专题25 相似模型之母子型（共边共角）模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题25 相似模型之母子型（共边共角）模型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多， 是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入 理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。 .................................................................................................................................................1 模型1“母子型”模型（共边共角模型）......................................................................................................1 .................................................................................................................................................6 【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法: ①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 模型1“母子型”模型（共边共角模型） “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中， 恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定 这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠=∠BD； 结论：△BD∽△B，B2＝D· 证明：∵∠=∠BD，∠DB=∠B，∴△DB∽△B，∴ ，∴B2＝D· 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠B=90，D⊥B； 结论：△D∽△B∽△BD；2＝D·B，B2＝BD·B，D2＝D·DB 证明：∵∠B=90，D⊥B，∴∠+∠D=90°，∠+∠B=90°，∴∠B=∠D， ∠ ∵ =∠，∴△D∽△B，∴ ，∴2＝D·B 同理可证：B2＝BD·B，D2＝D·DB 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠E，B=； 结论：△BD∽△E； 证明：∵B=，∴∠B=∠B，∴∠DB=∠E，∵∠D=∠E，∴△BD∽△E 4）共边模型 条件：如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ； 证明：∵对角线 平分 ，∴∠BD=∠B， ∵ ，∴△DB∽△DB，∴ ，∴ 例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形 中， 为对角线， ， ， ，则 长为（ ） ． B．3 ．9 D． 例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点 是线段 上一点 ，若满足 ，则称点 是 的黄金分割点．黄金分割在我们的数学 学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”． (1)应用：如图1，若点 是线段 的黄金分割点 ，若 ，则 的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形 为“黄金三角形”， ， ， 为 的平分线． 求证：点 是 的黄金分割点．(3)如图3 中， ， ， 平分 交 于F，取 的中点E，连接 并延长交 的延长线于M． ，请你直接写出 的长为__________． 例3．（22-23 八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 ， 于 点 E，已知 ， ，则矩形 的周长为 例4．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在 中， ， 是斜边 上的高，则有如下结论： ① ；② ；③ ．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵ 是斜边 上的高，∴ ．∵ ， ， ∴ ．∴ （依据）．∴ ．即 ． (1)材料中的“依据”是指 ；(2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用： 中， ， ， ，点在y 轴上，求顶点的坐标． 例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 在边 上，连接 ， ，使 ，且 ．(1)请判定 的形状，并说明理由；(2)若 ， ，求 的面积． 例6．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形 中， ．以点 为圆心 长为半径画弧， 交边 于点 ，连接 ．点 是 延长线上的一点，连接 ，若 平分 ． (1)求证： ．(2)当 时，求 的值． 例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brrdpt）是法国数学家和数学育家克洛尔（．Lrelle1780- 1855）于1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者 法国军官布洛卡（Brrd1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若 内一点P 满足 ，则点P 是 的布洛卡点， 是布洛卡角． （1）如图2，点P 为等边三角形B 的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；P、PB、P 的数量关系是___ ___；（2）如图3，点P 为等腰直角三角形B（其中 ）的布洛卡点，且 ． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若 的面积为 ，求 的面积． 例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程， 更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一 基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在 中，点 为边 上一点，连接 ．(1)初步探究：如图2，若 ，求证： ； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点 为 中点， ，求 的长；(3)创新提升：如图 4，点 为 中点，连接 ，若 ， ， ，求 的长． 1．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大 于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是（ ） ． B． ． D． 2．（2024·河北张家口·一模）如图，点D 在 的边 上，添加一个条件，使得 ．以下 是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ） 天冀的做法：添加条件 ． 证明：∵ ， ． ∴ （两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件 ． 证明：∵ , ．∴ （两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） ．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 ．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ，点 在线段 上(不与点 ，点 重合)， ，则 的长为( ) ． B． ． D． 4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形 的边长为4，则这个正五边形的对角线 的长是 ． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线， 为 中点，连接 ．若 ， ，则 ． 6．（23-24 九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在 中， ．以点为圆心，以 的长为半径 作弧交边 于点D．分别以点D，为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 交 于点E，则 的值为 ． 7．（23-24 九年级上·陕西汉中·期中）如图，点 、 在线段 上，且 是等腰直角 的底边．当 时（ 与 、 与 分别为对应顶点）， ． 8．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在 中， ， ， ，点 为 边上 一点，则点 与点 的最短距离为______．如图2，连接 ，作 ，使得 ， 交 于 ，则当 时， 的长为______． 9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 交 于点 ，若 ， ， 的面积为，则 的面积为 ． 10．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是正五边形 的对角线， 与 相交于点 ．下列结论：① 平分 ； ② ； ③四边形 是菱形； ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 11．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形 中，点E、G 分别为边 、 上一点，连接 、 ．若 ， ， ，则 的长 12．（2024·广东九年级课时练习）如图，点、D 在线段B 上，且△PD 是等边三角形．∠PB＝120°． （1）求证：△P∽△PDB；（2）当＝4，BD＝9 时，试求D 的值． 13．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形 为菱形，点E 在 的延长线上， ． (1)求证： ；(2)当 时，求 的长． 14．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形 中， 为边 上一点，且 ． (1)求证： ；(2) 为线段 延长线上一点，且满足 ，求证： ． 15．（2024·四川南充·二模）在矩形 中， ，在 边上截取 ，使 ，点 为 的 中点．如图1，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ． (1)求证： ；(2)若 ，证明 ． (3)如图2，若 ，连接 ，当 取最小值时，求 的最小值及矩形 的面积． 16．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的倍，则称三角形为“倍角三角形”．当 时， 称为“1 倍角三角形”，显然等腰三角形是“1 倍角三角形”；当 时，称为“2 倍角三角形”，小康 通过探索后发现：“2 倍角三角形”的三边有如下关系． 如图，在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 ． 下面是小康对“2 倍角三角形”的结论的两种探索证明过程： 证法1：如图1，作 的平分线 ，∴ ． 设 ，则 ． 证法2：如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ，…… 任务：(1)上述材料中的证法1 是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或 “相似”）． (2)请补全证法2 剩余的部分． 17．（23-24 九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在 中， ，点 为 内 的一个动点，已知 ， ．(1)求证： ；(2)求 的值． 18．（2023·广东深圳·一模）【探究发现】（1）如图①所示，在等腰直角 中，点D，分别为边 ， 上一点，且 ，延长 交射线 于点E，则有下列命题：① ；② ；③ ；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程； 【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰 中， ， ，点D，分别为边 ， 上一 点，且 ，延长 交射线 于点E，若 ，求 的值； 【拓展应用】（3）在等腰 中， ， ， ，点D，分别为射线 ， 上 一点，且 ，延长 交射线 于点E，当 为等腰三角形时，请直接写出 的长（用，b 表示）． 19．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展 了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维． 【设置情景】王老师给出了如下几何图形： “如图1，已知 中，点D 为 边上一点，点E 为 外一点，连接 ．此时我们假设这个 几何图形满足 的数量关系．” 【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答． （1）“若 ， ，再给出 和 的长度，可以求出 的长度．”为了 简化计算，王老师提出令 ， ， ，求 的长（结果无需化简）； （2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息， 令点E 在 上运动，将条件“ ”改为了“ ”，其他条件不 变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答． 【拓展探索】“如图2，已知 中，点D 为 边上一点，点E 为 上一点， ， 若 ，探究 、 、 的数量关系，并证明． 20．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践 问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴 趣并展开探究． 探究发现：如图1，在 中， ， ． （1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接 ， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）； （2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： ； 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1 中的 是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长．