例3．（22-23 八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 ， 于 点 E，已知 ， ，则矩形 的周长为 【答】 / 【分析】首先根据题意求出 ， ，然后根据矩形的性质得 ，然后证明 ，得 ，求得 ，然后利用勾股定理求出 和 的长度，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ，∴ ， ∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ， ， ， ， ，即 解得 （负值舍去） ∵ ∴ ， ∴矩形 的周长为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形判定与性质，证明 是解题关键． 例4．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在 中， ， 是斜边 上的高，则有如下结论： ① ；② ；③ ．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵ 是斜边 上的高，∴ ．∵ ， ， ∴ ．∴ （依据）．∴ ．即 ． (1)材料中的“依据”是指 ；(2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用： 中， ， ， ，点在y 轴上，求顶点的坐标． 【答】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似(2)见解析(3)顶点的坐标为 或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证 明和计算．（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明 即可得证；③根据“两角分别 对应相等的两个三角形相似”证明 ；（3）根据题意以 为坐标原点建立平面直角坐标系， 利用证明的射影定理得 ，即可求出 ，由此求出顶点的坐标． 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：② ，理由如下： ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ∴ ； ③ ，理由如下：∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ∴ ； （3）解：如图，根据题意以 为坐标原点建立平面直角坐标系，∵ ， ，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴顶点的坐标为 或 ． 例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 在边 上，连接 ， ，使 ，且 ．(1)请判定 的形状，并说明理由；(2)若 ， ，求 的面积． 【答】(1) 是等边三角形，理由见解析(2) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出 ，然后根据邻补角得出 ，进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下， ∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ 是等边三角形， （2）解：∵ 是等边三角形，设等边三角形的边长为 ， ∵ ， ∴ ，又∵ ， ，∴ ，解得： （负值舍去）， 如图所示，过点 ，作 于点 ， ∴ ，∴ ， ∴ 的面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性 质是解题的关键． 例6．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形 中， ．以点 为圆心 长为半径画弧， 交边 于点 ，连接 ．点 是 延长线上的一点，连接 ，若 平分 ． (1)求证： ．(2)当 时，求 的值． 【答】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识 点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意得： ，由等边对等角得出 ，从而得出 ，再由角平分线的定义得出 ，即可证明 ； （2）由题意得出 ，由相似三角形的性质得出 ，从而即可得解． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ， ， 平分 ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brrdpt）是法国数学家和数学育家克洛尔（．Lrelle1780- 1855）于1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者 法国军官布洛卡（Brrd1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若 内一点P 满足 ，则点P 是 的布洛卡点， 是布洛卡角． （1）如图2，点P 为等边三角形B 的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；P、PB、P 的数量关系是___ ___；（2）如图3，点P 为等腰直角三角形B（其中 ）的布洛卡点，且 ． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若 的面积为 ，求 的面积． 【答】（1）30°， ；（2）① ，证明见解析；（3） ． 【分析】（1）根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答；（2）①找 ， 证明过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明；②把三角 形 面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个根据条件可以利 用勾股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求解． 【详解】解：（1）由题意知： ， 为等边三角形， ，B=B=, ， ， ， ， ，同理可证得出： ， ， 故答是：30°， ． （2）① 证明：∵ 是等腰直角三角形∴ ，即 ， ∵ ，∴ ，又∵ ，∴ （3）∵ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ， ， ，∴ ∵ ，∴ 在 中，∵ ， ，由勾股定理得 ， ， ∴ ，∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了新概念问题、等边三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性质、相似三角形 的判定定理和性质、勾股定理，涉及知识点多，综合性强，题目较难，解题的关键是：通过阅读材料，弄 明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答． 例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程， 更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一 基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在 中，点 为边 上一点，连接 ．(1)初步探究：如图2，若 ，求证： ； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点 为 中点， ，求 的长；(3)创新提升：如图 4，点 为 中点，连接 ，若 ， ， ，求 的长． 【答】(1)证明见解析(2) (3) 【分析】（1）根据题意，由 ， ，利用两个三角形相似的判定定理即可得到 ，再由相似性质即可得证；（2）设 ，由（1）中相似，代值求解得到 ，从而根据 与 的相似比为 求解即可得到答； （3）过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，如图1 所示，设 ，过点 作 于 点 ，如图2 所示，利用含 的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相 似的判定与性质得到 ，代值求解即可得到答． 【详解】（1）证明：∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ； （2）解：∵点 为 中点，∴设 ， 由（1）知 ，∴ ， ∴ ，∴ 与 的相似比为 ，∴ ，∵ ∴ ； （3）解：过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过 作 ，如图1 所示： ∵点 为 中点，∴设 ，∵ ，∴ ， ， 在 中， ，则由勾股定理可得 ，过点 作 于点 ，如图2 所示： ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，点 为 中点，∴ ， ， ， 又∵ ，∴ ， ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ，∴ ，即 ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含 的直角三角形性质、勾股定理等知识， 熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 1．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大 于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，然后根 据三角形的外角性质可得 ，由此即可判断选项B；先假设 可得 ， 再根据角的和差可得 ，从而可得 ，由此即可判断选项；先根据等 腰三角形的判定可得 ，再根据相似三角形的判定可得 ，然后根据相似三角形 的性质可得 ，最后根据等量代换即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知， 垂直平分 ， ， ，则选项正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则选项B 正确； 假设 ， ， 又 ， ， ，与 矛盾，则假设不成立，选项错误； ， ， ， 在 和 中， ， ， ，即 ， ，则选项D 正确；故选：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形 的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键． 2．（2024·河北张家口·一模）如图，点D 在 的边 上，添加一个条件，使得 ．以下 是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ） 天冀的做法：添加条件 ． 证明：∵ ， ． ∴ （两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件 ． 证明：∵ , ．∴ （两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） ．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 ．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答】B 【分析】根据题意已知 ，故添加两组对应边成比例夹角为 或者添加一组对应角相等，即可求 解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意， ，添加一组对应角相等，可以使得 ，故天翼的做法以及过程 没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为 ，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等， 故B 选项符合题意，故选：B． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点 在线段 上(不与点 ，点 重合)， ，则 的长为( ) ． B． ． D． 【答】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，连接 ，交 于 ，作 平分 ，交 于 ，由矩形性质得 ， ，进而得 ， ，得到 ， ，即得 ，得到 ，由 平分 ，可得 ，得到 ，再证明 ， 得到 ，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接 ，交 于 ，作 平分 ，交 于 ， ∵四边形 是矩形，∴ ， ， ∴ ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，解得 ， ，故选： ． 4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形 的边长为4，则这个正五边形的对角线 的长是 ． 【答】 / 【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰 三角形的性质得出 ，再证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，最后由线段和 差即可求出 的长． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵五边形 是正五边形，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， 即 ，解得 或 （舍去）， ∴ ，故答为： ． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线， 为 中点，连接 ．若 ， ，则 ． 【答】 【分析】连接 ，过E 作 于F，设 ， ，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰 三角形的性质证得 ， ， ，进而利用三角形的外角 性质和三角形的中位线性质得到 ， ，证明 ，利用相似三角 形的性质和勾股定理得到 ；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明 得到 ，进而得到关于x 的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接 ，过E 作 于F，设 ， ， ∵ ， 为 中点，∴ ，又 ， ∴ ， ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，则 ，又 ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， 则 ；∵ 是 的一条角平分线， ∴ ，又 ， ∴ ，∴ ∴ ，则 ， ∴ ，即 ，解得 （负值已舍去），故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线 性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难 度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 6．（23-24 九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在 中， ．以点为圆心，以 的长为半径 作弧交边 于点D．分别以点D，为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 交 于点E，则 的值为 ． 【答】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，相似三 角形的判定及性质；连接 ，过 作 交射线 于 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ，由相似三角形的判定方法得 ，由 相似三角形的性质得 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，即可求解；掌握相关的判定方 法及性质，能根据题意构建相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 ，过 作 交射线 于 ， ， 由作法得： ， ， 在 和 中 ， ( )， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故答： ． 7．（23-24 九年级上·陕西汉中·期中）如图，点 、 在线段 上，且 是等腰直角 的底边．当 时（ 与 、 与 分别为对应顶点）， ． 【答】 【分析】根据等腰直角三角